<< Предыдущая

стр. 57
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


q S = ?0 + ?1pt + ?t2. (?1 > 0). (13.292)
t

Такое добавление предоставляет нам некоторую дополнительную ин-
формацию о поведении потребителя. Согласно экономической теории
для нормальных товаров ?2 > 0. Приравняв количество спроса количе-
ству предложения, имеем:
?0 + ?1pt + ?2it + ?t1 = ?0 + ?1pt + ?t2. (13.30)
Или
pt = ?0 + ?1it + ?t, (13.31)
в0 ? б0 е ? е t1
б2
где л 0 = , л1 = ? , х t = t2 . (13.32)
б1 ? в 1 б1 ? в 1 б1 ? в 1
Приравняв цену спроса цене предложения в точке равновесия на
основании (13.29), имеем:
qt = ?2 + ?3it + ?t, (13.33)
б в ? б 0в 1 б е ? в 1е t1
бв
где л 2 = 1 0 , л1 = ? 2 1 , х t = 1 t2 . (13.34)
б1 ? в 1 б1 ? в 1 б1 ? в 1


321
Уравнения (13.31) и (13.33) являются приведенными уравнения-
ми. Применив МНК, нетрудно найти оценки их параметров ?0, ?1, ?2, ?
3. Однако этого недостаточно для оценки пяти параметров ?0, ?1, ?2, ?
0, ?1 системы структурных уравнений (13.29). Но в этом случае мы
сможем определить параметры ?0 и ?1 функции предложения (13.292):
л3
в1 = , (13.351)
л1
в 0 = л 2 ? в 1л 0 . (13.352)
Но ?0, ?1, ?2 определить однозначно нельзя. Следовательно, тре-
буется некоторое доопределение. Заметим, что добавление объяс-
няющей переменной в функцию спроса (13.291) позволило нам опре-
делить функцию предложения (рис. 13.3, б).
Если в функцию предложения добавить объясняющую перемен-
ную (например, предопределенную переменную pt?1), исключив при
этом доход из функции спроса, то можно получить конкретную функ-
цию спроса при неопределенной функции предложения (рис. 13.3, в).
Обоснование данного вывода проводится по аналогии с вышеописан-
ной схемой и рекомендуется для упражнения.
Заметим, что если в каждое из структурных уравнений модели
“спрос ? предложение” наряду с ценой товара будет добавлено по од-
ной объясняющей (экзогенной или предопределенной) переменной
(например, it в функцию спроса и pt?1 в функцию предложения), то ко-
эффициенты структурных уравнений могут быть оценены однозначно.
В этом случае модель является однозначно определенной (идентифи-
цируемой).
13.6.2. Сверхидентифицируемость
Рассмотрим модель “спрос ? предложение” с числом экзогенных
переменных, превышающим количество структурных уравнений:
q D = ?0 + ?1pt + ?2it + ?3st + ?t1, (13.361)
t

q S = ?0 + ?1pt + ?2pt?1 + ?t2, (13.362)
t

где переменная st представляет собой объем сбережений к моменту
времени t.
Из условия рыночного равновесия несложно получить следую-
щие приведенные уравнения:

322
pt = ?0 + ?1it + ?2st + ?3pt + ?t, (13.37)
qt = ?4 + ?5it + ?6st + ?7pt?1 + ?t. (13.38)
Здесь
в 0 ? б0 б3
б2
л1 = ? л2 = ?
л0 = ; ; ;
б1 ? в1 б1 ? в1
б1 ? в 1
б1в 0 ? б 0в 1
в2
л3 = л4 =
; ; (13.39)
б1 ? в1 б1 ? в 1
б 2в 1 бв
бв
; л6 = ? 3 1 ; л7 = ? 1 2 ;
л5 = ?
б1 ? в1
б1 ? в 1 б1 ? в 1
б1е t2 ? в 1е t1 е t2 ? е t1
; ?t =
хt = .
б1 ? в 1 б1 ? в 1

