<< Предыдущая

стр. 10
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

X > x , то
6) Если известна вероятность q того, что
соответствующее значение x равно:
x = СТЬЮДРАСПОБР (2q,? )

3.2. ?2-распределение.
Плотность ?2-распределения задается формулой:

x < 0: p ( x) = 0
x (? ? 2 ) / 2 ? exp(? x / 2)
x > 0: p ( x) =
Г (? / 2) ? 2? / 2
Плотность зависит от единственного параметра ? , который
принято называть числом степеней свободы. Приведем значения
основных характеристик распределения:
?
Математическое ожидание
? ? 2 (? ? 2)
Мода

2?
Дисперсия
Коэффициент асимметрии 2 2 /?
3? + 12
Эксцесс
?


55
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


При числе степеней свободы ? > ? , ?2-распределение
стремится к нормальному распределению с центром ? и
дисперсией 2? .
Типичная интерпретация
Пусть случайная величина Х имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием µ и дисперсией
?2.
Если имеется выборка этой случайной величины
( x1 , x 2 ,..., x N ) , то состоятельными и несмещенными оценками
математического ожидания и дисперсии по выборке будут
следующие величины:
1N 1N
X = ? xk ? ( xk ? X ) 2
2
?=
N ? 1 k =1
N k =1
N
? = ? (( xk ? µ ) / ? )2
2
Тогда случайная величина будет
k =1
подчиняться ? -распределению с ? = N степенями свободы, а
2

2
случайная величина ? 2 = ( N ? 1) ? (? / ? 2 ) будет подчиняться
?2-распределению с ? = N ? 1 степенями свободы.
Вычисление ?2-распределения с помощью Microsoft Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
? -распределения. Все используемые функции можно найти в
2

разделе "Статистические функции" электронных таблиц Micro-
soft Excel.

?2-
Пусть случайная величина подчиняется
X
распределению с числом степеней свободы ? .
1) Вероятность того, что X ? x , вычисляется как:
P = 1 ? ХИ 2 РАСП ( x,? )
2) Вероятность того, что X > x , равна:
q = ХИ 2 РАСП ( x,? )
Величина q - это вероятность того, что случайная величина
X попадает в критическую область ?2-распределения.
56
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3) Если известна вероятность P или вероятность q , то
соответствующее значение x , определяющее границу
интервала X ? x равно:
x = ХИ 2ОБР (q,? ) или x = ХИ 2ОБР (1 ? P,? )

3.3. F-распределение (распределение v2).
Плотность F-распределения задается формулой:

x < 0: p( x) = 0
x > 0:
Г ((? 1 + ? 2 ) / 2) (? 1 ? 2) / 2
p( x) = (? 1 / ? 2 ) 1 ? ? (1 + (? 1 / ? 2 ) ? x ) 1 2
? /2 ? (? +? ) / 2
?x
Г (? 1 / 2)Г (? 2 / 2)
Плотность F-распределения зависит от двух параметров
(? 1 ,? 2 ) , которые принято называть числом степеней свободы.
Приведем значения основных характеристик F-распределения:

?2
Математическое
при ? 2 > 2
ожидание
?2 ? 2
? 2 (? 1 ? 2)
Мода
при ? 1 > 2
? 1 (? 2 + 2)
Дисперсия 2? 2 (? 1 + ? 2 ? 2)
2
при ? 2 > 4
? 1 (? 2 ? 2) 2 (? 2 ? 4)

Типичная интерпретация
Пусть случайные величины Х и Y имеют нормальное
распределение с дисперсиями ? x и ? y соответственно.
2 2


Если имеются выборки этих случайных величин
( x1 , x 2 ,..., x N ) и ( y1 , y 2 ,..., y M ) , то состоятельными и
несмещенными оценками дисперсий по выборке будут
следующие величины:


57
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


1N 1N
? ( xk ? X ) 2 ? ( yk ? Y ) 2
2 2
?x ?y
= =
N ? 1 k =1 M ? 1 k =1
Пусть выборочная дисперсия величины Х больше
выборочной дисперсии величины Y . Тогда случайная величина
2 2
F = ? x /? y будет подчиняться с
F-распределению
? 1 = N ? 1, ? 2 = M ? 1 степенями свободы.
Вычисление F-распределения с помощью Microsoft Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
F-распределения. Все используемые функции можно найти в
разделе "Статистические функции" электронных таблиц Micro-
soft Excel.

