<< Предыдущая

стр. 8
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


15. Пусть Х, Y – годовые дивиденды от вложений в отрасли А и B соответст-
венно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями D(X) = 16, D(Y) =
= 9. Коэффициент корреляции ?(X,Y) = ?0.6. Что менее рискованно, вкла-
дывать деньги в обе отрасли в соотношении 30% на 70% или только в от-
расль B?
43
Следующая таблица определяет совместное распределение двух СВ Х1 и
16.
Х2 ? доходов фирмы в течение двух последовательных дней.

?10
X2 0 10
X1
-10 0.20 0.10 0.02
0 0.03 0.30 0.05
10 0.01 0.04 0.25

Определить:
а) законы распределения СВ Х1 и Х2;
б) закон распределения среднего дохода Y = (Х1 + Х2) / 2;
в) являются ли коррелированными указанные СВ;
г) закон распределения прироста дохода Z = Х2 ? Х1.
17. Имеются три вида акций А, В и С, каждая стоимостью $10, дивиденды по
которым являются независимыми СВ со средним значением 10% и диспер-
2
сией 16 (%) . Формируется два портфеля инвестиций. Портфель P1 состоит
из 30 акций А. Портфель P2 включает в себя по 10 акций А, В и С.
а) Отличаются ли данные портфели по величинам ожидаемых дивидендов и
по риску?
б) Пусть коэффициент корреляции между дивидендами по акциям А и В ра-
вен ?0.5, но обе эти величины не коррелируют с дивидендами по акциям С.
Как это отразится на ответе на вопрос а)?
в) Если дивиденды по рассматриваемым акциям положительно коррелиро-
ванны друг с другом, то снизит ли риск вложений покупка различных акций?
г) Если корреляция между акциями А и В является совершенной отрица-
тельной (?АВ = ?1), то что можно ожидать при формировании портфеля по
принципу 50 % акций А и 50 % акций В?

18. Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним зна-
чением $1000 и стандартным отклонением 400. Обследуется 1000 человек.
Какое количество человек будет иметь доход более $1500? Назовите наибо-
лее вероятное количество.

19. Прибыль в отрасли имеет нормальный закон распределения со средним зна-
чением $1 млн. и стандартным отклонение $ 0.25 млн. Что вероятнее, полу-
чить прибыль не более чем $0.8 млн. или в пределах от $1.2 до $1.5 млн.?

20. Известно, что результат (балл) сдачи теста по эконометрике имеет нормаль-
ный закон распределения со средним значением 30. 20% студентов получили
не менее 35 баллов. Можно ли сказать, чему равно среднее квадратическое
отклонение указанной СВ?



44
2. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИКИ
При исследовании реальных экономических процессов прихо-
дится обрабатывать большие объемы статистических данных по са-
мым разнообразным показателям, которые по своей сути являются
случайными величинами. По ходу проводимого анализа часто возни-
кает необходимость оценивания числовых значений различных пара-
метров, неоднократно приходится выдвигать и проверять различные
предположения, устанавливать наличие и силу зависимости между
разнообразными факторами. На практике мы сталкиваемся с конкрет-
ными реализациями рассматриваемых СВ. Количество таких реализа-
ций носит ограниченный характер, что не позволяет применять на-
прямую теоретические методы анализа. Поэтому здесь в первую оче-
редь используются методы и модели математической статистики (в
частности, выборочный метод), позволяющие получить необходимые
знания об исследуемом объекте, осуществить направленный анализ и
сделать обоснованные выводы.
Одной из центральных задач математической статистики являет-
ся выявление закономерностей в статистических данных, на базе чего
можно будет строить соответствующие модели для принятия обду-
манных решений. Под статистическими данными подразумеваются
данные наблюдений за значениями некоторой случайной величины
или совокупности случайных величин, характеризующих изучаемый
процесс.
Первая задача математической статистики – указать способы
сбора и группировки статистических данных, полученных в результа-
те наблюдений или испытаний.
Вторая задача математической статистики – разработать методы
анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Сюда относятся:
а) оценки неизвестной вероятности события; неизвестной функ-
ции распределения; неизвестных параметров известного распределе-
ния; зависимости двух или нескольких случайных величин и т. п.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распре-
деления; о величинах параметров известного распределения; о виде и
силе зависимости между рассматриваемыми случайными величинами.
Таким образом, основная задача математической статистики со-
стоит в создании методов сбора и обработки статистических данных
для получения научных и практических выводов.