Мы видим, что для оценки семи структурных коэффициентов ?0,
?1, ?2, ?3, ?0, ?1, ?2 в данном случае получено восемь уравнений
(13.39). В результате однозначное определение структурных коэффи-
циентов невозможно в силу противоречивости соотношений. Напри-
мер, из (13.39) следует невозможность определения ?1. Действитель-
но, ?1 = ?6 /?2 и ?1 = ?5 /?1. Но это возможно лишь при условии, что
?6 /?2 = ?5 /?1, а это нереально. Так как ?1 входит во все уравнения для
оценки приведенных коэффициентов, то оценка оставшихся струк-
турных коэффициентов также неосуществима. В данном случае мы
попадаем в ситуацию переопределенности или сверхидентифицируе-
мости. При этом мы как бы имеем “слишком много” информации (ог-
раничений) для определения кривой предложения. Противоречивость
информации не позволяет получить искомое решение.
Заметим, что в ситуации неидентифицируемости информации
“слишком мало”. Это дает возможность существованию нескольких
различных кривых, удовлетворяющих ограничениям модели.

13.7. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости
Для быстрого формального определения идентифицируемости
структурных уравнений применяются следующие необходимые и до-
статочные условия. Пусть система одновременных уравнений включа-
ет в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных. Пусть
в системе имеется M экзогеннных либо предопределенных перемен-

323
ных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в про-
веряемом на идентифицируемость уравнении равно n и m соответст-
венно. Переменные, не входящие в данное уравнение, но входящие в
другие уравнения системы, назовем исключенными переменными (из
данного уравнения). Их количество равно N ? n для эндогенных и M ?
m для экзогенных переменных соответственно.
Первое необходимое условие
Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней
мере, N ? 1 переменную (эндогенную или экзогенную), присутствую-
щую в модели: (N ? n) + (M ? m) ? N ? 1.
Второе необходимое условие
Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из
уравнения экзогенных переменных не меньше количества эндогенных
переменных в этом уравнении, уменьшенном на единицу: M ? m ? n ?
1.
Знаки равенства в обоих необходимых условиях соответствуют
точной идентификации уравнения.
Приведем примеры использования данных условий для опреде-
ления идентифицируемости структурных уравнений.
1. В простой модели “спрос ? предложение” (13.1)
q D = б 0 + б1p t + е t1 ,
t

q S = в 0 + в1p t + е t2 ,
t

N = 2, M = 0. Для каждого из уравнений n = 2, m = 0. Следовательно,
первое необходимое условие ((N ? n) + (M ? m) ? N ? 1) не выполня-
ется для обоих уравнений, т. к. в данном случае (N ? n) + (M ? m) = 0,
а N ? 1 = 1. Это означает, что оба они неидентифицируемы.
2. В модели (13.29) в функцию спроса добавлена экзогенная пе-
ременная I (доход потребителей):
q D = ?0 + ?1pt + ?2it + ?t1, (?1 < 0, ?2 > 0),
t

q S = ?0 + ?1pt + ?t2. (?1 > 0),
t

N = 2, M = 1. Для обоих уравнений n = 2. Для первого уравнения m = 1,
а для второго m = 0. Тогда для первого уравнения (N ? n) + (M ? m) = 0 <
< 1 = N ? 1. Первое необходимое условие не выполняется, и данное
324
уравнение неидентифицируемо. Для второго уравнения системы
(N ? n) + (M ? m) = 1 = N ? 1. Данное уравнение точно иден-
(13.29)
тифицируемо. Следовательно, функция предложения может быть оп-
ределена однозначно.
3. В модели
q D = ?0 + ?1pt + ?2it + ?t1, (13.401)
t

q S = ?0 + ?1pt + ?2pt?1 + ?t2, (13.402)
t

N = 2, M = 2. Для каждого уравнения n = 2, m = 1. В этом случае для
любого из уравнений (N ? n) + (M ? m) = 1 = N ? 1. Следовательно,
оба уравнения системы (13.40) точно идентифицируемы.
4. В модели (13.36)
q D = ?0 + ?1pt + ?2it + ?3st + ?t1,
t

q S = ?0 + ?1pt + ?2pt?1 + ?t2,
t

N = 2, M = 3. Для каждого уравнения n = 2. Количество исключенных
переменных в первом уравнении m = 2. Тогда уравнение (13.361) точ-
но идентифицируемо, т. к. для него (N ? n) + (M ? m) = 1 = N ? 1. Для
уравнения (13.362) m = 1. Следовательно, для него (N ? n) + (M ? m) =
= 2 > 1 = N ? 1. Это уравнение является переопределенным. Для одно-
значной оценки коэффициентов функции предложения в этом случае
необходимо использовать другие специальные методы (см. раздел
13.8.2).
Необходимые и достаточные условия идентифицируемости
В модели, содержащей N уравнений относительно N эндогенных
переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и толь-
ко тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из дан-
ных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения систе-
мы, равен N ? 1.




