<< Предыдущая

стр. 15
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

рифмам отношения цен, ситуация изменится.
P
P1 P P
ln( PT ) ? ln( P0 ) = ln( ) + ln( 2 ) + ... + ln( t ) + ... + ln( T )
P0 P1 Pt ?1 PT ?1
Распределение логарифмов уже может быть симметрично и
возможна его аппроксимация одним из аналитических законов
распределения, которые были рассмотрены во второй главе.
В качестве примера ценового ряда рассмотрим индекс Рос-
сийской торговой системы (индекс РТС) за период с 1 сентября
1995 года по 31 декабря 2002 года. График этого ряда изображен
на рисунке:
Индекс РТС
600

500

400

300

200

100

0
янв.00
апр.97




апр.02
ноя.97

июн.98



июл.99
мар.96




дек.98




авг.00
сен.95




фев.01

сен.01
окт.96




окт.02




Исследуемой выборкой случайных величин будут нату-
ральные логарифмы отношения цен закрытия индекса РТС.

85
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 6. Идентификация закона распределения по выборке случайной ве-
личины

Подробный алгоритм вычисления параметров распределе-
ния, построения графиков плотности распределения и функции
распределения рассмотрен в предыдущем параграфе, поэтому
здесь приведем только результаты.

Наименование оценки Величина

Центр распределения (математическое 0.0007
ожидание)
Среднеквадратичное отклонение 0.0324
Коэффициент асимметрии -0.3064
Эксцесс 7.4301
Плотность вероятности
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20


Функция распределения
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
-0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20


86
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 6. Идентификация закона распределения по выборке случайной ве-
личины

Отметим, что с.к.о. превышает математическое ожидание
более чем в 46 раз, то есть исследуемая случайная величина яв-
ляется высоковолатильной. Распределение имеет очень неболь-
шую отрицательную асимметрию, которая вероятно носит слу-
чайный характер, поэтому гистограмма плотности вероятности
была центрирована.
Эксцесс распределения существенно превышает эксцесс
нормального распределения, то есть данное распределение яв-
ляется островершинным.
Гистограмма распределения имеет 27 столбцов. Для боль-
шей наглядности плотность вероятности приведена не в виде
гистограммы, а как плавная линия, проходящая через середины
интервалов разбиения.

6.5. Использование критериев согласия при идентификации
закона распределения случайной величины.
После построения гистограммы распределения можно вы-
двинуть гипотезу о том, что данная гистограмма может быть ап-
проксимирована одним из изученных ранее законов распределе-
ния. При этом степень близости гистограммы и принятой анали-
тической модели может быть проверена с использованием кри-
териев согласия. Здесь будет рассмотрен один из этих критериев
- критерий ?2 Пирсона.
При использовании критерия согласия Пирсона необходимо
вычислить величину:
(Ti ? si ) 2
L
? =?
2

Ti
i =1
где
L - количество столбцов гистограммы,
si - фактическая частота попадания в i-й столбец,
Ti - теоретическая частота попадания в i-й столбец.
Для идеально подобранной модели все разности (Ti ? si ) равны
нулю и, следовательно, величина ?2 также равна нулю. Таким
образом, ненулевое значение ?2 является мерой суммарного рас-
хождения между фактическим распределением и моделью.
87
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 6. Идентификация закона распределения по выборке случайной ве-
личины

Насколько велико это расхождение можно проверить, срав-
нив фактическое значение ?2 с теоретической величиной ? 12? q , ? ,
которая определяет максимально возможное расхождение меж-
ду фактическими данными и моделью, соответствующее приня-
тому уровню значимости q .
Уровень значимости q определяет вероятность ошибки 1-го
рода, то есть вероятность того, что будет отвергнута не проти-
воречащая эмпирическим данным модель.
Величина ? - это число степеней свободы ?2-
распределения. Число степеней свободы зависит от количества
столбцов гистограммы эмпирических данных L и количества
параметров описывающих теоретическую модель:
r,
? = L ?1? r .
Величина ? 12? q , ? - это такая квантиль ?2-распределения, что
100(1 ? q) процентов всех значений случайной величины ?2
лежат слева от ? 12? q , ? , а 100q процентов всех значений
случайной величины ?2 лежат справа от ? 12? q , ? .
Если ? 2 ? ? 12? q , ? , то считают, что модель не противоречит
фактическим данным при заданном уровне значимости.
Если ? 2 > ? 12? q , ? , то считают, что при заданном уровне
значимости модель не описывает удовлетворительным образом
фактические данные и должна быть отвергнута.
Следует особо подчеркнуть, что при проверке модели по
критерию согласия определенным является лишь отрицатель-
ный ответ, то есть отклонение модели.
Положительный ответ означает лишь то, что модель не про-
тиворечит эмпирическим данным. Это вовсе не означает, что
именно этой моделью данные описываются на самом деле, что
это наилучшая модель, что нельзя подобрать другую модель для
описания данных и т.д. Фактически, положительный ответ при
проверке по критерию согласия следует понимать как "возмож-
но эти данные описываются такой-то моделью", и не более того.


88
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 6. Идентификация закона распределения по выборке случайной ве-
личины

Вернемся к полученной в предыдущем параграфе гисто-
грамме натуральных логарифмов относительного изменения це-
ны закрытия индекса РТС.
Гистограмма имеет ярко выраженный пик и достаточно по-
логие спады. Островершинность подтверждается еще и значени-
ем эксцесса, существенно превышающим эксцесс нормального
распределения. Как нам уже известно, распределения с подоб-
ными характеристиками могут быть описаны обобщенным экс-
поненциальным распределением с показателем степени меньше
двух.
Выдвинем гипотезу о том, что фактическое распределение
описывается моделью
?
? x?µ ?
?
exp? ? ?
p ( x) = ? ? < x < +?
? ?? ?
2 Г (1 / ? )?? ? ?
где
математическое ожидание µ = 0.0007
среднеквадратичное отклонение ? = 0.0324
показатель степени ? = 0.87
Показатель степени был найден из значения оценки эксцес-
са распределения, так как для обобщенного экспоненциального
распределения показатель степени и эксцесс имеют взаимно од-
нозначное соответствие:
? = Г (1 / ? ) Г (5 / ? ) /[ Г (3 / ? )]2
Исследуемое эмпирическое распределение имеет 27 столб-
цов. Аналитическая модель имеет 3 параметра. Следовательно,
число степеней свободы для критерия Пирсона равно
? = L ? 1 ? r = 27 ? 1 ? 3 = 23 .
Фактические и теоретические частоты попадания в столбцы
гистограммы дадим для наглядности в графическом виде.




89
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 6. Идентификация закона распределения по выборке случайной ве-
личины


Распределение фактических и теоретических частот

600
Фактическая 500
частота
400
Теоретическая
частота
300

200

100

0
-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20


<< Предыдущая

стр. 15
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>