<< Предыдущая

стр. 55
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

yt = ?0 + ?1rt, (13.5)
в 0 + б 0в 1 + г 0 + g 1
где р 0 = ; р1 = .
1 ? в 1 (1 ? б1 ) 1 ? в 1 (1 ? б1 )
Формула (13.5) является выражением кривой IS, задающей такое
соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при кото-
ром рынок товаров находится в равновесии.
Линия LM (линия равновесия на рынке денег) задает такое соот-
ношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором
спрос на деньги равен их предложению. Одна из нестохастических
форм данной модели имеет вид:
M D = a + by t ? crt ,
Функция спроса на деньги: (13.61)
t

M S = M,
Функция предложения денег: (13.62)
t

M D = MS .
Условие равновесия: (13.63)
t t

Тогда соотношение системы (13.61) можно представить в виде:

310
y t = л 0 + л1M + л 2 rt . (13.7)
Здесь ?0 = ?a/b, ?1 = 1/b, ?2 = c/b.
Соотношение (13.7) известно как уравнение LM.
Модель IS –LM представлена на рис.13.2.
r

LM (M = M )



IS

Y
Рис. 13.2
Точка пересечения данных кривых определяет соотношение меж-
ду процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка на-
ходятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения сис-
темы уравнений (13.5) и (13.7).

13.2.Составляющие систем уравнений
Заметим, что при рассмотрении систем одновременных уравне-
ний переменные делятся на два больших класса – эндогенные и экзо-
генные переменные. Эндогенные переменные – это переменные, значе-
ния которых определяются внутри модели. Экзогенные переменные –
это внешние по отношению к модели переменные. Их значения опре-
деляются вне модели и поэтому они считаются фиксированными.
Такая классификация переменных позволяет указать методы оп-
ределения эндогенных переменных. Например, в системе (13.1) функ-
ции спроса и предложения, условие равновесия определяют величины
спроса q D , предложения q S и цену P. Поэтому все эти переменные яв-
t t
ляются эндогенными, т. к. они определяются внутри системы. В мо-
дели (13.3) С и Y являются эндогенными переменными, которые оце-
ниваются внутри модели. Переменная I задается (определяется) вне
модели. Следовательно, она является экзогенной переменной. Из мо-
дели нельзя понять, как получаются значения этой переменной. Они
используются как заранее заданные. Из соотношения (13.31) очевидно,
что переменная С зависит от Y и от ?. В то же время из второго соот-
ношения Y зависит от С и от I. Нетрудно заметить, что обе перемен-

311
ные С и Y могут быть выражены через I и ?. Подставив ct из второго
соотношения в первое, имеем:
в е
1
yt = 0 + it + t , (13.81)
1 ? в1 1 ? в1 1 ? в1
в е
в
ct = 0 + 1 it + t . (13.82)
1 ? в1 1 ? в1 1 ? в1
1
Заметим, что коэффициент в (13.81) представляет собой
1 ? в1
денежный мультипликатор, определяющий, на какую величину уве-
личивается совокупный доход при увеличении объема инвестиций на
единицу.
Уравнения, составляющие исходную модель, называют струк-
турными уравнениями модели. Обычно их подразделяют на поведен-
ческие уравнения и уравнения-тождества. В первых из них описыва-
ются взаимодействия между переменными. Во вторых ? соотношения,
которые должны выполняться во всех случаях (заметим, что тождест-
ва не содержат подлежащие оценке параметры и случайные состав-
ляющие). Например, в модели (13.3) уравнение (13.31) ? поведенче-
ское, а (13.32) ? тождество.
Уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных
переменных, называются уравнениями в приведенной форме (приве-
денными уравнениями). Это уравнения, в которых эндогенные пере-
менные выражены только через экзогенные или предопределенные
переменные, а также случайные составляющие. Примерами таких
уравнений являются уравнения (13.81) и (13.82). Предопределенными
переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения
которых определены до рассмотрения данного соотношения. Напри-
мер, уравнение спроса в модели “спрос ? предложение” может иметь
вид:
q S = б 0 + б1i t + б 2 p t ?1 + е t . (13.9)
t

Здесь переменная pt?1 ? цена товара в предыдущий момент време-
ни; pt?1 ? предопределенная переменная.

13.3. Смещенность и несостоятельность оценок МНК
для систем одновременных уравнений
Непосредственное применение МНК для каждого из уравнений
системы одновременных уравнений приводит к получению смещен-