325
13.8. Оценка систем уравнений

13.8.1. МНК для рекурсивных моделей
Одним из случаев успешного применения МНК для оценки
структурных коэффициентов модели является его использование для
рекурсивных (треугольных) моделей. В этих моделях эндогенные пе-
ременные последовательно (рекурсивно) связаны друг с другом. А
именно, первая эндогенная переменная Y1 зависит лишь от экзоген-
ных переменных Xi, i = 1, 2, …, m и случайного отклонения ?1. Вторая
эндогенная переменная Y2 определяется лишь значениями экзогенных
переменных Xi, i = 1, 2, …, m случайным отклонением ?2, а также
эндогенной переменной Y1. Третья эндогенная переменная Y3 зависит
от тех же переменных, что и Y2, случайного отклонения ?3, а также от
предыдущих эндогенных переменных (Y1, Y2) и т. д.
В этих моделях структурные уравнения оцениваются поэтапно
(Y1 > Y2 > Y3 > … > YN). Применение МНК для таких моделей по-
зволяет получить несмещенные и состоятельные оценки.
Однако модели данного типа встречаются достаточно редко. В
общем случае для оценки структурных коэффициентов вначале необ-
ходимо преобразовать исходные уравнения к приведенному виду, а
затем применять обыкновенный МНК. Методы, основанные на данной
процедуре, называются косвенными методами наименьших квадра-
тов. Схема и пример применения данного метода приведены в пара-
графе 13.4.
13.8.2. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)
Описание данного метода прокомментируем примером его ис-
пользования для модели IS ? LM для закрытой экономики при фикси-
рованной налоговой ставке (t):
Y = ?0 + ?1r + ?2G + ?3t + ?1, (?1 < 0), (13.411)
Y = ?0 + ?1r + ?2M + ?2. (?1 > 0). (13.412)
Уравнение (13.412) является переопределенным (относительно
переменной r) и для оценки его коэффициентов рекомендуется ис-
пользовать метод инструментальных переменных (ИП). Но для этого
необходимо найти соответствующие инструментальные переменные.
Этот поиск позволяет осуществить двухшаговый МНК (ДМНК). Суть
326
данного метода состоит в использовании в качестве инструмен-
таль-
ной переменной оценки переопределенной переменной, полученной
на базе экзогенных (или предопределенных) переменных модели.
Шаг 1
В уравнении (13.412) переопределенной переменной является
процентная ставка r. Ее можно оценить, опираясь лишь на экзогенные
переменные (например, вычитая из (13.412) соотношение (13.411)):
е 2 ? е1
R = ?0 + ?1M + ?2G + ?3t + ? ( х = ). (13.42)
в 1 ? б1
)
Применяя для (13.42) МНК, мы получаем оценку r переменной r:
)) ) ) )
r = л 0 + л1M + л 2 G + л 3 t , (13.43)
)
где r ? условная средняя при фиксированных значениях M, G, t.
Шаг 2
Подставляя оценку (13.43) в уравнение (13.412), имеем:
)
Y = ?0 + ?1 r + ?2M + ?2. (13.44)
Данная замена позволяет преодолеть такую существенную про-
блему переопределенных моделей, как коррелированность объясняю-
щей переменной со случайным членом (напомним, что такая коррели-
рованность приводит к получению смещенных и несостоятельных
)
оценок). Действительно, оценка r выражается только через экзоген-
ные переменные и, следовательно, не коррелирует со случайным от-
клонением. Фактически ее можно рассматривать как новую экзоген-
ную переменную.
Заменив в модели (13.41) уравнение (13.412) на (13.44), мы полу-
чаем систему, которую можно оценить с помощью МНК.
При наличии в модели более одной переопределенной перемен-
ной на первом этапе необходимо оценить все такие переменные.
ДМНК обладает определенными свойствами, делающими его

<< Предыдущая

стр. 57
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>