<< Предыдущая

стр. 22
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

гипотезы о том, что ошибки МНК нормально распределены,
проводится в два этапа:
1) По выборке строится гистограмма
(e1 , e2 ,..., e N )
распределения случайной величины е.
2) Полученная гистограмма проверяется на соответствие
нормальному распределению с помощью критерия согласия
Пирсона.
Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание
ошибки равно нулю
Пусть ошибка МНК е имеет математическое ожидание µ e и
генеральную дисперсию ? e2 . Состоятельными и несмещенными
оценками математического ожидания и дисперсии ошибки
будут выборочная средняя и выборочная дисперсия:
1N
e = ? ( y k ? a xk ? b )
N k =1
123
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


1N
? ( y k ? a xk ? b ) 2
2
?e =
N ? 2 k =1
Мы должны проверить гипотезу
H0 : e = 0
H1 : e ? 0
Проверка этой гипотезы осуществляется по следующей схеме:
1) Априорные предположения
Математическое ожидание ошибки равно нулю
µe = 0
2) Результаты испытания
Выборочная средняя ошибки и выборочное с.к.о. ошибки
e, ? e
при объеме выборки N.
3) Гипотеза
H0 : e = 0
H1 : e ? 0
4) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05 или q = 0.01
5) Критерий проверки
e ? µe e
t= =
?e ?e
6) Правило принятия решения
Принять Н0 , если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ?
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается, когда
критерий проверки t попадает в критическую область
| t | > t1? q / 2, ? .
7) Проверка гипотезы
- Если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ? то критерий проверки t не попада-
ет в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0 . Это
означает, что при заданном уровне значимости выборочная
средняя ошибки e статистически незначимо отличается от ну-
ля.
124
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


В противном случае мы принимаем гипотезу Н1 . Это означает,
-
что при заданном уровне значимости в уравнении регрессии
присутствует систематическая ошибка, и это уравнение должно
быть уточнено.
Проверка гипотезы о том, что дисперсия ошибки постоянна
Упорядочим исходную выборку ( x k , y k ) , k = 1,..., N по воз-
растанию величины x . Обозначим как N 1 / 2 половину от объема
N 1 / 2 = ЦЕЛОЕ ( N / 2) . Выберем число
выборки, то есть
M ? N 1 / 2 . После этого по упорядоченной по возрастанию величи-
ны x выборке рассчитаем отклонения от линии регрессии, первое
для k = 1,..., M (для меньших значений x ), второе для
k = N ? M + 1,..., N (для больших значений x ). Для лучшего
разграничения между двумя группами наблюдений число М можно
выбрать таким образом, чтобы исключить до 20% серединных
точек.
В случае постоянства дисперсии ошибок МНК необъясненная
дисперсия для меньших значений x должна быть приблизительно
равна необъясненной дисперсии для больших значений x , то есть
должно быть справедливым следующее равенство:
M N

?e ?e
?
2 2
k k
k =1 k = N ? M +1
2 2
Обозначим большую из этих сумм как S1 , а меньшую как S 2 .
2 2
Чем ближе к единице отношение S1 / S 2 , тем больше оснований
рассчитывать на то, что дисперсия ошибок МНК постоянна. Слу-
чайная величина F = S1 / S 2 подчиняется F -распределению
2 2


Фишера с ? 1 = M ? 2, ? 2 = M ? 2 степенями свободы. Проверка
гипотезы о постоянстве дисперсии ошибок осуществляется по сле-
дующей схеме:

1) Гипотеза
H 0 : S12 = S 2
2


H 1 : S12 > S 2
2

2) Принятая величина уровня значимости
125
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


