<< Предыдущая

стр. 7
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

фициента корреляции как меры линейной зависимости весьма нагляд-
ны из рис. 1.14.
Y Y Y

• • ••
?xy = 1 • • ?xy = ?1 • • ?xy ? 0.7 ? 0.9
• • • •
• • ••
• • ••


0 X 0 X 0 X
а б в

Y Y Y
• Y = aX2 + bX + c •
• •
•• • • • •• • • •
• •• •• • • • •• • •
• •• •• • • •• •• • • •
••• • ••• • • • ?xy ? 0
••• • •••
?xy ? 0 (?xy < 0) • • • ?xy ? 0
0 X0 X 0 X
г д е
Рис. 1.14

В параграфе 1.3 были приведены основные свойства и формулы
расчета дисперсии, в частности дисперсии суммы двух независимых
СВ. В случае, когда СВ не являются независимыми, а коррелируют
друг друга, формулы расчета дисперсии их суммы либо разности
имеют вид:
D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2COV(X, Y), (1.35)
D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2?xy ??x?? y. (1.36)

38
Очевидно, при независимости СВ последние слагаемые в данных
формулах обращаются в нуль.
Значимость коэффициента корреляции при анализе линейной
регрессии рассматривается в гл. 4 данного пособия.

Пример 1.3. На основе многолетних наблюдений за результатами вложе-
ний в две компании был построен закон распределения СВ X и Y ? размеров го-
довых дивидендов (в процентах) от вложения в данные отрасли. Закон представ-
лен табл. 1.6. Необходимо определить маргинальные законы распределений каж-
дой из СВ, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию
и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно: вкладывать
деньги в одну из этих отраслей либо одновременно в обе в равных пропорциях.
Таблица 1.6
?10
Y 5 10 PX
X

0.05 0.25 0.3 0.6
?10

0.15 0.20 0.05 0.4
20

PY 0.2 0.45 0.35 1

В средней части табл.1.6 приведены совместные вероятности P(x, y) двух
СВ. Например, P(X = 20, Y = 5) = P(20, 5) = p22 = 0.2. В правом столбце и нижней
строке приведены вероятности СВ Х и Y соответственно. Например, P(X = ?10) =
= PX(?10) = 0.6. Условная вероятность P(x|y) определяется по столбцам данной
таблицы, а условная вероятность P(y|x) ? по строкам. Например, P(20?Y = 5) =
= P(Х = 20, Y = 5) / P(Y = 5) = 0.2/0.45 = 0.444.
Законы распределения СВ Х и Y представлены следующими таблицами:

?10 ?10
X 20 Y 5 10

Px 0.6 0.4 Py 0.20 0.45 0.35

Так как P(x, y) ? P(x)?P(y) (например, P( X = 20, Y = 10) = 0.05 ? 0.4?0.35 =
= 0.14 = P( X = 20)?P(Y = 10)), то можно сделать вывод, что указанные СВ не яв-
ляются независимыми. По построенным законам распределений определим чи-
словые характеристики СВ X и Y:
M(X) = ?10?0.6 + 20?0.4 = 2; M(Y) = ?10?0.2 + 5?0.45 + 10?0.3 = 3.5;
2 2
D(X) = M(X ) ? M (X) = 100?0.6 + 400?0.4 ? 4 = 216;
2 2 2
D(Y) = M(Y ) ? M (Y) = 100?0.2 + 25?0.45 + 100?0.35 ? (3.25) = 55.6875;
?x = 216 ? 14.7; ?y = 55.6875 ? 7.46.
Определим их ковариацию и коэффициент корреляции.