45
Знание методов математической статистики и умение ими опери-
ровать являются необходимой предпосылкой для успешного эконо-
метрического анализа. В данной главе приводятся подходы к анализу
статистических данных, описываются основные характеристики, ко-
торые активно используются при статистической обработке
экономических данных.
2.1. Генеральная совокупность и выборка
Пусть изучается совокупность однородных объектов относитель-
но некоторого количественного признака, характеризующего эти объ-
екты. Например, доход населения, количество покупателей в магазине
в течение дня, количество качественных товаров в исследуемой пар-
тии и т. д.
Генеральной совокупностью называется множество всех возмож-
ных значений или реализаций исследуемой случайной величины X
при данном реальном комплексе условий.
Выборкой (выборочной совокупностью) называют часть гене-
ральной совокупности, отобранную для изучения.
Число элементов рассматриваемой совокупности называется ее
объемом.
Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях ли-
бо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных
затрат, либо в силу уничтожения или порчи исследуемых объектов.
Например, анализ среднего дохода населения г. Минска формально
предполагает наличие достоверной информации о каждом жителе го-
рода в конкретный момент времени. Получение такой информации
просто невозможно. Проверка качества обуви связана с воздействием
на нее различных экстремальных факторов: растяжения, сжатия,
влажности, температуры, солнечных лучей, химического воздействия,
что приведет к потере товарного вида исследуемой обуви. Поэтому на
практике вся генеральная совокупность почти никогда не анализиру-
ется. Для осуществления выводов о генеральной совокупности в
большинстве случаев используется выборка ограниченного объема. В
силу этого задача математической статистики состоит в исследовании
свойств выборки и обобщении этих свойств на генеральную совокуп-
ность. Полученный при этом вывод называется статистическим.
Информация о генеральной совокупности, полученная на основа-
нии выборочного наблюдения, практически всегда будет обладать не-
которой погрешностью, так как она основывается на изучении только

46
части элементов. Вряд ли средний доход и разброс в доходах, полу-
ченных по выборке объема n = 1000, будет в точности таким же, что и
во всем городе. Это определяет две проблемы, составляющие содер-
жание математической теории выборки:
• как организовать выборочное наблюдение, чтобы полученная ин-
формация достаточно полно отражала пропорции генеральной со-
вокупности (проблема репрезентативности выборки);
• как использовать результаты выборки для суждения по ним с наи-
большей надежностью о свойствах и параметрах генеральной сово-
купности (проблема оценки).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка
будет репрезентативной, если отбор будет носить случайный харак-
тер.
Различают повторную и бесповторную выборки. В первом случае
отобранный объект перед отбором следующего возвращается в гене-
ральную совокупность. Во втором – отобранный в выборку объект не
возвращается в генеральную совокупность. Если выборка составляет
незначительную часть генеральной совокупности, то различие между
повторной и бесповторной выборками стирается.
Случайный отбор может проводиться с помощью датчика табли-
цы случайных чисел либо обычной жеребьевкой. Однако строгое со-
блюдение правил случайного отбора не всегда осуществимо, так как
оно требует четко ограниченной базы статистического анализа, како-
вой является генеральная совокупность, перенумеровки всех ее эле-
ментов или непосредственного их извлечения при жеребьевке. Так,
при проведении обследований дохода населения в масштабах города
практически невозможно составить список всех его жителей или се-
мей с последующей организацией выборки с помощью датчика слу-
чайных чисел. Аналогично невозможно организовать опросы по изу-
чению покупательного спроса, потребностей населения и т.д. путем
образования строго случайной выборки. Поэтому прибегают к раз-
личным приемам неслучайного отбора, стремясь, однако, приблизить-
ся к условиям случайного. К этим приемам относится механический
отбор, при котором элементы генеральной совокупности, предвари-
тельно упорядоченные, отбираются по заранее установленному пра-
вилу, не связанному с вариацией исследуемого признака. Например,
можно фиксировать доход каждого сотого, входящего в метро. Серий-
ным называют отбор, при котором объекты выбираются из генераль-
ной совокупности не по одному, а “сериями”, которые подвергаются

