<< Предыдущая

стр. 25
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


рами ожидаемого дохода актива. С учетом периодических ком-
понент модель динамики цены можно представить в виде
M
ln( Pt ) = ln( P0 ) + µ t + ? Rm cos(2?t / Tm + ? m ) + ? t z
m =1

где Tm - период колебания, Rm - амплитуда колебания, ? m - на-
чальная фаза. Существует эмпирическое правило, которое назы-
вают принципом пропорциональности, согласно которому ам-
плитуды колебаний прямо пропорциональны их периодам. Для
выделения отдельных гармоник из временного ряда цены актива
используют анализ Фурье.
С учетом вышесказанного, исследование динамики цены
актива должно включать в себя следующие этапы:
- определение тренда,
- определение циклических компонент,
- составление прогноза цены актива.

10.3. Определение тренда.
В качестве исходных данных рассмотрим цены закрытия по
индексу Доу Джонса на последний торговый день месяца за пе-
риод с 1932 по 1999 год.
Индекс Доу Джонса
12000

10000

8000

6000

4000

2000

0
сен.65
июн.31




мар.45




май.79

мар.86
апр.38




ноя.58
янв.52




янв.93
июл.72




дек.99




Рассмотрим тот же график в полулогарифмическом масштабе.

141
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Индекс Доу Джонса
100000


10000


1000


100


10



июл.72
июн.31




дек.99
апр.38




ноя.58
мар.45




май.79

мар.86
сен.65
янв.52




янв.93
Полулогарифмический график дает основания полагать, что тренд
логарифма цены закрытия можно в первом приближении описать
линейной функцией времени.
Для построения регрессионной модели в качестве фактора (не-
зависимой переменной) будем использовать номер месяца. При
этом первый месяц в выборке (январь 1932 года) получает номер 0,
последний месяц в выборке (декабрь 1999 года) получает номер
815, то есть t k = 0,...,815 . Объем выборки N = 816 точек.
Откликом (зависимой переменной) является логарифм цены
закрытия y k = ln( Pk ) . Эмпирическая зависимость отклика от фак-
тора приведена на рисунке:
Эмпирическая зависимость
10.00

9.00

8.00

7.00

6.00

5.00

4.00

3.00
100


200


300


400


500


600


700


800


900
0




142
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Оценка параметров линейной регрессии
Примем гипотезу о том, что связь фактора и отклика выражает-
ся линейной функцией f (t ) = at + b . Оценки параметров
линейной регрессии проводятся по формулам:
N

?t yk ? N ? T ? Y
k
a= b = Y ? a ?T
k =1
N

?t
2
? N ?T
2
k
k =1
где
1N 1N
T = ? tk Y = ? yk
N k =1 N k =1

Вычисленные значения параметров составляют:
a = 0.005, b = 4.402
Эмпирическая зависимость и линейная аппроксимация изобра-
жены на рисунке:
Эмпирическая зависимость и линейная аппроксимация

10.00
9.00
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
100


200


300


400


500


600


700


800


900
0




При этом график ошибок аппроксимации
ek = y k ? at k ? b = y k ? 0.005 t k ? 4.402
имеет вид:



143
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Ошибки линейной аппроксимации
1.00
0.80

<< Предыдущая

стр. 25
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>