<< Предыдущая

стр. 5
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



Из определения (1.17) следует, что распределение ?2 определяет-
ся одним параметром – числом степеней свободы ?.
График плотности вероятности СВ, имеющей ?2-распределение,
лежит только в первой четверти декартовой системы координат и

26
имеет асимметричный вид с вытянутым правым ?хвостом?. Однако с
увеличением числа степеней свободы распределение ?2 постепенно
приближается к нормальному (сравните графики на рис. 1.6).

f(?2,?)
?=1
?=6
M(?2) = ? = n – m,
D(?2) = 2? = 2(n – m).
?=10


?2
0
Рис.1.6
Если X и Y – две независимые ?2-распределенные СВ с числами
степеней свободы n и k соответственно (X ? ч 2 , Y ? ч 2 ), то их сумма
n k
2
(X + Y) также является ? -распределенной СВ с числом степеней сво-
боды ? = n + k.
Распределение ?2 применяется для нахождения интервальных
оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом ак-
тивно используется таблица критических точек ?2-распределения (см.
параграф 1.5).
1.4.3. Распределение Стьюдента
Пусть СВ U ? N(0, 1), СВ V ? независимая от U величина, рас-
пределенная по закону ?2 с n степенями свободы. Тогда величина
U
T= (1.18)
V
n

имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с n степенями
свободы ( T ˜ Tn).
Из формулы (1.18) очевидно, что распределение Стьюдента оп-
ределяется только одним параметром n ? числом степеней свободы.
График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение
Стьюдента, является симметричной кривой (линия симметрии ? ось
ординат).



27
f(t) кривая нормального
распределения
M(T) = 0,
n>?
n
.
D(T) =
n?2
n=1

n=5
0 t
Рис. 1.7
При этом с увеличением числа степеней свободы распределение
Стьюдента приближается к стандартизированному нормальному, при-
чем при n > 30 распределение Стьюдента практически можно заме-
нить нормальным распределением.
Распределение Стьюдента применяется для нахождения интер-
вальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При
этом активно используется таблица критических точек распределения
Стьюдента (см. параграф 1.5).
1.4.4. Распределение Фишера
Пусть V и W – независимые СВ, распределение по закону ?2 со
степенями свободы ?1 = m и ?2 = n соответственно. Тогда величина
V
m
F= (1.19)
W
n
имеет распределение Фишера со степенями свободы ?1 = m и ?2 = n
(F ˜ Fm,n). Таким образом, распределение Фишера F определяется
двумя параметрами ? числами степеней свободы m и n.
f(F)
m = 1, n = 1 n
M(F) = ( n > 2 ),
n?2
m = 6, n = 60 2
2n (m + n ? 2)
D(F) = ( n > 4).
2
m(n ? 2) (n ? 4)

m = 10, n = 10

0 F
Рис. 1.8

28
При больших m и n это распределение приближается к нор-
мальному. Нетрудно заметить, что Tn2 = F1,n, где Тn ? СВ, имеющая
распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = n. F1,n ? СВ,
имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ?1 = 1 и
?2 = n.
Распределение Фишера используется при проверке статистиче-
ских гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом
активно используется таблица критических точек распределения
Стьюдента (см. параграф 1.5).
1.5. Таблицы распределений и их применение
Для практического применения приведенных выше CВ к осуще-
ствлению статистических расчетов служат таблицы распределений.
Перед их рассмотрением введем понятие квантиля (критической точ-
ки) распределения.
Пусть Y ? СВ, имеющая одно из вышеперечисленных распреде-
лений. ?-квантилем (критической точкой уровня ?) называется зна-
+?
чение y? CВ Y такое, что P(Y > y б ) = ? f(y)dy = б .


Квантили y? и y1-? называются симметричными. Если распреде-
ление симметрично относительно оси ординат, то y1-? = ?y?.
f(y)



? ?



0 y1?? y? y
Рис. 1.9
С геометрической точки зрения нахождение квантиля y? заклю-
чается в таком выборе значения Y = y? , при котором площадь за-
штрихованной криволинейной трапеции была бы равна ?.
Нетрудно заметить, что нахождение ?-квантиля (критической
точки) для вышеперечисленных законов распределений определяется
величиной (уровнем значимости) самого ? и числом (числами) степе-
ней свободы рассматриваемого закона распределения.


29
1.5.1. Работа с таблицами стандартизированного
нормального распределения
При проведении статистического анализа весьма часто использу-
ется таблица значений функции Лапласа (приложение 1)
2
t
?
1 u
dt = P(0 ? U < u) = F(u) – 0.5,
?e
Ф(u) = 2
2р 0


определяющей вероятность попадания СВ U в интервал [0,u).
Таблица 1.1
U 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.0
.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.1
… … … … … … … … … … …
.4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.0
… … … … … … … … … … …
.49999997
5.0


В левом столбце таблицы приведены значения CВ U c точностью
до десятых, в верхней строке приведены сотые доли U (значения U в
данном случае определяются с точностью до сотых). Значение Ф(u)
определяется на пересечении соответствующих данному значению u
строки и столбца (в данном случае Ф(u) дается с точностью до четвер-
того знака после запятой). Например, Ф(0.17) = 0.0675, т. е.
P( 0 ? U < 0.17 ) = 0.0675. Суть функции Лапласа Ф(u) и ее связь с
функцией распределения F(u) стандартизированной нормальной СВ
представлена на рис. 1.10.

f(u)
x?m
U=
у
F(u) = 0,5 + Ф(u)


0,5 – Ф(u)
Ф(u)

0 u
Рис. 1.10


30
Отметим, что каждое значение F(u) больше соответствующего
значения Ф(u) ровно на 0.5. Поэтому ее таблицы имеют аналогичный
вид.
1.5.2. Работа с таблицами t-распределения Стьюдента
Таблица критических точек распределения Стьюдента (приложе-
ние 2) имеет вид:
Таблица 1.2

?? 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 …

0.325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 …
1
… … … … … … … …
10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 …
… … … … … … … …
30 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 …
… … … … … … … …
? 0.253 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 …

В данной таблице в первом столбце указаны числа степеней сво-
боды ?. В верхней строчке указаны вероятности (уровни значимости)
?. Критическая точка t?,? определяется пересечением столбца с за-
данной вероятностью ? и строки, соответствующей числу степеней
свободы ?. Например, t0.05;10 = 1.812. Другими словами,
P( t10 > 1.812) = 0.05.
Иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для дву-
сторонних критических точек t ? н , определяемых из условия:
б,

P(? t? > t ? н ) = ?.
б,
f(t, ?)


? = P( t > t?,?)


? = P( ? t? > t ? н )
б,




t? н
0 t?,? t
б,


Рис. 1.11


31
1.5.3. Работа с таблицами ?2-распределения
Таблица критических точек ?2-распределения (приложение 3)
имеет вид:
Таблица 1.3

? … .975 .950 .900 … .100 .050 .025 …
?

10-5 4?10-4 .016 … 2.71 3.84 5.02 …
1 …
… … … … … … … … … …
10 3.25 3.94 4.87 … 15.99 18.31 20.48 …

… … … … … … … … …

30 … 16.79 18.49 20.60 … 40.26 43.77 46.98 …
… … … … … … … … …


В данной таблице в левом столбце приведены различные числа
степеней свободы ?. В верхней строчке указаны вероятности (уровни

<< Предыдущая

стр. 5
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>