<< Предыдущая

стр. 41
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3) Активы антикоррелированны
Коэффициент корреляции между активами равен -1.

224
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов


? y = w12? 12 + w2 ? 2 ? 2w1w2? 1? 2 = (w1? 1 ? w2? 2 )2
2 22


? y = w1? 1 ? w2? 2
В этом случае эффект диверсификации наиболее значителен,
с.к.о. портфеля может быть сведено к нулю соответствую-
щим выбором весов отдельных активов в портфеле, то есть
может быть получен безрисковый портфель.
Заметим, что во всех трех случаях математическое ожидание
дохода портфеля одинаково и равно µ y = w1 µ1 + w2 µ 2 .
Можно сказать, что эффективная диверсификация - это до-
бавление таких активов в портфель, доходы по которым имеют
наименьший коэффициент корреляции с активами, уже имею-
щимися в портфеле.
Рассмотрим теперь портфель, состоящий из большого коли-
чества активов N, каждый из которых входит в портфель с оди-
наковым весом 1/N. В случае более 2-х активов невозможно до-
биться того, чтобы каждая пара активов имела бы коэффициент
корреляции, равный -1. Пусть все активы имеют вообще говоря
различные конечные дисперсии и каждая пара активов имеет
вообще говоря разные коэффициенты корреляции. Тогда фор-
мула для дисперсии портфеля примет вид:
N N N
12 1
? = ? 2 ? k + 2? ? 2 ? ik? i? k
2
y
k =1 N k =1 i = k +1 N
Преобразуем эту формулу:
1 N ? k2 N ? 1 N N ? ik
?= ? ? i?1 N ( N ? 1) / 2
+
2
y
N k =1 N N k =1 = k +
Первая сумма - это средняя дисперсия активов, вторая (удвоен-
ная) сумма - это средняя ковариация всех пар различных акти-
вов, следовательно:
N ?1
1 2
?y = ?? k + ? ? ik
2

N N
Поэтому, при достаточно большом количестве активов N первым
слагаемым можно пренебречь и для дисперсии портфеля можно
? y ? ? ik , то есть дисперсия
2
написать приближенное выражение
портфеля приближенно равна средней ковариации активов.
225
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

Таким образом, общий риск портфеля можно разделить на
две части:
- несистематический риск, определяемый средней дисперси-
ей активов, который может быть исключен путем формиро-
вания портфеля из большого количества активов (диверси-
фикацией),
- систематический (рыночный) риск, определяемый средней
ковариацией пар различных активов, который не может
быть исключен путем формирования портфеля из большого
количества активов (диверсификацией).
При этом математическое ожидание дохода портфеля равно
среднему математическому ожиданию дохода входящих в порт-
фель активов:
µk
N
µy = ? = µk
N
k =1


15.4. Граница эффективности.
В предыдущем параграфе было показано, что в случае, ко-
гда коэффициент корреляции между активами меньше 1, дивер-
сификация портфеля может улучшить соотношение между ожи-
даемым доходом и ожидаемым риском. Это связано с тем, что
ожидаемый доход портфеля является линейной комбинацией
ожидаемых доходов по входящим в портфель активам, а дис-
персия портфеля является квадратичной функцией от с.к.о. вхо-
дящих в портфель активов.
При заданных математических ожиданиях и дисперсиях ак-
тивов, а также коэффициентах корреляции между различными
парами активов, путем оптимизации весов активов в портфеле
можно добиться улучшения соотношения между доходом и рис-
ком портфеля.
Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов, с коэф-
фициентом корреляции между ними равным ? = 0.5 :
- 1-й актив
ожидаемый доход µ 1 = 10%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) ? 1 = 15%
2-й актив
-
226
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

ожидаемый доход µ 2 = 13%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) ? 2 = 16%
Ожидаемый доход и среднеквадратичное отклонение портфеля
из двух активов вычисляются по формулам:
µ y = w1 µ1 + w2 µ 2 ? y = w12? 12 + w2 ? 2 + 2 ?w1 w2? 1? 2
2 22


Расчетные значения этих величин при различном соотношении
весов активов представлены в таблице.
Вес 1-го актива Вес 2-го актива С.к.о. портфеля Доход портфеля
?y µy
w1 w2
0.0 1.0 16.00 13.00
0.1 0.9 15.21 12.70
0.2 0.8 14.54 12.40
0.3 0.7 14.01 12.10
0.4 0.6 13.64 11.80
0.5 0.5 13.44 11.50
0.6 0.4 13.41 11.20
0.7 0.3 13.56 10.90
0.8 0.2 13.89 10.60
0.9 0.1 14.37 10.30
1.0 0.0 15.00 10.00
Зависимость ожидаемого дохода портфеля от с.к.о. портфеля
(риска) приведена на рисунке
Граница эффективности
14.00
13.00 C
доход портфеля




