<< Предыдущая

стр. 40
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

X 0 N ? ? k k ?1 ?
? ? ? ? ? (1 ? ? i ) ?
VN =
1 + c k =1 ? Pk i =1 ?
? ?
N
1 ? ? (1 ? ? k )
YN B )
(
= = (1 + c) ? k =1
PN B )
(

? ? k k ?1 ?
N
VN
? ? P i =1
? ? ? (1 ? ? i ) ?
?
k =1 ? k ?
Для последующих рассуждений эти формулы нужно разумным
образом упростить. Сделаем два допущения:
1) Все ? k одинаковы и равны ? .
2) Все покупки, начиная со второй, происходят при определен-
ном процентном приросте рыночной цены относительно це-
ны предыдущей сделки, то есть
Pk = P1 ? (1 + ? ) k ?1
После этих упрощений формулы примут вид:
X N = X 0 ? (1 ? ? ) N
YN B ) = X 0 ? (1 ? (1 ? ? ) N )
(


? ? 1?? ?N ?
? ? X0 1+ ?
? ?1 ? ? ?
?1+ ? ? ?
VN = ? ?
??
P ? (1 + c) ? + ? ??
?
1

1 ? + ? 1 ? (1 ? ? ) N
= P ? (1 + c) ? ? ?
(B)
P
? 1+ ?
N 1 N
? 1?? ?
1? ?
?1+ ? ? ?
? ?
Рассмотрим зависимость этих переменных от количества сделок
N на примере. Примем следующие значения входящих в фор-
мулы параметров:
? = 30% ? = 5% c = 0.2%
P1 = 1
X 0 = 100 000
Результаты расчетов с этими значениями параметров приведены
в таблице:

220
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 14. Управление капиталом


1 2 3 4 5
N
1.000 1.050 1.103 1.158 1.216
PN
70 000 49 000 34 300 24 010 16 807
XN
30 000 51 000 65 700 75 990 83 193
YN B )
(

29 940 49 900 63 207 72 078 77 992
VN
1.002 1.022 1.039 1.054 1.067
PN B )
(



При работе по такой методике закрытие позиций может осуществ-
ляться следующим образом:
1) Если после первой сделки рынок пошел против открытой пози-
ции, то выход осуществляется по сигналу stop loss , причем
так как объем сделки сравнительно невелик, то убыток будет
небольшим.
2) После второй сделки цену выхода можно поставить на границу
безубыточности учетом комиссии), то есть

= P2 /(1 ? c) .
( exit ) (B)
P2
= 1.0022 /(1 ? 0.002) = 1.024 .
( exit )
Для данного примера P2
После второй сделки, если не произойдут форс-мажорные со-
бытия, портфель застрахован от убытков при неограниченном
потенциале прибыли.
3) Начиная с третьей сделки цена выхода может равняться цене
входа для предыдущей сделки. Например, цена выхода после
пятой сделки равна цене входа по четвертой сделке, то есть
1.158, при этом средняя цена покупки с учетом комиссии равна
1.067.
Если открытие позиций осуществляется частями, то выход проис-
ходит всем объемом единовременно. Выход частями может быть
целесообразен только в случае, когда разница между текущей ры-
ночной ценой и средней ценой покупки достаточно велика, то есть
если входы были сделаны на сильном и продолжительном восхо-
дящем тренде.




221
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

15. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ
АНАЛИЗА КОВАРИАЦИЙ АКТИВОВ

15.1. Введение.
В этой главе рассматриваются вопросы, связанные с опти-
мизацией портфеля активов. Изучается влияние корреляции ме-
жду отдельными парами активов на общий риск портфеля, при
этом в качестве меры риска принимается дисперсия (или сред-
неквадратичное отклонение). Рассказано о том, что такое эф-
фективная диверсификация и как общий риск портфеля, состав-
ленного из произвольного количества активов, можно разделить
на несистематический (диверсифицируемый) риск и рыночный
(недиверсифицируемый) риск. Дано понятие границы эффек-
тивности на примере портфеля из двух активов и приведены
формулы, которые позволяют выбрать на границе эффективно-
сти портфель с минимальным ожидаемым риском и портфель с
максимальным отношением ожидаемого дохода к ожидаемому
риску. Поставлена задача по оптимизации портфеля из произ-
вольного количества активов с учетом ограничений на состав и
веса активов в портфеле (лимитов), и приведен алгоритм поиска
решений этой задачи методом Монте-Карло.

