<< Предыдущая

стр. 28
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5) Расчет границ критической области
F1? q , ? 1,? 2 = FРАСПОБР (q,? 1 ,? 2 ) =
= FРАСПОБР(0.01, 350 ? 2, 350 ? 2) = 1.284
6) Проверка гипотезы
Даже при уровне значимости q = 0.01 критерий проверки
F попадает в критическую область F > F1? q , ? 1, ? 2 , то есть
мы отклоняем гипотезу Н0 и принимаем гипотезу Н1 . Сле-
довательно дисперсия ошибок регрессии не постоянна.
Проверка гипотезы о том, что ошибки независимы
На практике проверяется не независимость, а
некоррелированность ошибок, которая является необходимым,
но недостаточным условием независимости. Для этого нужно
рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка
N ?1

?e e k k +1
? k , k +1 = k =1
N ?1 N ?1

?e ?e 2 2
k +1
k
k =1 k =1
Для рассматриваемого здесь случая эта величина равна
? k , k +1 = 0.987 . Очевидно, что коэффициент автокорреляции
значимо отличается от нуля и ошибки уравнения высококорре-
лированы.


153
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Выводы
Следует признать, что аппроксимация линейной функцией
логарифма цены актива является неудовлетворительной, так как
не соблюдаются два из четырех допущений МНК.
Не приводя доказательств скажем, что попытка уточнить
модель путем введения циклических компонент не приводит к
улучшению качества ошибок регрессии.
На практике при изучении динамических рядов цен активов
используют методы адаптивного моделирования, о которых
будет рассказано в следующих главах.




154
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


11. СГЛАЖИВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

11.1. Введение.
Целью сглаживания динамического ряда является фильтра-
ция случайных колебаний уровней этого ряда и выявление наи-
более устойчивой тенденции движения. Мы будем рассматри-
вать методы сглаживания, базирующиеся на вычислении сколь-
зящих средних. Любое скользящее среднее - это метод опреде-
ления среднего уровня динамического ряда за некоторый пери-
од времени. Термин "скользящее" подразумевает, что среднее
значение каждый раз заново вычисляется в последовательные
моменты времени. В этой главе под динамическим рядом мы,
как правило, будем понимать ряд, состоящий из цен активов.

11.2. Типы скользящих средних.
В общем виде формула для вычисления любой скользящей
средней (moving average) имеет вид:
MA = ? wk y k
k

где { y k } - массив цен актива,
{wk } - массив весов, с которыми цены входят в формулу.
При этом для набора весов должно соблюдаться правило нор-
мирования:
?w =1
k
k
Скользящая средняя характеризуется:
- объектом вычисления, то есть тем динамическим рядом, кото-
рый необходимо сгладить,
- периодом скользящей средней,
- типом скользящей средней, который определяет алгоритм вы-
числения набора весов {wk } .
Различают три основных типа скользящих средних:
- простая скользящая средняя (SMA - simple moving average),
- взвешенная скользящая средняя (WMA - weighted moving aver-
age),
- экспоненциальная скользящая средняя (EMA - exponential
moving average).
155
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


11.3. Простая скользящая средняя.
Простая скользящая средняя порядка T - это средняя
арифметическая цен за период времени [t ? T + 1, t ] , то есть
1t
? yk
SMAt =
T k =t ?T +1
Внутри интервала t ? T + 1 ? k ? t все веса, с которыми
входят цены при расчете скользящей средней одинаковы и
равны wk = 1 / T . За пределами этого интервала, то есть при
k < t ? T + 1 веса равны нулю.
Первым недостатком SMA является равенство весов в
пределах интервала расчета, так как интуитивно понятно, что
последние данные должны иметь большую ценность, то есть
входить в формулу для расчета с большим весом.
Второй недостаток SMA становится понятным при
рассмотрении рекуррентной формулы для ее вычисления:
1 1
SMAt = SMAt ?1 + y t ? y t ?T
T T
Очевидно, что SMA на каждую цену реагирует дважды: первый
раз, когда цена входит в интервал расчета, и второй раз, когда
цена выбывает из него. Вторая реакция никак не связана с
текущей динамикой и, следовательно, нежелательна.
Традиционно, скользящую среднюю соотносят с последней
точкой интервала расчета, то есть с моментом времени t , хотя,
строго говоря, это некорректно. Вычисленное значение SMA
нужно ставить в соответствие с точкой на оси времени,
имеющей координату
(T ? 1)
1t
?
t= k =t?
T k =t ?T +1 2
то есть с точкой, сдвинутой влево по оси времени от момента t
на величину ?t = (T ? 1) / 2 .