Пусть случайная величина X подчиняется F-распределению с
числом степеней свободы ? 1 , ? 2 .
1) Вероятность того, что X ? x , вычисляется как:
P = 1 ? FРАСП ( x,? 1 ,? 2 )
2) Вероятность того, что X > x , равна:
q = FРАСП ( x,? 1 ,? 2 )
Величина q - это вероятность того, что случайная величина
X попадает в критическую область F-распределения.
3) Если известна вероятность P или вероятность q , то
соответствующее значение x , определяющее границу
интервала X ? x равно:
x = FРАСПОБР (q,? 1 ,? 2 ) или
x = FРАСПОБР (1 ? P,? 1 ,? 2 )




58
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 4. Оценка параметров распределения по выборке случайной вели-
чины

4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ВЫ-
БОРКЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

4.1. Введение.
Эта глава посвящена методам оценки по эмпирической вы-
борке параметров распределения случайной величины. Будут
указаны формулы для оценки центра распределения, дисперсии
и показателей формы распределения, а также практические
приемы удаления аномальных значений (промахов) из выборки.

4.2. Оценки центра распределения.
По возможности наиболее точная оценка центра распреде-
ления по выборке случайных величин исключительно важна, так
как центр распределения используется в формулах для вычисле-
ния дисперсии, среднеквадратичного отклонения, коэффициента
асимметрии и эксцесса распределения. Некорректное определе-
ние центра влечет за собой ошибки в определении всех этих ве-
личин.
Оценку центра распределения по выборке можно проводить
различными способами. Не зная априорно закона распределения
случайной величины, невозможно заранее указать наиболее
приемлемый способ. К тому же, некоторые из этих оценок чув-
ствительны к наличию аномальных значений в выборке (прома-
хов).
Поэтому для корректной оценки центра распределения мы
будем вычислять его пятью различными способами. После этого
пять полученных оценок упорядочим по возрастанию и выберем
из них в качестве центра распределения серединное, то есть
третье по счету, значение.
Выборку случайных величин будем обозначать как
{xk }, k = 1,..., N . Упомянутые выше пять оценок центра по вы-
борке следующие:
- медиана Хмедиана,
- центр 50%-ного интерквантильного промежутка (центр сги-
бов) Хцентр_сгибов,
- среднее арифметическое по всей выборке X ,

59
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 4. Оценка параметров распределения по выборке случайной вели-
чины

среднее арифметическое по 50%-ному интерквантильному
-
промежутку X 50% ,
- центр размаха Хцентр_размаха.
Серединное значение этих оценок будем обозначать как ХЦЕНТР.
Медиана
Перед вычислением медианы выборка {xk } должна быть
упорядочена по возрастанию, после чего медиану можно опре-
делить следующим образом:
- если объем выборки N является нечетным, то
X медиана = x( N +1) / 2
если объем выборки N является четным, то
-
X медиана = ( xN / 2 + x( N / 2)+1 ) / 2
Медиана нечувствительна к промахам в выборке.
Центр 50%-ного интерквантильного промежутка (центр
сгибов)
Перед вычислением этой оценки выборка {xk } также должна
быть упорядочена по возрастанию. Обозначим как М четвертую
часть от объема выборки, то есть M=ЦЕЛОЕ(N/4).
Тогда центр сгибов определяется по формуле:
X центр сгибов = ( xM +1 + xN ? M ) / 2
Центр сгибов нечувствителен к промахам в выборке.
Среднее арифметическое по всей выборке
Среднее арифметическое (выборочная средняя) является самым
распространенным методом оценки центра распределения:
N
1
?x
X= k
N k =1
Эта величина является несмещенной и состоятельной оценкой
математического ожидания (генеральной средней) µ случайной
переменной х. Несмещенность заключается в том, что
математическое ожидание величины X равно µ. Состоятель


60
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 4. Оценка параметров распределения по выборке случайной вели-
чины

ность заключается в том, что при объеме выборки N > ? ,
значение величины X > µ .
Среднее арифметическое случайных величин само является
случайной величиной. Дисперсия и среднеквадратичное
отклонение среднего арифметического зависят от дисперсии и
среднеквадратичного отклонения самой случайной величины и
объема выборки:
D( X ) = D / N = ? 2 / N
? (X ) = ? / N
Это соотношение справедливо для независимых данных с конечной
дисперсией и с любым законом распределения. Таким образом,
с.к.о. среднего значения меньше, чем с.к.о. самой случайной

<< Предыдущая

стр. 10
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>