<< Предыдущая

стр. 42
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

k =1 k =1 i = k +1
N

?w =1
k
k =1
Будем предполагать, что в составе портфеля в качестве од-
ного из активов могут находиться денежные средства, то есть
безрисковый актив, имеющий нулевое ожидание дохода, нуле-
вую дисперсию дохода и нулевой коэффициент корреляции с
любым другим активом, поэтому равенство единице суммы ве-
сов всех активов является строгим.
Ожидаемый доход портфеля и ожидаемая дисперсия портфеля
являются целевыми функциями. Целевые функции определяют за-
дачу которая должна быть решена в процессе оптимизации. В дан-
ном случае задачей является максимизировать линейную функцию
µ y при одновременной минимизации квадратичной функции ? y с
2


учетом заданных ограничений.

15.6. Введение ограничений на состав и веса активов в
портфеле (лимитов).
В постановке задачи по оптимизации портфеля активов,
сделанной в предыдущем параграфе, неявным образом предпо-
лагалось, что:
- портфельный менеджер имеет возможность инвестировать в
любые активы, обращающиеся на рынке, то есть отсутству-
ют ограничения на состав активов в портфеле,
- отсутствуют ограничения на вес отдельного актива в порт-
феле.
Как правило присутствуют оба вида ограничений (лимиты). До-
полним задачу оптимизации введением лимитов, то есть будем
предполагать, что:
230
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

в формулах для целевых функций присутствуют только раз-
-
решенные активы,
- вводятся ограничения на вес каждого конкретного актива в
портфеле.
Ограничения на вес любого актива будем вводить как сверху,
так и снизу. На практике низкое ограничение сверху вводят на
потенциально очень доходные, но и очень рискованные активы.
Самые низкие ограничения сверху вводят на веса активов, инве-
стиции в которые с высокой вероятностью могут быть потеряны
полностью. В лучшем случае эти активы могут принести доход
за пределами горизонта инвестирования. Ограничение сверху
не может превышать 1. Ненулевые ограничения снизу вводятся
как правило для создания в составе портфеля "подушки безо-
пасности" из низкодоходных, но и низкорискованных активов.
Ограничение снизу не может быть меньше 0. Кроме того, и на-
бор ограничений сверху, и набор ограничений снизу имеют свои
правила нормирования.
Итак, ограничения на веса активов в портфеле вводятся сле-
дующим образом:
w(min) k ? wk ? w(max)k
0 ? w(min) k < 1 0 < w(max) k ? 1
N N

?w ?w
?1 ?1
(min) k (max) k
k =1 k =1


15.7. Численное решение задачи оптимизации портфеля с
учетом лимитов методом Монте-Карло.
Итак, задачу об оптимизации портфеля активов с учетом
лимитов можно сформулировать в виде:
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k
k =1 k =1 i = k +1
N
S = ? wk = 1
k =1
231
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

w(min) k ? wk ? w(max) k
0 ? w(min) k < 1 0 < w(max) k ? 1
N N
S(min) = ? w(min) k ? 1 S(max) = ? w(max) k ? 1
k =1 k =1
В этой задаче искомыми величинами являются наборы ве-
сов активов {wk } , удовлетворяющие всем уравнениям и нера-
венствам. Решить такую задачу оптимизации аналитическими
методами достаточно трудно, особенно в случае большого ко-
личества активов. Поэтому есть смысл попробовать найти ее
решение численно методом Монте-Карло, генерируя случайным
образом на компьютере удовлетворяющие ограничениям набо-
ры весов активов и проверяя эти наборы на соответствие целе-
вым функциям.
Разумеется, в конечной последовательности розыгрышей
(генераций наборов весов) скорее всего не удастся найти все
решения задачи оптимизации. Однако, каждое найденное реше-
ние будет удовлетворять всем условиям задачи, то есть порт-
фель, построенный с помощью этого набора весов будет "доста-
точно оптимальным". Если решений будет несколько, из них
можно выбрать то, при котором отношение ожидаемого дохода
портфеля к ожидаемому риску будет максимальным.
Алгоритм решения задачи оптимизации
1) Задаем входные данные
Набор ожидаемых доходов по активам:
1.1)
{µ k }, k = 1,..., N
Набор среднеквадратичных отклонений активов:
1.2)
{? k }, k = 1,..., N
Набор коэффициентов корреляций между различны-
1.3)
ми активами
{? ik }
k = 1,..., N
i = k + 1,..., N
Минимально ожидаемый доход портфеля: µ min
1.4)
232
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

