<< Предыдущая

стр. 43
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

для любого отдельного актива. Следует еще раз подчеркнуть, что
это решение наверняка не является оптимальным. Более длинные
серии розыгрышей вероятно способны его улучшить. Однако, дан-
ное решение является "достаточно оптимальным", так как удовле-
творяет всем поставленным условиям.


235
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

16. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ
АНАЛИЗА КВАНТИЛЬНЫХ МЕР РИСКА

16.1. Введение.
В предыдущей главе были рассмотрены вопросы, связанные
с управлением риском портфеля, при этом в качестве меры рас-
сеяния ожидаемого дохода по конкретному активу и по портфе-
лю, то есть в качестве меры риска, была использована дисперсия
(или среднеквадратичное отклонение).
Широкое использование дисперсии в качестве оценки рас-
сеяния ожидаемого дохода портфеля связано с тем, что ее мож-
но вычислить аналитически, если известны дисперсии каждого
актива и коэффициенты корреляции между активами. Действи-
тельно, дисперсия ожидаемого дохода портфеля - это взвешен-
ная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, причем вес
каждой ковариации равен произведению весов соответствую-
щей пары активов, а ковариация актива с самим собой является
дисперсией данного актива. При этом суммирование проводится
безотносительно к разнообразию законов распределений каждо-
го из слагаемых и возможной деформации законов распределе-
ния при суммировании.
Ситуация существенным образом усложняется, если в каче-
стве меры рассеяния ожидаемого дохода портфеля необходимо
указать квантильное отклонение с заданной доверительной ве-
роятностью, так как это невозможно сделать, если неизвестен
закон распределения доходов портфеля. Теоретически, закон
распределения доходов портфеля можно найти, если известны
законы распределения доходов входящих в него активов. Одна-
ко на практике аналитическое решение такой задачи сопряжено
со значительными трудностями даже для малого числа активов
(за исключением некоторых частных случаев). Это происходит
потому, что, во-первых, доходы по входящим в портфель акти-
вам могут быть коррелированны между собой, во-вторых, при
суммировании доходов активов законы их распределения могут
существенным образом деформироваться, поэтому распределе-
ние дохода портфеля может сильно отличаться от распределе-
ний доходов составляющих его активов.

236
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

В этой главе будут рассмотрены практические методы вы-
числения квантильных мер риска дохода портфеля из произ-
вольного количества активов и управления риском портфеля на
основе их анализа.

16.2. Понятие Value-at-risk и Shortfall-at-risk.
Допустим, что предполагается сформировать портфель,
состоящий из некоторого набора активов. Введем обозначения:
N - количество активов в портфеле,
T - промежуток времени, в течение которого предполагается
поддерживать портфель в неизменном состоянии,
{wn } - набор весов, с которыми активы входят в портфель на
момент его формирования,
{x n } - набор случайных величин, равных доходам по каждому
из активов, которые будут реально получены по истечении
промежутка времени T ,
y - случайная величина, равная реально полученному доходу
портфеля по истечении промежутка времени T ,
{µ n } - набор ожидаемых значений доходов по каждому из
активов,
µ y - ожидаемое значение дохода портфеля.
Реально полученный доход портфеля и ожидаемое значение
дохода портфеля за время T можно вычислить по формулам:
N N
µ y = ? wn µ n
y = ? wn xn
n =1 n =1

В большинстве случаев оказывается, что величины y и µ y
не равны друг другу. В частности, по истечении промежутка
времени T результатом инвестирования может оказаться
убыток, то есть y < 0 .
В качестве квантильной меры риска портфеля используется
величина Value-at-risk (VAR), то есть VAR - это мера риска порт-
феля с заданной доверительной вероятностью.
Утверждение о том, что портфель имеет определенное зна-
чение VAR фактически означает следующее: в течение проме
237
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

жутка времени T с доверительной вероятностью P абсолютная
величина убытка по портфелю не может быть больше, чем VAR
(доход по портфелю не может быть меньше -VAR), при этом аб-
солютная величина убытка, превосходящая VAR, также не ис-
ключена, однако такой убыток может случиться лишь с малой
вероятностью 1 ? P .
Пусть случайная величина y (доход портфеля) имеет плот-
ность распределения p ( y ) и функцию распределения F ( y ) .
Зададим доверительную вероятность P . Обозначим как y1? P
такую квантиль распределения переменной y , что
- вероятность того, что случайная величина y окажется
меньше или равной y1? P , равна 1 ? P , т.е.
Рrоb{ y ? y1? P } = 1 ? P
вероятность того, что случайная величина y окажется
-
больше y1? P , равна P , т.е.
Рrоb{ y > y1? P } = P
Доверительную вероятность P как правило выбирают в преде-
лах от 0.95 до 0.99. В этом случае квантиль y1? P является отри-
цательным числом. Тогда величина VAR равна модулю этого
числа:
VAR =| y1? P |
Для того, чтобы найти VAR случайной величины y , нужно ре-
шить уравнение
1 ? P = F (?VAR)
или (эквивалентная форма записи)
?VAR

? p( y)dy
1? P =
??
VAR является достаточно распространенной мерой риска порт-
феля, которая имеет однако ряд существенных недостатков:
1) В отличие от дисперсии, VAR не обладает свойством адди-
тивности. Это означает, что даже если известны величины
VAR составляющих портфель активов и коэффициенты кор-
реляции между активами, то в общем случае на основании
238
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