39
2 3
?xy = M(X?Y) ? M(X)?M(Y) = ? ? x i y j p ij ? M(X)?M(Y) =
i =1 j=1

= ?10?(?10)?0.05 + (?10)?5?0.25 + (?10)?10?0.3 + 20?(?10)?0.15 + 20?5?0.2 +
+ 20?10?0.05 ? (?10?0.6 + 20?0.4)?(?10?0.2 + 5?0.45 + 10?0.3) = ? 44.
у xy ? 44
? ? 0.4.
с xy = =
14.7 ? 7.46
уx ?уy
Таким образом, можно сказать, что между X и Y существует не очень силь-
ная отрицательная линейная зависимость. Риски от вложения в акции компаний
можно определять по разбросу значений их дивидендов, т. е. по дисперсиям СВ.
Следовательно, можно сделать вывод, что вложение в первую компанию более
рискованно, чем во вторую (D(X) = 216 > 55.6875 = D(Y)).
Обозначим через Z дивидендов от вложения денег в равных пропорциях
(50:50) в обе отрасли. Следовательно, Z = 0.5X + 0.5Y. Тогда
M(Z) = M(0.5X + 0.5Y) = 0.5(M(X) + M(Y)) = 0.5(2 + 3.25) = 2.625;
D(Z) = D(0.5X + 0.5Y) = 0.25(D(X) + D(Y) + 2?xy??x??y) =
= 0.25(216 + 55.6875 + 2?(? 0.4)?14.7?7.46) ? 45.989.
Поскольку D(Z) = 45.989 < 55.6875 = D(Y), то есть основания считать, что
одновременное вложение в обе отрасли в равных пропорциях является наименее
рискованным из трех рассмотренных вариантов вложений.

Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры случайных событий в экономике. Можно ли дать им ве-
роятностное описание? Какой вид вероятности при этом использовался?
2. Приведите примеры совместных и несовместных событий.
3. Что такое составное событие? Приведите примеры составных событий и их
разложение на элементарные.
4. Дайте возможные определения вероятности. Приведите примеры их использо-
вания.
5. Что такое относительная частота события, как она связана с вероятностью?
6. В чем суть метода экспертных оценок определения вероятности? Приведите
соответствующий пример.
7. В чем суть субъективного определения вероятности? Приведите пример ис-
пользования такой вероятности.
8. Что такое случайная величина (СВ)? Какие виды СВ рассматриваются?
9. Приведите примеры дискретных и непрерывных СВ из экономики.
10. Перечислите основные числовые характеристики СВ. Как они вычисляются
для дискретных и непрерывных СВ.
11. Что такое функция распределения СВ? Приведите ее свойства.
12. Что такое плотность вероятности СВ? Приведите ее свойства.
13. Каким образом может быть задана СВ?

40
14. Как рассчитывается вероятность попадания СВ в определенный интервал с
помощью функции распределения, с помощью плотности вероятности?
15. Докажите основные свойства математического ожидания, используя его
определение.
16. Докажите основные свойства дисперсии, используя ее определение.
17. Как определяется число степеней свободы случайной величины?
18. Как связаны между собой СВ, имеющие стандартизированное нормальное
2
распределение, распределения Стьюдента, ? и Фишера?
19. Справедливо или ложно утверждение, что при увеличении числа степеней
2
свободы распределения Стьюдента, ? и Фишера стремятся к стандартизиро-
ванному нормальному распределению?
20. Перечислите свойства ковариации.
21. Приведите свойства коэффициента корреляции.
22. Что такое совместная вероятность, совместная функция распределения, совме-
стная плотность вероятности?
23. Как определяются условная вероятность, функция распределения, плотность
вероятности?
24. Как определяется независимость случайных величин?
25. Как определяется коррелированность и некоррелированность СВ? Как эти по-
нятия связаны с независимостью случайных величин?

Упражнения и задачи
1. Среди покупателей мужчин 80 % предпочитают напитки фирмы А, а среди
покупательниц женщин эти же напитки предпочитают 50 %. Используя дан-
ные многомесячных наблюдений, установлено, что доля покупателей-
женщин в данном магазине составляет 60 %. Оценить вероятность того, что
случайный покупатель предпочтет напитки фирмы А.

2. Семь из десяти посетителей кафе заказывают к кофе фирменное пирожное.
Два человека заказывают кофе. Какова вероятность того, что они закажут:
а) два пирожных; б) одно пирожное; в) ни одного?

3. Брокер может приобрести акции одной из трех компаний A, B, C. Риск про-
гореть при покупке акций компании А составляет 50 %, B ? 40 %, C ? 20%.
Брокер решает вложить все деньги в акции одной случайно выбранной ком-
пании. Какова вероятность того, что брокер прогорит?

4. Совет директоров компании состоит из 12 человек. Трое из них лоббируют
проект А, пятеро ? проект В. Остальные склонны инвестировать деньги в
проект С. Решение об инвестировании будет принимать большинством голо-
сов комиссия, состоящая из 5 выбранных жребием директоров. Какова веро-
ятность принятия решения в пользу проекта В?


