<< Предыдущая

стр. 56
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Определение оценок по указанной схеме называется косвенным
методом наименьших квадратов (КМНК). Смысл такого названия
очевиден в силу вычисления оценок b1 и b2 через оценки приведенных
уравнений. Оценки b1 и b2, полученные по КМНК, являются состоя-
тельными, а следовательно, при больших выборках велика вероят-
ность, что они будут близки к истинным значениям параметров.
Отметим, что в данном случае оценки b1 и b2 определяются одно-
значно. В этом случае уравнение (13.31) называется идентифицируе-
мым (однозначно определенным).

315
Таким образом, КМНК включает в себя следующие этапы:
1. Исходя из структурных уравнений, строятся уравнения в приведен-
ной форме.
2. Оцениваются по МНК параметры уравнений в приведенной форме.
3. На основе оценок, найденных в п. 2, оцениваются параметры струк-
турных уравнений.
Пример 13.1. Рассматривается следующая модель “спрос ? предложение”:
qt = ?0 + ?1pt + ?1t,
предложение:
qt = ?0 + ?1pt + ?2yt + ?2t,
спрос:
где qt, pt ? эндогенные переменные ? количество товара и цена в году t; yt ? экзо-
генная переменная ? доход потребителей; ?1t, ?2t ? случайные отклонения.
На основании следующих статистических данных необходимо оценить ко-
эффициенты функции предложения, используя для этого МНК и КМНК. Срав-
нить результаты.
2 2
pt qt yt pt yt ptqt ptyt qtyt
1 8 2 1 4 8 2 10
2 10 4 4 16 20 8 40
3 7 3 9 9 21 9 21
4 5 5 16 25 20 20 25
5 1 2 25 4 5 10 2
15 31 16 55 58 74 49 98 сумма
3 6.2 3.2 11 11.6 14.8 9.8 19.6 среднее
Построим приведенные уравнения данной системы. Для этого вычтем из
функции предложения функцию спроса. Имеем:
(?0 ? ?0) + (?1 ? ?1) pt ? ?2yt + (?1t ? ?2t) = 0.
Следовательно, приведенные уравнения имеют вид:
pt = ?10 + ?11yt + ?1t,
qt = ?20 + ?21yt + ?2t,
б0 ? в0 е ? е 2t
б2
, ?1t = 1t
, ?11 =
где ?10 = ;
в1 ? б1 в1 ? б 1 в1 ? б1
?20 = ?0 + ?1?10, ?21 = ?1?11, ?2t = ?1?1t + ?1t.
Нетрудно заметить, что функция предложения точно идентифицируема.
Оценки b1 и b0 параметров ?1 и ?0 могут быть определены на основе оценок ко-
эффициентов приведенных уравнений:
)
р 21 р 21 ) )
?1 = , ?0 = ?20 ? ?1?10 ? b1 = ) , b0 = р 20 ? b1р10 .
р11 р11


316
По имеющимся статистическим данным оценим коэффициенты приведен-
ных уравнений:
yp ? y ? p 0.2
)
р11 = = = 0.147,
1.36
2 2
y ?y
) )
р10 = p ? р11y = 3 ? 0.147 ? 3.2 = 2.5296,
yq ? y ? q ? 0.24
)
р 21 = = = ?0.1765,
1.36
2 2
y ?y
) )
р 20 = q ? р 21y = 6.7648.
Следовательно, оценки коэффициентов функции предложения по КМНК
будут равны: b1 = ?0.1765/0.147 = ?1.2, b0 = 6.7648 + 1.2?2.5296 = 9.8. Следова-
тельно, функция предложения имеет вид:
)
q t = 9.8 ? 1.2 pt.
В то же время, если рассчитывать оценки данного уравнения непосредст-
венно по МНК, то будут получены следующие результаты:
pq ? p ? q ? 5.2
b1 = 2 = = ?2.6, b 0 = q ? b1 p = 13.8.
2
p ?p 2


Тогда функция предложения имеет вид:
)
q t = 13.8 ? 2.6 pt.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что применение
МНК в несоответствующих ситуациях может существенно исказить картину за-
висимости.

13.5. Инструментальные переменные
Еще одним способом устранения коррелированности объясняю-
щей переменной со случайным отклонением является метод инстру-
ментальных переменных.
Суть данного метода состоит в замене коррелирующей перемен-
ной на другую (инструментальную переменную (ИП)), которая обла-
дает следующими свойствами:
• она должна коррелировать (желательно сильно) с заменяемой объ-
ясняющей переменной;
• она не должна коррелировать со случайным отклонением.
Опишем схему использования ИП на примере парной регрессии,
в которой cov(X, ?) ? 0:
Y = ?0 + ?1X + ?. (13.19)
Переменную X заменяют переменной Z такую, что cov(Z, X) ? 0 и