этих данных невозможно рассчитать VAR портфеля. Это свя-
зано с тем, что VAR является квантильной оценкой, поэтому
ее нельзя вычислить без знания закона распределения дохо-
да портфеля. Но при суммировании доходов активов законы
их распределения могут деформироваться, поэтому распре-
деление дохода портфеля может сильно отличаться от рас-
пределений доходов составляющих его активов.
2) VAR не учитывает возможных больших убытков, которые
могут произойти с малыми вероятностями.
3) При указании в качестве меры риска только величины VAR,
мы не имеем информации о виде распределения доходов
портфеля. При этом, если распределение доходов портфеля
является островершинным (эксцесс больше 3), то риск
портфеля будет недооцениваться, а если распределение до-
ходов является плосковершинным (эксцесс меньше 3), то
риск будет переоцениваться.
Исходя из перечисленных выше недостатков VAR, хотелось бы
иметь характеристику риска портфеля, которая описывает реа-
лизующиеся с малыми вероятностями аномально большие
убытки. Такой мерой риска является Shortfall-at-risk (SAR). SAR -
это ожидаемое значение убытка портфеля, при условии, что аб-
солютная величина убытка превосходит VAR. Исходя из данного
определения, значение SAR может быть вычислено по формуле:
?VAR

? y ? p( y)dy
SAR =
??
Совместное использование в качестве мер риска VAR и SAR по-
зволяет иметь более полную информацию о хвостах распреде-
ления доходов портфеля. При этом представляется целесообраз-
ным рассчитывать эти величины одновременно для нескольких
различных значений доверительной вероятности P (например
0.950, 0.975, 0.990, 0.999).

16.3. Вычисление Value-at-risk и Shortfall-at-risk.
Прежде всего рассмотрим, каким образом можно найти зна-
чения VAR и SAR для отдельного актива. Для расчета этих вели-
чин необходима информация о плотности распределения дохо

239
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

дов, которая может быть найдена по эмпирической выборке ры-
ночных цен данного актива. Введем обозначения:
0,..., t max - интервал времени, на котором производится выборка
цен,
Рricet - цена актива в момент времени t ( 0 ? t ? t max ).
Тогда величиной, характеризующей однодневный доход от вло-
жения в данный актив от момента t ? 1 до момента t будет
xt = ln(Рricet Рricet ?1 ) , где 1 ? t ? t max .
Значения VAR и SAR могут быть определены по выборке слу-
чайных величин {xt } следующими способами:

1) Непосредственно по выборке {xt } .
При использовании этого способа выборка {xt } должна
быть упорядочена по возрастанию. После этого нужно найти
номер M в упорядоченной по возрастанию выборке, соот-
ветствующий доверительной вероятности P :
M = 1 + ЦЕЛОЕ((1 ? P) ? (tmax ? 1) )
Тогда
M
1
?x
VAR = xM SAR = t
t max t =1
Данный метод является самым простым и самым грубым.
Он исключительно чувствителен к конкретной случайной
реализации цен на интервале 0,..., t max . Кроме того, этот
способ сильно зависит от объема выборки. Действительно,
при малой величине t max мы можем для различных значений
P получать один и тот же номер M , и как следствие этого,
одни и те же величины VAR и SAR.
2) Путем идентификации закона распределения случайной ве-
личины х.
Для этого по выборке {xt } , используя изложенную в главе 6
методику, необходимо построить эмпирическую гистограм-
му распределения случайной величины x , после чего ап-
проксимировать эту гистограмму одним из аналитических
240
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

законов распределения, которые описаны в главе 2. Тем са-
мым будет найдена формула для плотности распределения
p(x) . Для заданной доверительной вероятности P величи-
ны VAR и SAR могут быть найдены из уравнений
?VAR ?VAR

? p( x)dx ? x ? p( x)dx
1? P = SAR =
?? ??
Решение этих уравнений проводится как правило численно,
методика приведена в главе 2.
3) Путем многократного моделирования методом Монте-
Карло
Как и в предыдущем случае, по эмпирической выборке {xt }
необходимо найти аналитическую формулу для плотности
распределения p (x) . Далее, используя генератор псевдо-
случайных чисел, нужно провести многократное моделиро-
вание случайной величины x (методика подробно изложена
в главе 2). После этого величины VAR и SAR определяются
уже по смоделированной выборке.
ПРИМЕЧАНИЕ. Таким образом мы нашли однодневные VAR и
SAR. Если необходимо вычислить например пятидневные зна-
чения этих величин, то вместо дневных баров цен используются
недельные бары и т.д.
После того как известно, каким образом можно найти зна-
чения VAR и SAR для отдельного актива, можно описать проце-
дуру поиска этих величин для портфеля.
Проще всего VAR и SAR для портфеля можно найти, если на
интервале времени 0,..., t max рассмотреть поведение виртуаль-
ного портфеля, сформированного в момент t = 0 из интере-
сующих нас активов, каждый из которых входит в портфель с
заданным весом. Если считать, что Рricet - это стоимость вир-
туального портфеля в момент времени t , то вся процедура по-
иска VAR и SAR для него уже описана выше. Такой подход об-
ладает следующими достоинствами:
- отсутствует необходимость учета корреляции между входя-
щими в портфель активами (это происходит автоматически),
241
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 16. Управление риском портфеля на основе анализа квантильных
мер риска

отсутствует необходимость учета законов распределения
-
входящих в портфель активов, так как нас интересует только

<< Предыдущая

стр. 43
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>