<< Предыдущая

стр. 9
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

F(t) может быть определено как:
t < T0 : F ( t ) = 0
Tk ? t < Tk +1 k = 0 ,..., N ? 1 :
F ( t ) = Fk + ( t ? Tk )( Fk +1 ? Fk ) /( Tk +1 ? Tk )
t ? TN : F (t ) = 1
48
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


На интервале T0 ? t ? TN величины t и F связаны линейно.
Если принять, что величина t не может быть меньше T0 и не
может быть больше TN , то можно получить обратную
зависимость t (F ) в виде:
F = 0: t ( F ) = T0
F = 1 : t ( F ) = TN
Fk ? F < Fk +1 k = 0,..., N ? 1 :
t ( F ) = Tk + ( F ? Fk )(Tk +1 ? Tk ) /( Fk +1 ? Fk )
Если считать, что полученная с помощью генератора
случайных чисел величина z является значением функции рас-
пределения F в некоторой точке t, то величина t может быть
найдена по приведенным выше формулам, где вместо перемен-
ной F подставлена величина z. Искомое число х вычисляется как
x = µ +? t .
Решение методом итераций, с использованием вычисления
функции распределения через ряд Тейлора.
Как и в предыдущем случае, для получения искомого числа x,
найдем сначала вспомогательное число t, которое подчиняется
обобщенному экспоненциальному распределению, с параметрами
( µ = 0,? = 1) .
В параграфе 2.12 было показано, что можно вычислить функ-
цию распределения F(t) в точке t с требуемой точностью как
частичную сумму соответствующего ряда. Теперь нам нужно
решить обратную задачу, то есть по известному значению F(t)
найти неизвестное значение t. Точнее, в соответствии с условиями
поставленной задачи, мы должны решить относительно t уравнение
F (t ) ? z = 0 .
Для численного решения этого уравнения мы используем ме-
тод деления пополам. Для того, чтобы приступить к решению этим
методом, необходимо задать конечный интервал, в котором должен
лежать корень уравнения. В качестве области возможных значений
t выберем интервал от -R до R, где 2R - это рассмотренный выше
размах распределения. Считаем, что F ( ? R ) = 0, F ( R ) = 1 .
Численное решение уравнения F (t ) ? z = 0 с заданной
точностью означает, что достаточно найти такое t, при котором
49
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


F (t ) ? z ? ? , где ? - это некоторое наперед заданное малое поло-
жительное число (точность вычисления).
Решение состоит в последовательном повторении шагов
(итераций), до тех пор, пока не будет достигнута необходимая
точность:
1) Задаем начальные величины граничных значений переменных t
иF
Tmin = ? R Fmin = 0
Tmax = R Fmax = 1
2) Вычисляем текущее значение t как среднее значение между Tmin
и Tmax
t = (Tmin + Tmax ) / 2
3) Вычисляем по методике из параграфа 2.12 величину F(t)
F ? z ? ? . Если неравенство
4) Проверяем условие
справедливо, то необходимая точность решения достигнута и
текущее значение t является решением.
5) В случае F ? z > ? изменяем значения величин Tmin, Tmax,
Fmin, Fmax:
- если F < z , то
Tmin = t , Fmin = F
Tmax , Fmax остаются без изменения
если F > z , то
-
Tmin , Fmin остаются без изменения
Tmax = t , Fmax = F
6) Возвращаемся на шаг 2.
После того, как необходимая точность вычисления величины t дос-
тигнута, искомое число x находится как x = µ + ? t . На практике
чаще всего необходимо получить не отдельное случайное число x
с заданным законом распределения, а последовательность таких
чисел {xk }, k = 0,..., N . Это необходимо, как правило, при моде-
лировании случайных процессов. В этом случае описанные в дан-
ном параграфе процедуры нужно повторить соответствующее ко-
личество раз.

50
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


ПРИЛОЖЕНИЕ 2.1. Гамма-функция Эйлера.
Гамма-функция, обобщающая понятие факториала, является
одной из важнейших специальных функций. Для произвольного
положительного x , значение Г (x) задается формулой:
+?
Г ( x) = ? e ?t t x ?1dt x>0
0
В этом приложении мы рассмотрим алгоритм вычисления гам-
ма-функции. Данный алгоритм основан на следующем ее свой-
стве: Г ( х + 1) = х ? Г ( х) для любого x > 0 . Это свойство по-
зволяет свести вычисление Г (x) от любого x к вычислению
гамма-функции на интервале 1 ? x ? 2 , на котором ее можно
аппроксимировать полиномом пятой степени:
Г ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a5 x 5
a 0 = 3.69764701987851
a1 = -6.60156185480728
a 2 = 6.37763107208549
a3 = -3.26329362313704
a 4 = 0.885309940132118
a5 = -0.0957403771932692
Область значений величины x > 0 можно разбить на три
интервала, на каждом из которых Г (x) вычисляется
следующим образом:
1) 1 ? x ? 2
В этом случае, Г (x) непосредственно вычисляется с помо-
щью приведенного выше полинома.
2) 0 < x < 1
В этом случае, Г ( x) = Г ( x + 1) / x , и так как 1 < x + 1 < 2 ,
то Г ( x + 1) вычисляется с помощью полинома.
3) x > 2
В этом случае величину х можно представить в виде
x = N + z , где
51
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


