<< Предыдущая

стр. 23
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Логарифмическая функция используется, когда при увели-
чении фактора Х отклик Y растет (a > 0) или снижается
(a < 0) с уменьшающейся скоростью при отсутствии
предельно возможного значения. Преобразование данных:
)
) ) )
y=y x = ln( x) a=a b =b

3) Степенная функция y = bx a
Степенная функция используется когда при увеличении
фактора Х отклик Y растет или снижается с разной мерой
пропорциональности. Преобразование данных:
)
) ) )
y = ln( y ) x = ln( x) a=a b = ln(b)

1
4) Логистическая функция y =
1 + e ( x ?b ) / a
Логистическая кривая имеет вид положенной на бок латин-
ской буквы S. Она описывает случай когда при увеличении
фактора Х отклик Y изменяется (снижается при a > 0 или
растет при a < 0 ) в пределах от 0 до 1. При этом изменения
происходят при x < b с увеличивающейся скоростью и при
x > b с уменьшающейся скоростью. Преобразование
данных:
)
) ) )
y = ln(1 / y ? 1) x=x a = 1/ a b = ?b / a

a
5) Гиперболическая функция y = c +
x+b
129
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


Во многих случаях для аппроксимации нелинейной зависи-
мости очень удобно использовать гиперболу, однако зачас-
тую об этом трудно догадаться. Дело в том, что мы легко
узнаем только простую гиперболу, асимптотами которой
являются оси координат, то есть y = a / x . Если эта гипер-
бола сдвинута вдоль одной из осей или вдоль обеих осей, то
ее как правило не узнают.
Проверка того, является ли данная кривая гиперболой со
сдвигом только вдоль оси х, то есть y = a /( x + b) , прово-
дится путем следующего преобразования данных:
)
) ) )
y = 1/ y x=x a = 1/ a b = b/a
Проверка того, является ли данная кривая гиперболой со
сдвигом только вдоль оси у, то есть y = c + a / x , проводит-
ся путем преобразования данных:
)
) ) )
y=y x = 1/ x a=a b =c
Особенно сложным является случай, когда гипербола сдви-
нута одновременно по обеим осям, то есть имеет вид
a
y =c+ . В этом случае нужно двигаться методом по-
x+b
следовательных приближений, то есть
- задавать ряд значений параметра b,
- вычислять значения 1 /( x + b) ,
- строить графики, где по оси абсцисс откладывать
1 /( x + b) , по оси ординат у,
- выбрать то значение параметра b, при котором график
наиболее близок к прямой линии.

8.15. Функция регрессии как комбинация нескольких функ-
ций.
На практике может оказаться, что функцию регрессии не-
возможно описать удовлетворительным образом ни линейной
зависимостью, ни любой из перечисленных в предыдущем пара-
графе нелинейных функций. Тогда стоит попытаться аппрокси-
мировать ее комбинацией этих функций. Делается это следую-
щим образом:
130
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 8. Регрессионный анализ


В общем случае считаем, что зависимость между фактором
-
Х и откликом Y нелинейна. Тогда, используя результаты из
предыдущего параграфа, преобразуем исходную выборку
( x k , y k ), k = 1,..., N таким образом, чтобы в первом при-
ближении можно было считать, что связь между преобразо-
))
ванными данными ( x k , y k ), k = 1,..., N носит линейный ха-
рактер.
Вычисляем параметры линейной регрессии.
-
Вычисляем ошибки МНК ek , k = 1,..., N .
-
Проверяем свойства ошибок МНК. Если ошибки не удовле-
-
творяют допущениям МНК, то полученная аппроксимация
является слишком грубой.
Дальнейшее уточнение модели можно сделать, если в каче-
-
стве зависимой переменной использовать полученные
ошибки, то есть выборка приобретает вид
) , e ), k = 1,..., N . Эту выборку необходимо обработать по
( xk k
той же схеме. Процесс продолжается до тех пор, пока на оп-
ределенном шаге ошибки не станут удовлетворять допуще-
ниям МНК. При этом надо помнить, что нельзя излишне пе-
реусложнять модель, и что полученные по модели результа-
ты должны разумным образом интерпретироваться.




131
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


9. АНАЛИЗ ФУРЬЕ

9.1. Введение.
В этой главе излагается метод аппроксимации эмпириче-
ской зависимости тригонометрическим рядом Фурье. Даны
формулы, позволяющие по реальной выборке вычислить коэф-
фициенты Фурье, амплитуду и фазу гармоник. Рассказано, как
строится амплитудно-частотная характеристика разложения, и
как она используется для выделения гармоник с максимальной
амплитудой.

