<< Предыдущая

стр. 8
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Не приводя доказательства скажем, что интегральная функция
обобщенного экспоненциального распределения может быть
выражена через интегральную функцию гамма-распределения
(встроенная функция Excel) следующим образом:
? x?µ ? 1 ?
x ? µ : F ( x ) = 0 . 5 + 0 . 5 ? ГАММАРАСП ? , ,1, ИСТИНА ?
? ?? ?
?
? ?
? x?µ ? 1 ?
F ( x ) = 0 . 5 ? 0 . 5 ? ГАММАРАСП ? ?
x<µ: , ,1, ИСТИНА
? ?? ?
?
? ?

2.11. Поиск интегральной функции распределения путем
численного интегрирования плотности распределения.
Пусть дана случайная величина, которая подчиняется обоб-
щенному экспоненциальному распределению с параметрами
43
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


( µ ,? ,? ) , то есть плотность вероятности имеет вид:
?
? x?µ ?
?
exp? ? ?
p ( x) = ? ? < x < +?
? ?? ?
2 Г (1 / ? )?? ? ?
Требуется найти интегральную функцию распределения:
x

? p( z )dz
F ( x) =
??
Прежде всего заметим, что задачу можно упростить, перейдя к
переменной t = ( x ? µ ) / ? . Случайная величина t имеет математи-
ческое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице.
Формулы для плотности вероятности и функции распределения
примут вид:

( )
? ?
exp ? t ?
p (t ) = ? ? < t < +?
2 Г (1 / ? )?
t

? p( z )dz
F (t ) =
??
Для решения поставленной задачи достаточно:
- разбить всю область определения переменной t на N интерва-
лов, при этом узлы разбиения будут образовывать массив
{Tk }, k = 0,..., N .
- вычислить в узлах разбиения массив значений интегральной
функции {Fk }, k = 0,..., N .
Тогда для произвольного значения переменной t, такого, что
Tk ? t ? Tk +1 значение интегральной функции F(t) может быть при-
ближенно определено в виде:
F (t ) = Fk + (t ? Tk )( Fk +1 ? Fk ) /(Tk +1 ? Tk )
Так как между узлами разбиения величина F
аппроксимируется линейной зависимостью, то интервал разбиения
должен быть достаточно мал, то есть количество узлов разбиения
достаточно велико.
Однако, плотность вероятности определена на всей числовой
оси, а разбить бесконечный интервал на конечное количество ин-
тервалов конечной длины невозможно. Поэтому приближенно бу-
дем считать, что
44
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин



( )
? ?
exp ? t ?
p(t ) = ?R?t ? R
2 Г (1 / ? )?
p(t ) = 0 t >R
t

? p( z )dz
F (t ) =
?R
где величину 2R назовем размахом распределения.
Очевидно, интервал от - R до R можно трактовать как
интерквантильный промежуток с некоторой близкой к единице
доверительной вероятностью. Для обобщенного
экспоненциального распределения половину размаха можно задать
эмпирически полученной формулой:
R = 3 + 4.788 ? (? ? 1.8) 2 / 3
После введения понятия размаха распределения, все готово для на-
писания алгоритма решения задачи:
1) Задаем входные данные: показатель степени распределения ? и
количество интервалов разбиения N (целое четное число).
2) Вычисляем эксцесс распределения
? = Г (1 / ? ) Г (5 / ? ) /[ Г (3 / ? )]2
3) Вычисляем половину размаха распределения
R = 3 + 4.788 ? (? ? 1.8) 2 / 3
4) Вычисляем минимальное и максимальное значение пере-
менной t
Tmin = ? R
Tmax = R
5) Вычисляем массив узлов на оси t
Tk = Tmin + (Tmax ? Tmin )k / N k = 0,..., N
6) Вычисляем номер центра распределения
M = N /2
7) Вычисляем массив значений плотности вероятности для k
от 0 до М
( )
? ?
exp ? Tk ?
pk = k = 1,..., M
2 Г (1 / ? )?
p0 = 0
45
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