317
cov(Z, ?) = 0. Принципы использования ИП основаны на выполнимо-
сти следующих условий:
M(?t) = 0, cov(zt, ?t) = 0. (13.20)
Соответствующие выборочные оценки данных условий имеют вид:
1
? e t = 0, (13.211)
T
1
? z t e t = 0. (13.212)
T
В развернутом виде (13.21) будет иметь вид:
ИП ИП
? (y t ? b0 ? b1 x t ) = 0, (13.221)
ИП ИП
? z t (y t ? b 0 ? b1 x t ) = 0. (13.222)
Тогда из (13.22) следует:
? (z t ? z)(y t ? y)
ИП
b1 = , (13.231)
(z t ? z)(x t ? x)
?
ИП ИП
b 0 = y ? b1 x. (13.232)
Пусть при увеличении объема выборки D(X) стремится к некото-
рому конечному пределу у 2 , а ковариация cov(Z, X) ? к конечному
x
пределу ?zx ? 0.
ИП
Покажем, что в этом случае b1 стремится к истинному значе-
нию ?1. Из (13.231) имеем:
cov(Z, Y) cov(Z, в 0 + в 1X + е)
ИП
b1 = = =
cov(Z, X) cov(Z, X)
cov(Z, в 0 ) cov(Z, в 1X) cov(Z, е)
+ +
= =
cov(Z, X) cov(Z, X) cov(Z, X)
cov(Z, е) 0
= в1 + ?n >? > в 1 +
? ? = в1 . (13.24)
cov(Z, X) у zx
Здесь мы воспользовались следующими соотношениями:
сov(Z, ?0) = 0, т. к. ?0 = const; сov(Z, ?1X) = ?1сov(Z, X). При больших
ИП
объемах выборки распределение b 1 стремится к нормальному:


318
b1 ˜N(?1, S2( b1 )), где
ИП ИП


S2 ? (z t ? z) 1
2 ИП
; S2 = ? e 2 ; et = yt ? b 0 ? b1 x t .
ИП ИП
S ( b1 ) =
[? (z t ? z)(x t ? x)]2 t
T

13.6. Проблема идентификации
Изменение формы уравнений хотя и позволяет устранить про-
блему коррелированности объясняющей переменной и случайного от-
клонения, но может привести к другой, не менее серьезной проблеме
? проблеме идентификации. Под проблемой идентификации понима-
ется возможность численной оценки параметров структурных уравне-
ний по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.
Исходную систему уравнений называют идентифицируемой
(точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравне-
ний можно однозначно определить значения коэффициентов струк-
турных уравнений. Обычно это удается сделать тогда, когда количест-
во уравнений для определения коэффициентов структурных уравне-
ний в точности равно количеству этих коэффициентов.
Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой
(недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений
можно получить несколько вариантов значений коэффициентов
структурных уравнений. Обычно это происходит тогда, когда количе-
ство уравнений для определения коэффициентов структурных уравне-
ний меньше числа определяемых коэффициентов.
Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой
(переопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений
невозможно определить значения коэффициентов структурных урав-
нений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структур-
ных уравнений с коэффициентами приведенных уравнений, является
несовместной. Обычно в этих случаях число уравнений для оценки
коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых
коэффициентов.
13.6.1. Неидентифицируемость
Для понимания проблемы идентифицируемости необходимо по-
нять суть принципиального различия между структурными и приве-
денными уравнениями. Например, в модели (13.1) “спрос ? предложе-
ние” оценки коэффициентов уравнений (13.11) и (13.12) определяют
функции спроса и предложения. Оценивая же коэффициенты приве-
319
денных уравнений, мы определяем точку пересечения кривых спроса
и предложения, т. е. равновесную цену pe и равновесное количество qe.
Очевидно, что, определив эти значения, мы не сможем восстановить
функции спроса и предложения, т. к. через одну точку на плоскости
можно провести бесконечно много кривых.
Построим приведенные уравнения для рассматриваемой модели
(13.1). Для этого используем условие равновесия (13.13):
?0 + ?1pt + ?t1 = ?0 + ?1pt + ?t2. (13.25)
Решим данное уравнение относительно pt:

pt = ?0 + ut, (13.26)

в0 ? б0 е ? е t1
? случайный член.
где л 0 = , u t = t2
б1 ? в 1 б1 ? в 1
Подставляя найденное значение pt в (13.11) или (13.12), получим:
qt = ?1 + ?t, (13.27)

б1в 0 ? б 0в 1 б е ? в 1е t1
? случайный член.
где л1 = , х t = 1 t2
б1 ? в 1 б1 ? в 1
Уравнения (13.26) и (13.27) образуют систему приведенных урав-
нений. Однако система структурных уравнений имеет четыре неиз-
вестных коэффициента: ?0, ?1, ?0, ?1. Из курса алгебры известно, что
для однозначного определения k неизвестных необходимо иметь не
менее k (независимых) уравнений. Следовательно, мы не сможем од-
нозначно определить четыре коэффициента, располагая лишь систе-
мой из двух уравнений:
в0 ? б0
л0 = , (13.281)
б1 ? в 1
б1в 0 ? б 0в 1
л1 = . (13.282)
б1 ? в 1
Легко заметить, что приведенные уравнения (13.26) и (13.27) при
отбрасывании случайных членов устанавливают значения pt = ?0 и
qt = ?1, которые фактически определяют точку пересечения кривых
спроса и предложения (точку рыночного равновесия). Но через одну
точку может быть проведено сколь угодно много линий (рис. 13.3, а).
Поэтому для определения конкретных прямых необходима дополни-
320
тельная информация. Такую информацию обычно можно получить за
счет экзогенных переменных, входящих в структурные уравнения.
P P P

S S S1
S2
pe D3 S3
D2
D D1

qe Q Q Q
а б в

Рис. 13.3
Например, пусть в функцию спроса добавлена еще одна объяс-
няющая (экзогенная) переменная I ? доход потребителей. Тогда мо-
дель “спрос ? предложение” имеет вид:
q D = ?0 + ?1pt + ?2it + ?t1, (?1 < 0, ?2 > 0), (13.291)
t

<< Предыдущая

стр. 56
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>