9.2. Численный анализ Фурье.
Пусть выборка значений фактора Х и отклика Y задана в ви-
де массива ( x n , y n ), n = 0,..., N , содержащего N + 1 точку,
причем все значения фактора Х упорядочены по возрастанию и
равноотстоят друг от друга. Будем считать, что величина Х из-
меняется в интервале (0, X max ) , следовательно выборка фактора
Х задается рядом xn = X max ? n / N .
Если принято решение о том, что связь переменных Х и Y
носит периодический характер, то аппроксимировать зависи-
мость Y от Х на интервале (0, X max ) необходимо тригонометри-
ческим рядом, то есть функцией вида:
a0 M ? ? 2?x ??
? 2?x ?
f ( x) = + ? ?am cos? m ? + bm sin ? m
? X ??
?X? ?
2 m =1 ? max ? ?
? max ? ?
? ?
Данная функция зависит от параметра
(2М+1)
(a 0 , a1 ,..., a M , b1 ,..., bM ) . Так как количество неизвестных пара-
метров 2 M + 1 не должно превышать объем выборки N + 1 , то
M ? N /2.
Наилучшим приближением будет тригонометрический ряд с
таким набором параметров, который минимизирует сумму квадра-
тов отклонений этого ряда от выборочных значений отклика Y, то
есть
N
S = ? [ y n ? f ( x n )]2 > min
n =1
132
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


Без доказательства приведем формулы для определения
искомых параметров:
? 2?n ?
N ?1
2
?
am = 0?m?M
yn cos? m ?
? N?
Nn=0

? 2?n ?
2 N ?1
bm = ? y n sin ? m 1? m ? M
?
? N?
N n =0
Определенные по этим формулам параметры называют
коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд с такими
коэффициентами является рядом Фурье. Тогда аппроксимация
величины Y рядом Фурье в точке x n = X max n / N будет равна:
? 2?n ? ? 2?n ??
a0 M ?
f n = + ? ?am cos? m ? + bm sin ? m ?
N ??
? N? ?
2 m =1 ? ?
При увеличении количества гармоник М эта аппроксимация
все точнее описывает выборочные значения величины Y, и
наконец при M = N / 2 для любого n становится справедливым
равенство y n = f n .
Однако, наша задача состоит не в том, чтобы с абсолютной
точностью аппроксимировать исходную выборку, то есть
включить в математическую модель все наблюдающиеся осо-
бенности конкретной выборки, в том числе и те, которые в дей-
ствительности носят случайный характер. Нам нужно найти все-
го несколько наиболее значимых гармоник, то есть гармоник,
имеющих максимальную амплитуду. Для этого необходимо по-
строить и проанализировать амплитудно-частотную характери-
стику разложения.

9.3. Амплитудно-частотная характеристика.
Введем параметры ( Rm ,? m ) , которые назовем амплитуда и
фаза соответственно. Эти величины связаны с параметрами
(a m , bm ) следующими соотношениями:
bm
? m = ? arctg ?? < ?m ? ?
Rm = am + bm
2 2

am
am = Rm cos? m bm = ? Rm sin ? m
133
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


Тогда, заменив параметры (a m , bm ) , разложение Фурье можно
переписать в виде
? 2?n ? ? 2?n ??
a0 M ?
f n = + ? ? Rm cos? m cos? m ? ? Rm sin ? m sin ? m ??
? N? ? N ??
2 m =1 ?
? 2?n ?
a0 M
f n = + ? Rm cos? m +?m ?
?N ?
2 m =1
Назовем частотой колебаний величину ? m = m / N . Полный
набор частот называется спектром разложения. Тогда оконча-
тельно получаем
a0 M
f n = + ? Rm cos(2?? m n + ? m )
2 m =1
Смысл приведенных выше преобразований состоит в том, чтобы
перейти от ряда из синусов и косинусов к ряду из одних косину-
сов. Если теперь построить график, где по оси абсцисс отложена
частота, а по оси ординат отложена амплитуда, то есть график в
координатах (? m , Rm ) , то наглядно будет видно, при каких зна-
чениях частоты наблюдаются максимумы амплитуды. Такой
график называется амплитудно-частотной характеристикой
(АЧХ). С помощью АЧХ мы получаем возможность выбрать из
разложения Фурье только самые значимые гармоники и пренеб-
речь остальными. Заметим, что период колебания связан с
частотой соотношением Tm = 1 / ? m .
При необходимости аналогичным образом можно построить
фазочастотную характеристику (ФЧХ), то есть график в коор-
динатах (? m ,? m ) .

9.4. Пример выделения основной гармоники с помощью
анализа Фурье.
Рассмотрим выделение основной гармоники с помощью
анализа Фурье на примере выборки, состоящей из 256-ти точек
( x n , y n ), n = 0,...,255 . График исходных данных приведен на
рисунке.

134
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


6

<< Предыдущая

стр. 23
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>