N - это целая часть x ( N ? 2 ),
z - это дробная часть x ( 0 < z < 1 ).
Тогда
Г ( х) ? Г ( N + z ) = ( N + z ? 1) Г ( N + z ? 1) = ... =
N ?1
= Г (1 + z )? ( N + z ? k )
k =1
и так как 1 < z + 1 < 2 , то Г ( z + 1) вычисляется с помощью
полинома.
Вычисление гамма-функции с помощью Microsoft Excel
В Microsoft Excel гамма-функцию можно вычислить, используя
следующую комбинацию функций:
Г ( х) = ЕХР( ГАММАНЛОГ ( х))




52
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. t-распределение Стьюдента.
Плотность распределения Стьюдента описывается формулой:
Г ((? + 1) / 2)
( )
? (? +1) / 2
p ( x) = 1 + x2 / 2 ? ? < x < +?
?? Г (? / 2)
Распределение имеет вид колоколообразной кривой, симметричной
относительно точки t = 0 , и зависит от единственного параметра
? , который принято называть числом степеней свободы. Приведем
значения основных характеристик распределения Стьюдента:

0 при ? > 1
Математическое ожидание,
медиана, мода
?
Дисперсия
при ? > 2
? ?2
Коэффициент асимметрии 0
3(? ? 2)
Эксцесс
при ? > 4
(? ? 4)
При числе степеней свободы ? > ? , распределение Стьюдента
стремится к стандартному нормальному распределению, то есть к
нормальному распределению с центром 0 и дисперсией 1.
Типичная интерпретация
Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение
1)
с математическим ожиданием µ и дисперсией ? .
2

Если имеется выборка этой случайной величины
( x1 , x 2 ,..., x N ) , то состоятельными и несмещенными оценками
математического ожидания и дисперсии по выборке будут
следующие величины:
1N 1N
X = ? xk ? ( xk ? X ) 2
2
?=
N ? 1 k =1
N k =1



53
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


xk ? µ
X ?µ
и t=
Тогда случайные величины t = будут
? ?/ N
подчиняться распределению Стьюдента с ? = N ? 1 степенями
свободы.

2) Пусть случайные величины Х и Y имеют нормальное
распределение с математическими ожиданиями и дисперсиями
( µ x , ? x ) и ( µ y , ? y ) соответственно.
2 2


Если имеются выборки
этих случайных величин
( x1 , x 2 ,..., x N ) и ( y1 , y 2 ,..., y N ) , то состоятельной и
несмещенной оценкой коэффициента корреляции между этими
величинами по выборке будет:
N

? (x ? X )( y k ? Y )
k
?= k =1
N N

? (x ?(y
? X) ? Y )2
2
k k
k =1 k =1

?
t = N ?2?
Тогда случайная величина будет
2
1? ?
подчиняться распределению Стьюдента с ? = N ? 2 степенями
свободы.
Вычисление распределения Стьюдента с помощью Microsoft
Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
распределения Стьюдента. Все используемые функции можно
найти в разделе "Статистические функции" электронных таблиц
Microsoft Excel.

Пусть случайная величина X подчиняется распределению
Стьюдента с числом степеней свободы ? .
1) Вероятность того, что X ? x :
1 ? СТЬЮДРАСП ( x,? ,1)
2) Вероятность того, что X > x :
СТЬЮДРАСП ( x,? ,1)
54
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3) Вероятность того, что ? x ? X ? x , вычисляется как:
P = 1 ? СТЬЮДРАСП ( x,? ,2)
4) Вероятность того, что | X | > x , равна:
q = СТЬЮДРАСП ( x,? ,2)
Величина q - это вероятность того, что случайная величина
X попадает в критическую область распределения
Стьюдента.
5) Если известна вероятность q того, что | X | > x , то
соответствующее значение x равно:
x = СТЬЮДРАСПОБР (q,? )

<< Предыдущая

стр. 9
(из 44 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>