<< Предыдущая

стр. 12
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


68
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


? = 2.5 N = 25
? = N ? 1 = 25 ? 1 = 24
q / 2 = 0.025 ? ? 0.025, 24 = ХИ 2ОБР(1 ? 0.025, 24) = 12.40
2


1 ? q / 2 = 0.975 ? ? 0.975, 24 = ХИ 2ОБР(1 ? 0.975, 24) = 39.36
2


2.5 2 2.5 2
? ? ? 24
2
24
39.36 12.4
3.81 ? ? 2 ? 12.10
Ширина доверительного интервала = 12.10 - 3.81 = 8.29

5.6. Статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза - это предположительное суж-
дение о закономерностях, которым подчиняется случайная ве-
личина. Мы будем рассматривать гипотезы о величине парамет-
ров закона распределения вероятностей и о его виде.
Статистическая проверка гипотез - это система приемов,
предназначенных для проверки соответствия эмпирических
данных некоторой статистической гипотезе. Процесс проверки
базируется на формулировании 2-х гипотез - нулевой и альтер-
нативной:
- нулевая гипотеза H 0 - это гипотеза, которая считается вер-
ной до тех пор, пока не будет доказано обратное исходя из
результатов статистической проверки,
- альтернативная гипотеза H 1 - это гипотеза, которая при-
нимается, если в результате статистической проверки отвер-
гается нулевая гипотеза.
Критерий проверки
Правило, по которому принимается или отклоняется нулевая
гипотеза, называется статистическим критерием проверки.
Построение критерия определяется выбором некоторой функ-
ции Q от результатов наблюдений, которая служит мерой рас-
хождения между эмпирическими и теоретическими значениями.
Функция Q называется статистикой критерия и является
случайной величиной.
69
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


По распределению статистики Q находится такое значение
Q0 , что если гипотеза H 0 верна, то вероятность того, что
Q > Q0 равна q , где q - это заданный заранее уровень значи-
мости. Если Q ? Q0 , то гипотеза H 0 принимается, а если
Q > Q0 , то гипотеза H 0 отвергается.
Ошибки 1-го и 2-го рода
При решении вопроса о справедливости гипотезы H 0 могут
быть допущены ошибки двух видов:
- ошибка первого рода происходит тогда, когда отвергается
верная гипотеза H 0 ,
- ошибка второго рода происходит тогда, когда принимается
ложная гипотеза H 0 .

Уровень значимости
Очевидно, что уровень значимости q - это вероятность ошибки
первого рода. Если он чрезмерно велик, то в основном ущерб
будет связан с ошибочным отклонением верной гипотезы H 0 ,
если же он чрезмерно мал, то ущерб будет возникать от оши-
бочного принятия ложной гипотезы H 0 . На практике в качестве
уровня значимости выбирают вероятность в пределах от 0.01 до
0.1.

5.7. Проверка гипотез о величине генеральной средней.
Располагая априорными суждениями о величине генераль-
ной средней (математического ожидания) мы можем проверить
гипотезу о том, соответствует ли выборочная средняя априор-
ному значению математического ожидания.
Проверка гипотезы о соответствии выборочной средней ап-
риорному значению математического ожидания может быть од-
носторонней (правосторонней или левосторонней) или двусто-
ронней:
- двусторонняя проверка используется в том случае, когда не-
обходимо проверить, равна ли выборочная средняя априор
70
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


ному значению математического ожидания, и гипотеза фор-
мулируется в виде:
H0 : X = µ
H1 : X ? µ
- правосторонняя проверка используется в том случае, когда
необходимо проверить, что выборочная средняя больше, чем
априорное значение математического ожидания, и гипотеза
формулируется в виде:
H0 : X = µ
H1 : X > µ
- левосторонняя проверка используется в том случае, когда
необходимо проверить, что выборочная средняя меньше,
чем априорное значение математического ожидания, и гипо-
теза формулируется в виде:
H0 : X = µ
H1 : X < µ
Проиллюстрируем проверку гипотез на примерах.
Двусторонняя проверка гипотез
1) Априорная информация
Математическое ожидание µ = 1
2) Результаты испытания
? = 2.5
N = 100 X = 1.2
3) Гипотеза
H0 : X = µ
H1 : X ? µ
4) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05
5) Критерий проверки
X ?µ
t=
?/ N
6) Правило принятия решения
71
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