Максимально ожидаемаый риск портфеля: ? max
1.5)
Набор ограничений снизу на веса активов:
1.6)
{w(min) k }, k = 1,..., N
Набор ограничений сверху на веса активов:
1.7)
{w(max) k }, k = 1,..., N
Количество розыгрышей (генераций наборов весов):
1.8)
М
Точность нормирования (малое положительное чис-
1.9)
ло): ?
2) Задаем стартовое значение номера текущего розыгрыша
m=0
3) Номер текущего розыгрыша m = m + 1
4) Разыгрываем случайным образом набор весов, соответст-
вующий набору ограничений на веса активов
Задаем начальные минимально возможные значе-
4.1)
ния весов
wk = w(min) k , k = 1,..., N
Вычисляем текущую сумму весов
4.2)
N
S = ? wk
k =1
k =0
4.3)
k = k +1
4.4)
Разыгрываем приращение веса к-го актива
4.5)
dW = СЛУЧАЙНОЕ _ ЧИСЛО(0,
МИНИМУМ (1 ? S , w(max) k ? wk ))
Вычисляем текущий вес к-го актива
4.6)
wk = wk + dW
Вычисляем текущую сумму весов
4.7)
S = S + dW
Если k<N, то переходим на шаг 4.4
4.8)
Если не соблюдается точность нормирования, то
4.9)
есть (1 ? S ) > ? , то переходим на шаг 4.3


233
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

5) Проверяем, соответствует ли портфель, составленный из полу-
ченных на шаге 4 весов, ограничениям на минимально ожидае-
мый доход и максимально ожидаемый риск портфеля
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k
k =1 k =1 i = k +1
Если решение соответствует этим неравенствам, то фиксируем
его, то есть запоминаем текущий набор весов и соответствую-
щие ему ожидаемый доход, ожидаемый риск, отношение дохо-
да к риску. Текущий розыгрыш за номером m завершен.
6) Если номер текущего розыгрыша m меньше, чем общее число
розыгрышей М, то переходим на шаг 3
7) После того, как сделаны все розыгрыши (то есть m=М), среди
всех найденных решений выбираем то, при котором отношение
ожидаемого дохода портфеля к ожидаемому риску портфеля
будет максимальным.

Если не было найдено ни одного решения, то необходимо:
- либо увеличить количество розыгрышей,
- либо ослабить ограничения по целевым функциям, то есть
уменьшить ожидаемый доход и/или увеличить ожидаемый риск
портфеля,
- либо пересмотреть ограничения на веса активов в портфеле в
сторону расширения интервалов разрешенных значений весов.
Пример решения задачи оптимизации
Рассмотрим портфель, состоящий из трех активов:
- 1-й актив
ожидаемый доход 10%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 15%
отношение доход/риск = 0.67
минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
- 2-й актив
ожидаемый доход 13%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 20%
отношение доход/риск = 0.65
234
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
- 3-й актив
ожидаемый доход 18%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 30%
отношение доход/риск = 0.60
минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
Коэффициенты корреляции между активами:
- 1-й и 2-й активы: ?12 = 0.5
?13 = ?0.5
1-й и 3-й активы:
-
2-й и 3-й активы: ? 23 = 0
-
Зададим минимально ожидаемый доход портфеля 15%, макси-
мальный ожидаемый риск портфеля 18%, количество розыгрышей
весов активов 10000.
Тогда решение задачи оптимизации по приведенному в этом
параграфе алгоритму с выбором среди полученных решений того,
которое обеспечивает максимальное отношение ожидаемого дохо-
да к ожидаемому риску следующее:
- вес 1-го актива w1 = 0.1141
вес 2-го актива w2 = 0.3859
-
вес 3-го актива w3 = 0.5000
-
µ y = 15.16%
ожидаемый доход портфеля
-
ожидаемый риск портфеля ? y = 16.58%
-
- отношение доход/риск = 0.91
Мы получили доход портфеля больше среднего арифметического
доходов активов (13.67%), риск портфеля меньше среднего ариф-
метического рисков активов (21.67%), и существенно улучшили
соотношение дохода и риска по сравнению с этим соотношением

<< Предыдущая

стр. 42
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>