q = 0.05 или q = 0.01
3) Критерий проверки
S12
F= 2
S2
4) Правило принятия решения
Принять Н0 , если F ? F1? q , ? 1, ? 2
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки F попадает в критическую об-
ласть F > F1? q , ? 1, ? 2 .
5) Проверка гипотезы
- Если F ? F1? q , ? 1, ? 2 , то критерий проверки F не попадает в
критическую область и мы принимаем гипотезу Н0 . Это оз-
начает, что при заданном уровне значимости дисперсия
ошибок уравнения регрессии постоянна.
- В противном случае мы принимаем гипотезу Н1 . Это озна-
чает, что при заданном уровне значимости уравнении рег-
рессии не является наилучшим приближением исходных
данных.
Непостоянство дисперсии ошибок МНК возникает как правило в
том случае, если неправильно выбран вид математической модели
зависимости фактора Х и отклика Y. Например, если нелинейную
зависимость пытаются аппроксимировать линейной функцией.
Проверка гипотезы о том, что ошибки независимы
Одним из предполагаемых свойств уравнения регрессии
y = ax + b + e является то, что ошибки е независимы между
собой. На практике проверяется не независимость, а
некоррелированность этих величин, которая является
необходимым, но недостаточным признаком независимости.
При этом проверяется некоррелированность не любых, а
соседних величин ошибок, которые можно получить, если ис-
ходная выборка ( x k , y k ) k = 1,..., N упорядочена по возраста-
нию величины х.
Рассмотрим например корреляцию ошибок, сдвинутых друг
относительно друга на один шаг.
126
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


e3 K e k K eN
e1 e2
e2 K ek ?1 K e N ?1
e1 eN
Тогда значение выборочного коэффициента корреляции между вы-
боркой (e2 , e3 ,..., e N ) и выборкой (e1 , e2 ,..., e N ?1 ) запишется в
виде:
N ?1

? (e ? e)(ek +1 ? e)
k
? k , k +1 = k =1
N ?1 N ?1

? (e ? (e
? e) ? e) 2
2
k +1
k
k =1 k =1
Эту величину называют еще коэффициентом автокорреляции
первого порядка. Так как согласно допущениям МНК
математическое ожидание ошибки равно нулю, то формулу можно
упростить:
N ?1

?e e k k +1
? k , k +1 = k =1
N ?1 N ?1

?e ?e 2 2
k +1
k
k =1 k =1
Мы можем считать, что автокорреляция отсутствует, если
выборочный коэффициент автокорреляции незначимо отличается
от нуля, то есть в данном случае мы должны проверить гипотезу:
H 0 : ? k , k +1 = 0
H 1 : ? k , k +1 ? 0
В случае однофакторной линейной регрессии случайная
? k , k +1
t = N ?3?
величина будет подчиняться
2
1 ? ? k , k +1
распределению Стьюдента с ? = ( N ? 1) ? 2 степенями свободы.
Поэтому гипотеза будет проверяться следующим образом:
1) Гипотеза
H 0 : ? k , k +1 = 0
H 1 : ? k , k +1 ? 0
127
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


2) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05 или q = 0.01
3) Критерий проверки
? k , k +1
t = N ?3?
2
1 ? ? k , k +1
4) Правило принятия решения
Принять Н0 , если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ? .
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки t попадает в критическую область
| t | > t1? q / 2, ? .
5) Проверка гипотезы
- Если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ? , то критерий проверки t не попа-
дает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0 .
Это означает, что при заданном уровне значимости выбо-
рочный коэффициент автокорреляции первого порядка
? k ,k +1 статистически незначимо отличается от нуля. Следо-
вательно, автокорреляция первого порядка ошибок МНК от-
сутствует.
В противном случае мы принимаем гипотезу Н1 . Это может
-
означать, что нужно принять другую аналитическую модель
зависимости между переменными Х и Y.

8.14. Сведение нелинейной функциональной зависимости к
линейной путем преобразования данных.
До сих пор мы обсуждали линейную зависимость между
фактором Х и откликом Y. Когда истинная взаимосвязь между
ними носит нелинейный характер, в ряде случаев ее можно
свести к линейной путем соответствующего преобразования
данных. После этого к преобразованным данным может быть
применена линейная регрессия. Преобразованные переменные и
)
параметры мы будем отмечать символом ? (например x ).
В этом параграфе мы рассмотрим несколько наиболее
употребительных видов нелинейной зависимости.

128
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


1) Экспоненциальная функция y = be ax
Экспоненциальная функция используется, когда при увели-
чении фактора Х отклик Y растет (a > 0) или снижается
(a < 0) с постоянной относительной скоростью.
)
) ))
y = ax + b
Приведение к линейной зависимости
осуществляется путем следующего преобразования данных:
)
) ) )
y = ln( y ) x=x a=a b = ln(b)

2) Логарифмическая функция y = b + a ln(x)

<< Предыдущая

стр. 22
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>