<< Предыдущая

стр. 24
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Исходные данные

4


2


0
0 50 100 150 200 250 300
-2


-4


-6


Этот график дает основания предположить, что связь перемен-
ных Х и Y носит периодический характер. По методике, изло-
женной в предыдущих 2-х параграфах, представим аппроксими-
рующую функцию рядом Фурье и построим амплитудно-
частотную характеристику.

АЧХ

300
250
амплитуда




200
150
100
50
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
частота


Максимум амплитуды находится в начальной части спектра.
Рассмотрим подробнее этот участок.


135
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье



АЧХ

300
250
амплитуда




200
150
100
50
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
частота


При ближайшем рассмотрении оказывается, что максимум
амплитуды приходится на частоту ? ? 0.01 (период T ? 100 ).
Учитывая, что ? m = m / N , рассчитаем для этого значения час-
тоты коэффициенты разложения Фурье:
a m = a (? m ) = ?0.1049
bm = b(? m ) = ?2.8918
Используя эти данные, вычисляем амплитуду и фазу основной
гармоники:
Rm = 2.8934
? m = 1.6070
Таким образом, Фурье-аппроксимация исходных данных и
ошибки модели будут вычисляться по формулам
f n = Rm cos(2?? m n + ? m ) = 2.8934 ? cos(2? ? 0.01 ? n + 1.607 )
en = y n ? f n
Приведем график исходных данных вместе с Фурье-
аппроксимацией и график остатков (ошибок модели).




136
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


6
Исходные данные
Фурье-аппроксимация
4

2


0
0 50 100 150 200 250 300
-2

-4


-6


6
Остатки
4


2

0
0 50 100 150 200 250 300
-2


-4

-6


Очевидно, что ошибки аппроксимации носят непериодиче-
ский характер. В противном случае нужно было бы повторить
всю процедуру, используя в качестве исходной выборки эти
ошибки, и повторять ее до тех пор, пока не будут выделены все
значимые гармоники.
Па практике, при изучении динамики цен активов не реко-
мендуется использовать для аппроксимации этих рядов более
трех гармоник Фурье.



137
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


10. ПРИМЕНЕНИЕ МНК ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИНАМИ-
ЧЕСКИХ РЯДОВ

10.1. Введение.
Аналитическая аппроксимация динамического временного
ряда, содержащего цены некоторого актива в последовательные
моменты времени, представляет собой математическую модель
развития во времени этого динамического ряда и описывает
присущие ему статистические характеристики.
Аналитическая аппроксимация содержит в себе некоторую
условность, связанную с тем, что цена актива рассматривается
как функция времени. На самом деле цена зависит не от того,
сколько времени прошло с начального момента, а от того, какие
факторы на нее влияли, в каком направлении и с какой интен-
сивностью они действовали. Зависимость от времени можно
рассматривать как внешнее выражение суммарного воздействия
этих факторов. Удовлетворительным образом аппроксимировать
динамический ряд с помощью метода наименьших квадратов
возможно лишь тогда, когда воздействие всех влияющих факто-
ров однородно на всем рассматриваемом промежутке времени.
В случае, если динамический ряд цены актива удается ап-
проксимировать аналитической функцией времени с соблюде-
нием допущений МНК, становится возможной экстраполяция
этой функции, то есть прогноз цены в будущие моменты време-
ни. Однако при этом стоит помнить, что при прогнозе неявным
образом предполагается, что те же самые условия, в которых
формировались цены в прошлом, будут существовать и в буду-
щем. Использование экстраполяции в изменившихся условиях
будет приводить к ошибкам, выходящим за рамки обычных для
МНК погрешностей, связанных с шириной полосы неопреде-
ленности линии регрессии. Долгосрочные прогнозы сопряжены
с большими ошибками, чем краткосрочные. Во-первых, это свя-
зано с расширением полосы неопределенность линии регрессии
при удалении от центра тяжести эмпирических данных, по кото-
рым эта линия была получена. Во-вторых, это связано с возрас-
танием влияния новых факторов при увеличении периода про-
гноза.

138
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Для того, чтобы динамический ряд можно было эффектив-
ным образом аппроксимировать с применением МНК, этот ряд
должен удовлетворять следующим условиям:
- быть достаточно длинным,
- быть как можно менее волатильным.
При этом следует сказать, что применение МНК при изучении
временных рядов имеет следующие особенности:
- для адаптирования регрессионной модели к изменяющимся
условиям необходимо периодически пересчитывать пара-
метры модели с учетом новых данных, а иногда возможно
пересматривать саму модель,
- при расчете параметров регрессии все эмпирические данные
входят с одинаковым весом, хотя интуитивно понятно, что
более поздние данные имеют большую ценность.

10.2. Модель динамики цен активов.
Биржевые цены активов формируются как результат совме-
стных действий большого количества участников рынка и, как
следствие этого, в них присутствует случайная составляющая.
Рассмотрим временной ряд, состоящий из последователь-
ных значений цены некоторого актива P1 , P2 ,..., Pt . Цена не мо-
жет быть отрицательной, но может принимать сколь угодно
большие положительные значения. Следовательно, и отношение
цен в последовательные моменты времени Pk / Pk ?1 также не
может оказаться ниже нуля, но может быть сколь угодно боль-
шим. Значит плотность вероятности цен активов и плотность
вероятности отношения цен должны иметь положительную
асимметрию.
Ситуация меняется при переходе к логарифмам отношения
цен, то есть к величине ?yk = ln( Pk / Pk ?1 ) . Распределение лога-
рифмов уже может быть симметрично и возможна его аппрок-
симация одним из аналитических законов распределения, кото-
рые были рассмотрены во второй главе (как правило обобщен-
ным экспоненциальным распределением). При этом логарифм
цены в произвольный момент времени складывается из лога-
рифма цены в начальный момент времени (эта величина пред

139
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


полагается нестохастической) и суммы логарифмов отношения
цен:
t
ln( Pt ) = ln( P0 ) + ? ln( Pk / Pk ?1 )
k =1

Если величины ?y k = ln( Pk / Pk ?1 ) независимы и имеют конеч-
ную дисперсию, то согласно центральной предельной теореме
величина y t = ln( Pt ) будет нормально распределена при любом
законе распределения ?y k . Так как логарифм цены распределен
нормально, то цена подчиняется логнормальному распределе-
нию.
Итак, если все случайные величины ?y k независимы и под-
чиняются одному и тому же закону распределения с математи-
ческим ожиданием µ и дисперсией ? 2 , то случайная величина
ln( Pt ) будет иметь нормальное распределение с математиче-
ским ожиданием µ t и дисперсией ? 2 t . Следовательно, лога-
рифм цены в произвольный момент времени можно записать как
ln( Pt ) = ln( P0 ) + µ t + ? t z
где случайная величина z подчиняется стандартному нормаль-
ному распределению.
Рисковые активы имеют положительное математическое
ожидание дохода, следовательно µ > 0 . Величина µ определя-
ет тренд актива, то есть воздействие на цену постоянно дейст-
вующих систематических факторов.
Величина ? определяет волатильность актива, то есть воз-
действие на цену множества случайных факторов.
Отношение ожидаемого дохода к ожидаемому риску за еди-
ницу времени µ / ? характеризует степень устойчивости роста
цены актива. Чем выше это отношение, тем привлекательнее
при прочих равных условиях инвестиции в данный актив.
Наряду с влиянием постоянно действующих факторов и
случайных колебаний, цена актива может испытывать воздейст-
вие причин, характеризующихся циклическими колебаниями.
Возникновение циклов связано с изменением оценки инвесто

140
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

<< Предыдущая

стр. 24
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>