15.2. Корреляция активов и риск портфеля.
Результаты решения об инвестировании в тот или иной финан-
совый инструмент (актив) всегда имеют некоторую неопределен-
ность. В большинстве случаев реально полученный доход от вло-
жения в некий финансовый инструмент не совпадает с ожидаемым
доходом по этому инструменту на момент принятия решения об
инвестировании, то есть инвестирование - это сфера деятельности,
связанная с риском.
Меру рассеяния реально полученных доходов относительно
ожидаемого дохода, то есть риск актива, будем характеризовать
дисперсией (или среднеквадратичным отклонением) доходов по
данному активу.
Рассмотрим случай, когда инвестирование проводится в не-
сколько активов (портфель). Портфель является линейной ком-
бинацией активов, каждый из которых имеет собственное мате-
матическое ожидание дохода и дисперсию дохода.
222
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

Вспомним формулы для вычисления математического
ожидания и дисперсии многомерной случайной величины y ,
являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных
величин:
N
y = ? ak xk
k =1
N
µ y = ? ak µ k
k =1
N N N
=?a ? + 2? ?a a
? ? ik ? i ? k
2 2 2
y k k i k
k =1 k =1 i = k + 1
Поэтому для математического ожидания и дисперсии дохода порт-
феля активов можно использовать следующие формулы:
N

?w
µy = µk
k
k =1
N N N

?w ? + 2? ?w w
? ? ik ? i ? k
=
2 2 2
y k k i k
k =1 k =1 i = k +1
где w - веса активов в портфеле.
В отличие от произвольной линейной комбинации случайных
величин, веса активов подчиняются правилу нормирования:
N

?w =1
k
k =1
Следовательно:
- математическое ожидание дохода портфеля - это взвешенная
сумма математических ожиданий доходов по отдельным акти-
вам,
- риск дохода портфеля - это взвешенная сумма ковариаций всех
пар активов в портфеле, при этом вес каждой ковариации равен
произведению весов соответствующей пары активов, а кова-
риация актива с самим собой является дисперсией данного ак-
тива.

15.3. Понижение риска портфеля. Диверсификация.
Из формулы для дисперсии портфеля активов очевидно, что
риск портфеля можно разделить на две группы слагаемых.
223
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов


Слагаемые вида wk ? k , которые характеризуют риск от-
22


дельных активов, всегда положительны. Следовательно они мо-
гут только увеличивать риск портфеля.
Слагаемые вида wi wk ? ik ? i? k , которые характеризуют ко-
вариацию различных пар активов в портфеле, могут быть поло-
жительными, равными нулю и отрицательными. Все зависит от
величины коэффициента корреляции между активами. Следова-
тельно, эти слагаемые могут уменьшить риск портфеля в целом
по сравнению с риском отдельных активов.
Проиллюстрируем этот эффект диверсификации на примере
портфеля, состоящего из двух активов. Рассмотрим три случая,
в каждом из которых математические ожидания и дисперсии ак-
тивов одинаковы, а различными являются коэффициенты корре-
ляции между ними:
1) Активы полностью коррелированны
В этом случае коэффициент корреляции между активами ра-
вен 1. Следовательно для дисперсии и с.к.о. портфеля полу-
чаем
? y = w12? 12 + w2 ? 2 + 2w1 w2? 1? 2 = (w1? 1 + w2? 2 )2
2 22


? y = w1? 1 + w2? 2
Следовательно, с.к.о. портфеля равно средней взвешенной
с.к.о. отдельных активов, то есть понижение риска портфеля
от диверсификации отсутствует.
2) Активы не коррелированны
Коэффициент корреляции между активами равен 0.
? y = w12? 12 + w2 ? 2
2 22



? y = w12? 12 + w2 ? 2
22


В этом случае с.к.о. портфеля меньше средней взвешенной
с.к.о. отдельных активов, то есть присутствует понижение
риска портфеля от диверсификации, однако с.к.о. портфеля
больше нуля при любых ненулевых дисперсиях отдельных
активов.

<< Предыдущая

стр. 40
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>