T1
12.00
B
11.00
10.00 T2 A
9.00
8.00
13.00 13.50 14.00 14.50 15.00 15.50 16.00 16.50
с.к.о. портфеля (риск)


227
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

На линии АВС лежат все возможные комбинации дохода и
риска портфеля. Точка А соответствует портфелю, состоящему
только из 1-го актива, точка С соответствует портфелю,
состоящему только из 2-го актива, точка В соответствует
портфелю с наименьшим риском.
Аналитически координаты точки В в случае портфеля из 2-х
активов можно найти из следующих соображений. Так как веса
активов связаны соотношением w2 = 1 ? w1 , то математическое
ожидание и дисперсию портфеля можно представить как функ-
цию только от w1 :
µ y = w1µ1 + (1 ? w1 ) µ 2
? y = w12? 12 + (1 ? w1 ) 2 ? 2 + 2 ?w1 (1 ? w1 )? 1? 2
2 2


Точку с минимальным значением дисперсии (с.к.о.) портфеля
можно найти, взяв производную величины ? y по w1 и прирав-
2


няв ее к нулю. Решив уравнение относительно w1 получим:
? 2 ? ?? 1? 2
2
w1 = 2
? 1 + ? 2 ? 2 ?? 1? 2
2


Подставив это выражение в формулы для µ y и ? y , можно
найти ожидаемый доход и риск портфеля (с.к.о.) в точке В. Для
рассмотренного здесь примера получим:
µ y = 11.32% ? y = 13.39%
w1 = 0.56 w2 = 0.44
Линия АВС:
- вогнута влево при коэффициенте корреляции ? < 1 , при этом
вогнутость тем сильнее, чем меньше коэффициент корреляции,
- является отрезком прямой, соединяющим точки А и С, при
коэффициенте корреляции ? = 1 .
Верхняя часть линии АВС (линия ВС) является границей
эффективности. Линия ВС является эффективной в том
смысле, что на ней невозможно повысить доход без повышения
риска и снизить риск без снижения дохода (в отличие от линии
АВ). Выше линии ВС находятся недостижимо привлекательные
комбинации дохода и риска. Ниже линии ВС находятся худшие
комбинации дохода и риска, которые могут быть улучшены
228
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

переходом на линию ВС. Например, переход из точки Т2 в
точку Т1 приводит к увеличению дохода портфеля при
неизменном уровне риска.
На границе эффективности не существует наилучшего
портфеля. Выбор точки на этой линии зависит от
инвестиционных предпочтений портфельного менеджера, то
есть какую плату, выражаемую в единицах риска, он готов нести
за добавочную единицу дохода.
Распространенным методом выбора точки на границе
эффективности является выбор такого портфеля, для которого
отношение ожидаемого дохода к ожидаемому риску является
максимальным. Аналитически в случае портфеля из 2-х активов
эту точку можно найти, приравняв к нулю производную по w1
от функции
µy w1µ1 + (1 ? w1 ) µ 2
=
?y w12? 12 + (1 ? w1 ) 2 ? 2 + 2 ?w1 (1 ? w1 )? 1? 2
2


Решив полученное уравнение относительно w1 найдем, что:
µ 2 ?? 1? 2 ? µ1? 2 2
w1 =
( µ1 ?? 1? 2 ? µ 2? 12 ) + ( µ 2 ?? 1? 2 ? µ1? 2 )
2


Для рассмотренного здесь примера точка с максимальным
отношением дохода к риску:
µ y = 11.89% ? y = 13.72%
w1 = 0.37 w2 = 0.63

15.5. Постановка задачи по оптимизации портфеля.
Под оптимизацией портфеля, состоящего из произвольного
количества активов, мы будем понимать поиск таких наборов
весов активов, которые обеспечивали бы:
- ожидаемый доход портфеля больший или равный наперед
заданному минимальному значению дохода,
- ожидаемый риск портфеля меньший или равный наперед за-
данному максимальному значению риска.
Следовательно, если предполагаются известными ожидаемые
доходы по каждому из активов, ожидаемые дисперсии (с.к.о.)
дохода по каждому из активов, ковариации (коэффициенты кор

229
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

реляции) между каждой парой различных активов, то задача оп-
тимизации портфеля сводится к тому, чтобы найти такие наборы
весов активов, которые бы удовлетворяли системе
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k

<< Предыдущая

стр. 41
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>