47
сплошному обследованию. Например, о продукции предприятия мож-
но судить по продукции, выпущенной в какой-то конкретный день.
При типическом отборе объекты отбираются не из всей генеральной
совокупности, а из каждой ее “типической” части. Например, населе-
ние города можно предварительно классифицировать по социальному
статусу (бизнесмены, чиновники, служащие, рабочие и т. д.). Нередко
на практике применяется комбинированный отбор, при котором соче-
таются описанные выше способы.
2.2. Способы представления и обработки
статистических данных
Во многих случаях для анализа тех либо других экономических
процессов важен порядок получения статистических данных. Но при
рассмотрении так называемых перекрестных данных порядок их по-
лучения не играет существенной роли. Кроме того, результаты выбо-
рочных значений x1, х2, …, хn количественного признака ? генераль-
ной совокупности, записанные в порядке их регистрации, обычно
труднообозримы и неудобны для дальнейшего анализа. Задачей ста-
тистического описания выборки является получение такого ее пред-
ставления, которое позволит наглядно выявить ее вероятностные ха-
рактеристики. Для этого применяются различные формы упорядоче-
ния данных в выборке – по возрастанию, по совпадающим значениям,
по интервалам и т. п.
При анализе какого-то конкретного показателя Х за фиксирован-
ный момент времени (либо без учета фактора времени) наблюдаемые
значения x1, x2,…, xn обычно упорядочивают по неубыванию: x1? x2 ?
? … ? xn . Разность между максимальным и минимальным значениями
СВ Х называется размахом выборки. Пусть количество различных
значений в выборке равно k ( k ? n ) . Для определенности положим
x1 < x2 < … < xk.
Значения xi, i = 1, 2, … ,k называются вариантами.
Пусть значение xi встретилось в выборке ni раз, тогда число ni
ni
называется частотой значения xi, а ? i = – относительной час-
n
тотой значения xi. Тогда наблюдаемые значения можно сгруппиро-
вать в статистический ряд, показанный в табл. 2.1:




48
Таблица 2.1
X x1 x2 … xk
k
? ni = n ;
ni n1 n2 … nk
i =1
kn
ni n1 n2 nk = 1.
i
?
?i = …
i =1 n
n n n n

По статистическому ряду можно построить эмпирическую функ-
цию распределения F?(x):
n
F?(x) = x , (2.1)
n
где nx – число значений случайной величины ? меньших, чем x ; n –
объем выборки. По определению F?(x) обладает следующими свойст-
вами:
0 ? F?(x) ? 1;
1.
для любых x1 < x2 F?(x1) ? F?(x2);
2.
F? (x) = 0 при x ? x1; F? (x) = 1 при x > xk.
3.
Эмпирическая функция распределения F?(x) является оценкой
функции распределения F(x) = P( X < x ), которая в этом случае назы-
вается теоретической функцией распределения.
Пример 2.1. Анализируется прибыль Х(%) предприятий отрасли. Обследо-
ваны n = 100 предприятий, данные по которым занесены в следующий статисти-
ческий ряд.
X 5 10 15 20 25
ni 5 20 40 25 10
ni
0.05 0.2 0.4 0.25 0.1
n
Необходимо построить эмпирическую функцию распределения F?(x) и ее
график.
x ? 5;
0,
0.05, 5 < x ? 10 ;
?
0.25, 10 < x ? 15 ;
F (x) =
0.65, 15 < x ? 20 ;
0.90, 20 < x ? 25 ;
1, x > 25.


<< Предыдущая

стр. 8
(из 65 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>