Принять Н0 , если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ?
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки t попадает в критическую область
| t | > t1? q / 2, ? .
7) Расчет границ критической области
t1? q / 2,? = СТЬЮДРАСПОБР (q, N ? 1) =
= СТЬЮДРАСПОБР (0.05, 99) = 1.984
8) Расчет критерия проверки
X ?µ 1.2 ? 1
t= = = 0.8
? / N 2.5 / 100
9) Проверка гипотезы
Так как ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ? , то критерий проверки t = 0.8
не попадает в критическую область и мы принимаем гипоте-
зу Н0 . Это означает, что при заданном уровне значимости
выборочная средняя X = 1.2 статистически незначимо от-
личается от априорной величины математического ожида-
ния µ = 1 .
Правосторонняя проверка гипотез
1) Априорная информация
Математическое ожидание µ = 0.7
2) Результаты испытания
? = 2.5
N = 100 X = 1.2
3) Гипотеза
H0 : X = µ
H1 : X > µ
4) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05
5) Критерий проверки
X ?µ
t=
?/ N
6) Правило принятия решения
72
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


Принять Н0 , если t ? t1? q , ?
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки t попадает в критическую область
t > t1? q , ? .
7) Расчет границ критической области
t1? q , ? = СТЬЮДРАСПОБР (2q, N ? 1) =
= СТЬЮДРАСПОБР (2 ? 0.05, 99) = 1.66
8) Расчет критерия проверки
X ?µ 1.2 ? 0.7
t= = =2
? / N 2.5 / 100
9) Проверка гипотезы
Так как t > t1? q , ? , то критерий проверки t = 2 находится в
критической области и мы отвергаем гипотезу Н0 и прини-
маем гипотезу Н1. Это означает, что при заданном уровне
значимости выборочная средняя X = 1.2 статистически
значимо отличается от априорной величины математическо-
го ожидания µ = 0.7 .
Левосторонняя проверка гипотез
1) Априорная информация
Математическое ожидание µ = 1.5
2) Результаты испытания
? = 2.5
N = 100 X = 1.2
3) Гипотеза
H0 : X = µ
H1 : X < µ
4) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05
5) Критерий проверки
X ?µ
t=
?/ N
6) Правило принятия решения
73
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


Принять Н0 , если t ? ?t1? q , ?
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки t попадает в критическую область
t < ?t1? q , ? .
7) Расчет границ критической области
? t1? q , ? = ?СТЬЮДРАСПОБР (2q, N ? 1) =
= ?СТЬЮДРАСПОБР (2 ? 0.05, 99) = ?1.66
8) Расчет критерия проверки
X ?µ 1.2 ? 1.5
t= = = ?1.2
? / N 2.5 / 100
9) Проверка гипотезы
Так как t ? ?t1? q , ? , то критерий проверки t = ?1.2 не попа-
дает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0.
Это означает, что при заданном уровне значимости выбо-
рочная средняя X = 1.2 статистически незначимо отличает-
ся от априорной величины математического ожидания
µ = 1.5 .

5.8. Проверка гипотез о величине генеральной дисперсии.
Располагая априорными суждениями о величине генераль-
ной дисперсии мы можем проверить гипотезу о том, соответст-
вует ли выборочная дисперсия априорному значению генераль-
ной дисперсии.
Проверка гипотезы для дисперсии может быть односторон-
ней (правосторонней или левосторонней) или двусторонней:
- двусторонняя проверка используется в том случае, когда не-
обходимо проверить, равна ли выборочная дисперсия апри-
орному значению генеральной дисперсии, и гипотеза фор-
мулируется в виде:
2
H0 : ? = ? 2
2
H1 : ? ? ? 2
- правосторонняя проверка используется в том случае, когда
необходимо проверить, что выборочная дисперсия больше,
74
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 5. Статистические выводы


чем априорное значение генеральной дисперсии, и гипотеза
формулируется в виде:
2
H0 : ? = ? 2
2
H1 : ? > ? 2
- левосторонняя проверка используется в том случае, когда
необходимо проверить, что выборочная дисперсия меньше,
чем априорное значение генеральной дисперсии, и гипотеза
формулируется в виде:
2
H0 : ? = ? 2
2
H1 : ? < ? 2
Проиллюстрируем проверку гипотез на примерах.
Двусторонняя проверка гипотез
1) Априорная информация
Генеральная дисперсия ? 2 = 4
2) Результаты испытания
2
? = 2.5 ? = 6.25
N = 25

<< Предыдущая

стр. 12
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>