41
5. Исследуется динамика курсов валют А и В по отношению к валюте С. Ста-
тистика торгов на валютной бирже свидетельствует, что при возрастании
курса В курс валюты А растет в 80 % случаев, при снижении курса В курс
валюты А растет в 25 % случаев, при неизменности курса В курс валюты А
растет в 50 % случаев. Предполагая, что варианты изменения курса валюты
В имеют одинаковую вероятность, определите вероятности соответствую-
щих изменений при условии, что на последних торгах курс валюты А вырос.

6. 10 % билетов в лотерее из 10000 штук являются выигрышными. Определите
а) вероятность выигрыша при покупке 5 билетов;
б) количество билетов, которые необходимо приобрести, чтобы выиграть с
вероятностью не менее 0.9;
в) что вероятнее: выиграть или не выиграть при покупке 7 билетов?

7. Продавец анализирует объемы ежедневных продаж (в условных единицах) на
основе месячных данных (25 рабочих дней). В течение 5 дней объемы еже-
дневных продаж составляли 10 у. е., 10 дней ? 20 у. е., 7 дней ? 25 у. е. и 3
дней ? 30 у. е. Необходимо построить закон распределения СВ Х ? объема
ежедневных продаж. Определить средний ожидаемый объем продаж и оце-
нить относительный разброс этих объемов.

8. Задан закон распределения СВ Х:
Х 1 3 5 7 9
Р b 2b 3b 4b 5b
а) Определить значение b.
б) Вычислить М(Х), D(X).
в) Определить вероятность Р( 3 ? Х < 7).

Следующая таблица представляет распределение годовой прибыли фирмы
9.
(X).
X(%) -10 -5 0 10 20 25
P 0.05 0.15 0.25 0.30 0.20 0.05
Необходимо оценить ожидаемую прибыль, среднее квадратическое откло-
нение. Определить вероятность положительной прибыли.

Пусть СВ Х ? величина ежемесячного спроса на некоторый скоропортя-
10.
щийся продукт задана следующим законом распределения:
X 100 200 300 400 500 600
P 0.05 0.15 0.25 0.30 0.20 0.05
Издержки на производство единицы продукции составляют $5, продукция
продается по фиксированной цене $10 за единицу. Целью производителя яв-
ляется максимизация ожидаемой прибыли. Какова величина ожидаемой
прибыли и ее дисперсии?

42
11. Предположим, что число магазинов неограниченно велико. В 1/3 из них то-
вар продается по цене $1, в 1/3 ? по цене $1.5, в 1/3 ? по цене $2. Покупатель
посещает наугад три магазина и приобретает товар в том из них, где цена
наименьшая. Какова ожидаемая цена покупки?

12. Проведен маркетинговый анализ количества автомобилей в домохозяйствах
района для определения целесообразности строительства станции техобслу-
живания. Обследовано 5000 домохозяйств. Из них в 250 отсутствовали авто-
мобили, в 1500 было по одному автомобилю, в 2500 ? по два, в 600 ? по три
и в 150 ? по четыре. Вероятность поломки автомобиля составляет 0,05.
Станция будет рентабельна, если ее ежедневная загрузка составляет 5 авто-
мобилей. Целесообразно ли строительство станции в данном районе?

13. Следующая таблица определяет закон распределения двумерной СВ (X, Y).
?10
Y 0 10 20
X

10 0.25 0.10 0.15 0.00

20 0.00 0.05 0.30 0.15

а) Определить маргинальные законы распределений СВ X и Y.
б) Оценить ожидаемые значения X и Y, а также их дисперсии.
в) Определить условные вероятности P( X = xi?Y = yj) и P(Y = yj?X = xi).
г) Являются ли СВ X и Y независимыми?

13. Следующая таблица представляет совместный закон распределения двух СВ
X и Y ? процентов отдачи за первый год от инвестиций в отрасли А и В со-
ответственно.
?10
Y% 0 10 15
X%

0 0.00 0.15 0.10 0.20
10 0.02 0.05 0.05 0.08
20 0.25 0.10 0.00 0.00
а) Рассчитайте ожидаемые процентные отдачи от вложений только в одну из
отраслей.
б) Являются ли данные отдачи независимыми СВ?
в) Какое из вложений менее предсказуемо?
г) Какое из вложений вы бы избрали?

<< Предыдущая

стр. 7
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>