312
ных и несостоятельных оценок. Обычно это происходит вследствие
коррелированности одной или нескольких объясняющих переменных
со случайным отклонением. Для демонстрации данного вывода рас-
смотрим кейнсианскую модель (13.3). Для получения несмещенных и
состоятельных оценок параметров уравнения (13.31) по МНК необхо-
димо выполнение ряда предпосылок:
10. М(?t) = 0; 20. М(?t2) = ?2;
30. М(?t?t+i) = 0; 40. cov(yt, ?t) = 0 для любых отклонений.
Однако из (13.81) нетрудно заметить, что yt линейно зависит от
случайного отклонения ?t. Следовательно, в уравнении (13.31) объяс-
няющая переменная yt коррелирует со случайным отклонением ?t
(cov(yt, ?t) ? 0). Действительно, из (13.81) имеем:
в0 1
+
M(yt) = it . (13.10)
1 ? в1 1 ? в1
Здесь мы учли, что М(?t) = 0, а также то, что переменная it являет-
ся экзогенной (постоянной) для данной модели.
Вычитая (13.10) из (13.81), имеем:
еt
yt ? М(yt) = . (13.11)
1 ? в1
Следовательно,
cov(yt, ?t) = М((yt ? М(yt))(?t ? М(?t))) =
у2
1
еt 2
??t) = M(е t ) = > 0.
= М( (13.12)
1 ? в1 1 ? в1 1 ? в1
Здесь мы воспользовались обоснованным предположением эко-
номической теории о том, что предельная склонность к потреблению
0 < ?1 < 1. Оценка b1 параметра ?1 по МНК определяется по формуле:
? (ct ? c)(yt ? y) ? c t (yt ? y) c ? (yt ? y) ? c t (yt ? y)
b1 = + =
= . (13.13)
2 2 2 2
? (yt ? y) ? (yt ? y) ? (yt ? y) ? (yt ? y)
В данном случае мы использовали тождество ?(yt ? y ) = 0.
Подставив в (13.13) выражение сt через (13.31), имеем:
? (в 0 + в1y t + е t )(y t ? y)
b1 = =
2
? (y t ? y)
в 0 ? (y t ? y) в1 ? y t (y t ? y) ? е t (y t ? y) ? е t (y t ? y)
+ + = ?1 +
= . (13.14)
2 2 2 2
? (y t ? y) ? (y t ? y) ? (y t ? y) ? (y t ? y)

313
Тогда
? ? е t (y t ? y) ?
М(b1) = ?1 + M ?
? ? (y ? y) 2 ? . (13.15)
?
? ?
t

? ? е t (y t ? y) ?
М? ? ? (y ? y) 2 ? нельзя вычислить
Математическое ожидание ?
? ?
t
непосредственно, т. к. числитель и знаменатель дроби не являются не-
зависимыми СВ (оба зависят от ?). Однако при больших объемах вы-
борок можно сделать следующие выводы:
1
? е t (y t ? y)
? е t (y t ? y) n cov(е t , y t )
= ?n > ? >
? ? .
1
2
? (y t ? y) D(y t )
2
? (y t ? y)
n
Из (13.81) с учетом того, что при больших выборках D(it) стре-
мится к своему пределу у 2 , имеем:
I


[ ]
в0 е 1
1
у2 + уе .
2
+ it + t ) =
D(yt) = D( I
1 ? в1 1 ? в1 1 ? в1 (1 ? в 1 ) 2
С учетом (13.12) и (13.14) имеем:
у2
2
(1 ? в 1 )у е
1 ? в1
b1 ?n >? > в 1 +
? ? = в1 + 2 . (13.16)
[ ]
1 2
уI + уе
у2 + уе
2
I
(1 ? в 1 ) 2
Следовательно, оценка b1 является смещенной (скорее всего, за-
вышенной при условии, что 0 < ?1 < 1) оценкой параметра ?1. Причем
эту смещенность нельзя преодолеть даже при бесконечном увеличе-
нии выборки.
Из (13.16) очевидно, что величина ошибки оценки зависит от ве-
личины отклонения ?1 от единицы, а также от соотношения между
у 2 и у е . Например, если предположить, что ?1 = 0.6, у 2 = 3у е , то
2 2
I I
b1 > 0.6 + 0.4/0.4 = 0.7.
Кроме того, соотношение (13.16) позволяет сделать вывод, что
всегда можно подобрать ? > 0 такое, что lim P( b1 ? в1 < е) ? 1 . Это оз-
n>?
начает, что b1 является несостоятельной оценкой ?1.

314
13.4. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)
В силу невозможности получения на основе “обычного” МНК ка-
чественных оценок параметров системы одновременных уравнений,
необходимо использовать другие методы получения “хороших” оце-
нок. Один из таких возможных методов ? косвенный метод наимень-
ших квадратов (КМНК), основанный на использовании приведенных
уравнений.
Для иллюстрации КМНК рассмотрим кейнсианскую модель фор-
мирования доходов (13.3). В приведенном виде эта модель выражается
в0 1
= л10 , = л11 ,
через систему (13.8). Положим в (13.81)
1 ? в1 1 ? в1
у2
в0 в1 еt
= л 21 , = х t ˜ N(0,
= л 20 ,
а в (13.82) ).
1 ? в1 1 ? в1 1 ? в1
1 ? в1
Тогда вместо (13.81) и (13.82) имеем:
yt = ?10 + ?11it + ?t, (13.171)
ct = ?20 + ?21it + ?t. (13.172)
Так как объем инвестиций I является экзогенной переменной мо-
дели, то it не коррелирует со случайным членом ?t в уравнениях
(13.81), (13.82), а следовательно, и с ?t в (13.171) и (13.172). Это означа-
ет, что для случайного члена ?t выполняются предпосылки МНК. По-
))))
этому оценки л10 , л 21 , л 20 , л 21 , полученные по МНК, будут BLUE-
оценками параметров л10 , л 21 , л 20 , л 21 . Зная данные оценки, несложно
определить оценки b1 и b2 коэффициентов ?1 и ?2 уравнения (13.31):
)
)
) л 21 ) л
b1 = в 1 = ) ; b 0 = в 0 = ) 20 . (13.18)
л11 л11

<< Предыдущая

стр. 55
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>