8) Вычисляем вспомогательный массив, в котором величины p k
суммируются нарастающим итогом для k от 0 до М
k
S k = ? pi k = 0,..., M
i =0
9) Так как значение интегральной функции в центре распределе-
ния (то есть в узле с номером М) равно 0.5, то можно вычис-
лить левую часть массива, в котором содержится функция рас-
пределения
Fk = 0.5 ? S k / S M k = 0,..., M
10) Так как распределение симметрично относительно центра, вы-
числяем оставшуюся часть массива, в котором содержится
функция распределения
Fk = 1 ? FN ?k k = M + 1,..., N
Итак, мы получили массив значений случайной величины {Tk } и
соответствующий ему массив интегральной функции
распределения {Fk } , то есть задали функцию распределения в
табличном виде.
Для произвольного значения переменной t значение инте-
гральной функции F(t) может быть определено по формулам:
t < T0 : F (t ) = 0
Tk ? t < Tk +1 k = 0,..., N ? 1 :
F (t ) = Fk + (t ? Tk )( Fk +1 ? Fk ) /(Tk +1 ? Tk )
t ? TN : F (t ) = 1
Напомним, что переменная t имеет нулевое математическое
ожидание и единичную дисперсию. Переменная х с произвольными
математическим ожиданием и дисперсией связана с переменной t
соотношением x = µ + ? t .

2.12. Поиск интегральной функции распределения путем
разложения плотности распределения в ряд с последующим
аналитическим интегрированием этого ряда.
Задачу, поставленную в предыдущем параграфе, можно
решить путем разложения стоящей под знаком интеграла
функции в ряд Тейлора с последующим интегрированием этого
46
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


ряда. Итак, нам нужно проинтегрировать обобщенное экспонен-
циальное распределение ( µ = 0,? = 1) :

( )
? ?
exp ? t ?
p (t ) = ? ? < t < +?
2 Г (1 / ? )?
t

? p( z )dz
F (t ) =
??
Так как плотность распределения симметрична относитель-
но центра, для нахождения интегральной функции распределе-
ния достаточно вычислить

? exp(? (z / ? ) )dz =
?
t t
q(t ) = ? p( z )dz =
?

2 Г (1 / ? )?
0 0


( )
t/?
? ?
( )
t

? exp ? (z / ? ) d ( z / ? ) = ?
?
exp ? y ? dy
=
2 Г (1 / ? ) 0 2 Г (1 / ? ) 0
Функцию под знаком интеграла можно разложить в ряд Тейлора
следующим образом:
y ?k
( )
?
= ? (?1)
?
exp ? y k

k!
k =0
Подставив это разложение под знак интеграла и проведя интег-
рирование, получим
(?1) k (t / ? )?k +1
? ?

?
q (t ) = ?
2 Г (1 / ? ) k = 0 k! ?k + 1
Практически, суммирование производится не до ?, а до некото-
рого k=N, такого, что
1 (t / ? )?N +1
??
?
N ! ?N + 1
где ? - это некоторое наперед заданное малое положительное
число (точность вычисления). То есть мы должны вычислить
частичную сумму ряда.
Функция распределения F (t ) связана с q (t ) соотношениями:
t ? 0 : F (t ) = 0.5 + q(t )
t < 0 : F (t ) = 0.5 ? q(| t |)
47
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


2.13. Моделирование с помощью равномерного распределе-
ния случайных чисел с произвольной плотностью распреде-
ления.
Встроенный в компьютер генератор псевдослучайных чисел
выдает числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1.
Так как любая интегральная функция распределения F(x) имеет
область значений от 0 до 1, то с помощью равномерного
распределения можно получить случайное число с произвольным
законом распределения путем решения обратной задачи, то есть
восстанавливая по известному значению F(x) значение х. В
качестве примера будем моделировать случайную величину,
подчиняющуюся обобщенному экспоненциальному
распределению. Для решения этой задачи будем использовать
результаты, полученные в двух предыдущих параграфах.
Постановка задачи
Дано случайное число z, равномерно распределенное на
интервале от 0 до 1.
Требуется получить число x, подчиняющееся обобщенному
экспоненциальному распределению, с параметрами ( µ ,? ,? ) .
Решение путем предварительного численного интегрирования
плотности распределения, то есть задания функции распреде-
ления в табличном виде.
Для получения искомого числа x, найдем сначала
вспомогательное число t, которое подчиняется обобщенному экс-
поненциальному распределению, с параметрами ( µ = 0,? = 1) .
Для этого по методике, изложенной в параграфе 2.11, получим
массив значений случайной величины {Tk } и соответствующий
ему массив интегральной функции распределения {Fk } , то есть
зададим функцию распределения в табличном виде. Для произ-
вольного значения переменной t значение интегральной функции

<< Предыдущая

стр. 8
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>