<< Предыдущая

стр. 30
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


164
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


12. АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕС-
КИХ РЯДОВ

12.1. Введение.
Аналитическая аппроксимация динамического ряда какой-
либо моделью с помощью МНК имеет ряд особенностей, кото-
рые накладывают ограничения на ее применение:
- динамический ряд, к которому применяется аппроксимация,
должен быть достаточно длинным,
- применение аналитической аппроксимации эффективно
только в случае, если уровни динамического ряда меняются
достаточно плавно и медленно, то есть ряд должен быть не-
волатильным,
- аналитическая аппроксимация не адаптируется к появлению
новых данных, то есть при появлении новых данных необ-
ходимо пересчитать параметры модели, а иногда возможно
пересмотреть саму модель,
- при расчете параметров модели все эмпирические данные
входят с одинаковым весом, хотя понятно, что более позд-
ние данные имеют большую ценность.
Однако ряды цен активов как правило подвержены значитель-
ным колебаниям, которые аппроксимация не может предвидеть.
Поэтому на практике применительно к таким рядам используют
методы адаптивного моделирования, которые базируются на
экспоненциальном сглаживании динамического ряда (экспонен-
циальной скользящей средней).
Основным преимуществом методов, основанных на экспо-
ненциальном сглаживании, является учет временной ценности
данных и, следовательно, постоянное адаптирование к изме-
няющимся уровням динамического ряда, что имеет решающее
значение при моделировании и прогнозировании волатильных
рядов.

12.2. Адаптивное моделирование линейного тренда с помо-
щью экспоненциальных скользящих средних.
Пусть есть основания полагать, что исходный динамиче-
ский ряд { y t } можно описать линейной функцией

165
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


f (t ) = a ( 0 ) + a (1) ? t . Наличие случайных отклонений приведет к
тому, что связь между рассчитанными по модели значениями f t
и реальными уровнями динамического ряда y t будет выражать-
ся в виде:
y t = f t + et = a ( 0 ) + a (1) ? t + et
где et - это расхождения между моделью и реальными
уровнями. Используя экспоненциальные скользящие средние
вычислим неизвестные параметры (a ( 0 ) , a (1) ) .
Обозначения
Введем следующие обозначения:
- Yt (1) - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда,
Yt ( 2) - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда,
-
E t(1) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели,
-
Et( 2 ) - ЕМА 2-го порядка ошибок модели,
-
? - показательный процент ЕМА.
-
Вычисление Yt (1)
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i yt ?i + (1 ? ? )t y0 =
(1)
Yt
i =0


( )
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i a ( 0 ) + a (1) (t ? i ) + et ?i + (1 ? ? )t (a ( 0 ) + e0 ) =
i =0
t ?1 t ?1
+ a t )? (1 ? ? ) ? ?a ? (1 ? ? ) i + (1 ? ? ) a
= ? (a +
(0) (1) i (1) i t (0)

i =0 i =0

? t ?1 ?
+ ?? ? (1 ? ? )i et ?i + (1 ? ? )t e0 ?
? i =0 ?
Суммы в последней формуле вычисляются как
1 ? (1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) =
i

?
i =0


166
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


(1 ? ? ) ? (1 + ?t ? ? )(1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) i = i

?2
i =0

При достаточно большом t , так как (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) ? 0 и
t

можно написать приближенные выражения:
t ?1
1
? (1 ? ? )i ? ?
i =0

(1 ? ? )
t ?1

? (1 ? ? )i i ? ?2
i =0
(1)
Выражение в квадратных скобках равно E t .
(1)
С учетом всего вышесказанного формула для Yt примет вид:
(1 ? ? )
Yt (1) = a ( 0) + a (1) t ? a (1) + Et(1)
?
или
(1 ? ? )
Yt (1) = f t ? a (1) + Et(1)
?
(1)
Очевидно, что между ЕМА 1-го порядка Yt и моделью f t суще-
ствует постоянный сдвиг, равный ? a ? (1 ? ? ) / ? . Величина это-
(1)

го сдвига пока неизвестна, так как она выражается через неизвест-
(1)
ный параметр a .
( 2)
Вычисление Yt
t ?1
= ? ? (1 ? ? ) i Yt (?1i) + (1 ? ? ) t Y0(1) =
( 2)
Yt
i =0

(1 ? ? )
t ?1
? 1?
= ? ? (1 ? ? ) i ? a ( 0) + a (1) (t ? i ) ? a (1) + Et(?)i ? +
?
? ?
i =0

(1 ? ? )
? (?
+ (1 ? ? ) t ? a ( 0) ? a (1) + E01) ?
?
? ?
Дальнейшие выкладки полностью аналогичны тем, которые были
(1)
сделаны при вычислении Yt . Приведем сразу конечный резуль-
тат:
167
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


(1 ? ? )
Yt ( 2 ) = a ( 0 ) + a (1) t ? 2a (1) + Et( 2)
?
или
(1 ? ? )
Yt ( 2 ) = f t ? 2a (1) + Et( 2 )
?
Вычисление параметров линейного тренда
( 0)
, a (1) ) :
Имеем систему уравнений с двумя неизвестными ( a
(1 ? ? )
? (1)
Yt = a ( 0 ) + a (1) t ? a (1) + Et(1)
?
? ?
?
?Y ( 2 ) = a ( 0 ) + a (1) t ? 2a (1) (1 ? ? ) + E ( 2 )
?t ?
?
t

( 0)
, a (1) )
Решая эту систему находим неизвестные параметры ( a
??
[( )]
)( ?
a ( 0 ) = Yt (1) + Yt (1) ? Yt ( 2) ? Et(1) ? Et( 2 ) ? ?1 ? t ? ? Et(1)
? 1?? ?
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2 ) )]
a (1) =
1??
При переносе начала отсчета в точку t получим
( )( )
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2 ) ? 2 Et(1) ? Et( 2)
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2) )]
at(1) =
1??
В разные моменты времени t значения коэффициентов будут
различны. Поэтому в формулах они отмечены соответствующими
моменту времени индексами.
Прогноз уровней динамического ряда
Прогнозное значение динамического ряда в момент времени
t + ? равно f t +? = at( 0 ) + at(1) ? ? .
Замечание
В формулах для вычисления параметров линейной регрессии
(a , at(1) ) присутствуют величины Et(1) и Et( 2 ) , которые являют
( 0)
t


168
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


ся ЕМА от ошибок уравнения регрессии et = y t ? f t , то есть при
( 0) (1)
вычислении ( at , at ) возникает перекрестная ссылка. Поэтому
на первом этапе нужно использовать упрощенные формулы, не
учитывающие скользящих средних ошибок.
Алгоритм вычисления параметров линейного тренда
1) Рассчитать ЕМА 1-го и 2-го порядка исходного ряда:
Yt (1) и Yt ( 2)
2) Вычислить в первом приближении параметры линейного трен-
да:
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2)
?
? (Yt (1) ? Yt ( 2 ) )
at(1) =
1??
3) Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на
? шагов вперед ( ? ? 1 ) согласно уравнению регрессии:
f t +? = at( 0 ) + at(1) ? ?
4) Рассчитать ошибки прогноза:
et = y t ? f t
5) Вычислить ЕМА 1-го и 2-го порядка ошибок прогноза:
Et(1) и Et( 2 )
6) Определить окончательные значения параметров линейного
тренда:
( )( )
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2 ) ? 2 Et(1) ? Et( 2)
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2) )]
at(1) =
1??
ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом слу-
чае при расчете параметров линейного тренда нужно остано-
виться на шаге 2 этого алгоритма.

<< Предыдущая

стр. 30
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>