11.4. Взвешенная скользящая средняя.
Взвешенная скользящая средняя придает больший вес по-
следним данным. Она рассчитывается путем умножения каждой

156
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


цены в пределах периода времени [t ? T + 1, t ] на
соответствующий вес. В простейшем случае при линейно
убывающих весах от момента t до момента t ? T + 1 формула
имеет вид:
t
2
?+1k ? (t ? T )] ? yk
WMAt = [
T (T + 1) k =t ?T
Цена в момент времени k = t входит в формулу для расчета
с максимальным весом w = 2 /(T + 1) , а цена в момент времени
k = t ? T + 1 входит в формулу для расчета с минимальным
весом w = 2 /(T ? (T + 1)) .
При отсутствии специализированных программ
технического анализа, для расчета линейно взвешенной
скользящей средней может быть полезна рекуррентная формула
2 2 2
WMAt = WMAt ?1 + yt ? y t ?T ? SMAt
T (T + 1) (T + 1)
T
Из этой формулы следует, что реакция WMA на выбытие цены
из интервала расчета менее выражена, чем у SMA, и эта реакция
тем меньше, чем больше период скользящей средней.

11.5. Экспоненциальная скользящая средняя.
Как и в случае взвешенной средней, экспоненциальная
скользящая средняя придает больший вес последним данным,
однако при расчете используется вся история цен. Рекуррентная
формула для ее вычисления имеет вид:
EMAt = ? ? y t + (1 ? ? ) ? EMAt ?1
0 <? ?1
Показательный процент ? определяет степень сглаживания. Чем
больше ? , тем меньше степень сглаживания. При ? = 1 экспо-
ненциальная скользящая средняя равна цене.
EMA лишена недостатка, присущего SMA и WMA, связанного
с фиксированным интервалом расчета скользящей средней.
Формулу для вычисления EMA можно записать в явном
виде, если предположить, что в нулевой момент времени
скользящая средняя совпадает с ценой ( EMA0 = y 0 ):

157
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


EMAt = ? ? yt + (1 ? ? ) ? EMAt ?1 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + (1 ? ? ) 2 ? EMAt ?2 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + ? ? (1 ? ? ) 2 ? yt ?2 + (1 ? ? ) 3 ? EMAt ?3 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + ? ? (1 ? ? ) 2 ? yt ?2 + K + (1 ? ? ) t ? y0
Следовательно
t ?1
EMAt = ? ? (1 ? ? ) i ? y t ?i + (1 ? ? ) t ? y 0
i =0
или (эквивалентная форма записи)
t
EMAt = ? ? (1 ? ? ) t ? k ? y k + (1 ? ? ) t ? y 0
k =1
Вычисленное значение ЕMA нужно ставить в соответствие с
точкой на оси времени, имеющей координату
t ?1 t ?1 t ?1
t = ? ? (1 ? ? ) (t ? i ) = t? ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) i i
i i

i =0 i =0 i =0
Суммы в последней формуле вычисляются как
1 ? (1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) =
i

?
i =0

(1 ? ? ) ? (1 + ?t ? ? )(1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) ? i =
i

?2
i =0
После несложных преобразований получаем, что
(1 ? ? ) (1 ? ? ) t +1
t =t? +
? ?
При достаточно большом t , т.к. (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) t +1 ? 0 ,
значит можно пренебречь последним слагаемым и написать
приближенное выражение t ? t ? (1 ? ? ) / ? .
Период ЕМА

Момент времени t сдвинут влево по оси времени от
момента t на величину ?t = (1 ? ? ) / ? . Если по аналогии с
простой скользящей средней обозначить эту величину как

158
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


?t = (T ? 1) / 2 , где T является периодом, то связь периода и
показательного процента задается выражением:
(1 ? ? ) (T ? 1)
=
? 2
Отсюда следуют формулы для конвертирования показательного
процента в период и наоборот:
2 2
?=
T= ?1
? T +1
С учетом этих соотношений можно переписать рекуррентную
формулу для ЕМА:
T ?1
2
EMAt = ? yt + ? EMAt ?1
T +1 T +1
ЕМА произвольного порядка
До сих пор мы рассматривали экспоненциальную скользящую
среднюю первого порядка, то есть сглаживанию подвергался
непосредственно исходный динамический ряд:
EMAt(1) = ? ? y t + (1 ? ? ) ? EMAt(?1
1)


При обозначении ЕМА первого порядка верхний индекс обычно
опускается.

<< Предыдущая

стр. 28
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>