<< Предыдущая

стр. 23
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


131
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


9. АНАЛИЗ ФУРЬЕ

9.1. Введение.
В этой главе излагается метод аппроксимации эмпириче-
ской зависимости тригонометрическим рядом Фурье. Даны
формулы, позволяющие по реальной выборке вычислить коэф-
фициенты Фурье, амплитуду и фазу гармоник. Рассказано, как
строится амплитудно-частотная характеристика разложения, и
как она используется для выделения гармоник с максимальной
амплитудой.

9.2. Численный анализ Фурье.
Пусть выборка значений фактора Х и отклика Y задана в ви-
де массива ( x n , y n ), n = 0,..., N , содержащего N + 1 точку,
причем все значения фактора Х упорядочены по возрастанию и
равноотстоят друг от друга. Будем считать, что величина Х из-
меняется в интервале (0, X max ) , следовательно выборка фактора
Х задается рядом xn = X max ? n / N .
Если принято решение о том, что связь переменных Х и Y
носит периодический характер, то аппроксимировать зависи-
мость Y от Х на интервале (0, X max ) необходимо тригонометри-
ческим рядом, то есть функцией вида:
a0 M ? ? 2?x ??
? 2?x ?
f ( x) = + ? ?am cos? m ? + bm sin ? m
? X ??
?X? ?
2 m =1 ? max ? ?
? max ? ?
? ?
Данная функция зависит от (2М+1) параметра
(a 0 , a1 ,..., a M , b1 ,..., bM ) . Так как количество неизвестных пара-
метров 2 M + 1 не должно превышать объем выборки N + 1 , то
M ? N /2.
Наилучшим приближением будет тригонометрический ряд с
таким набором параметров, который минимизирует сумму квадра-
тов отклонений этого ряда от выборочных значений отклика Y, то
есть
N
S = ? [ y n ? f ( x n )]2 > min
n =1
132
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


Без доказательства приведем формулы для определения
искомых параметров:
? 2?n ?
N ?1
2
?
am = 0?m?M
yn cos? m ?
N N?
?
n=0

? 2?n ?
2 N ?1
bm = ? y n sin ? m 1? m ? M
?
N n =0 ? N?
Определенные по этим формулам параметры называют
коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд с такими
коэффициентами является рядом Фурье. Тогда аппроксимация
величины Y рядом Фурье в точке x n = X max n / N будет равна:
? 2?n ? ? 2?n ??
a0 M ?
f n = + ? ?am cos? m ? + bm sin ? m ?
N ??
2 m =1 ? N?
? ? ?
При увеличении количества гармоник М эта аппроксимация
все точнее описывает выборочные значения величины Y, и
наконец при M = N / 2 для любого n становится справедливым
равенство y n = f n .
Однако, наша задача состоит не в том, чтобы с абсолютной
точностью аппроксимировать исходную выборку, то есть
включить в математическую модель все наблюдающиеся осо-
бенности конкретной выборки, в том числе и те, которые в дей-
ствительности носят случайный характер. Нам нужно найти все-
го несколько наиболее значимых гармоник, то есть гармоник,
имеющих максимальную амплитуду. Для этого необходимо по-
строить и проанализировать амплитудно-частотную характери-
стику разложения.

9.3. Амплитудно-частотная характеристика.
Введем параметры ( Rm ,? m ) , которые назовем амплитуда и
фаза соответственно. Эти величины связаны с параметрами
(a m , bm ) следующими соотношениями:
bm
? m = ? arctg ?? < ?m ? ?
Rm = am + bm
2 2

am
am = Rm cos? m bm = ? Rm sin ? m
133
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


Тогда, заменив параметры (a m , bm ) , разложение Фурье можно
переписать в виде
? 2?n ? ? 2?n ??
a0 M ?
f n = + ? ? Rm cos? m cos? m ? ? Rm sin ? m sin ? m ??
2 m =1 ? ? N? ? N ??
? 2?n ?
a0 M
f n = + ? Rm cos? m +?m ?
2 m =1 ?N ?
Назовем частотой колебаний величину ? m = m / N . Полный
набор частот называется спектром разложения. Тогда оконча-
тельно получаем
a0 M
f n = + ? Rm cos(2?? m n + ? m )
2 m =1
Смысл приведенных выше преобразований состоит в том, чтобы
перейти от ряда из синусов и косинусов к ряду из одних косину-
сов. Если теперь построить график, где по оси абсцисс отложена
частота, а по оси ординат отложена амплитуда, то есть график в
координатах (? m , Rm ) , то наглядно будет видно, при каких зна-
чениях частоты наблюдаются максимумы амплитуды. Такой
график называется амплитудно-частотной характеристикой
(АЧХ). С помощью АЧХ мы получаем возможность выбрать из
разложения Фурье только самые значимые гармоники и пренеб-
речь остальными. Заметим, что период колебания связан с
частотой соотношением Tm = 1 / ? m .
При необходимости аналогичным образом можно построить
фазочастотную характеристику (ФЧХ), то есть график в коор-
динатах (? m ,? m ) .

9.4. Пример выделения основной гармоники с помощью
анализа Фурье.
Рассмотрим выделение основной гармоники с помощью
анализа Фурье на примере выборки, состоящей из 256-ти точек
( x n , y n ), n = 0,...,255 . График исходных данных приведен на
рисунке.

134
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


6
Исходные данные

4


2


0
0 50 100 150 200 250 300
-2


-4


-6


Этот график дает основания предположить, что связь перемен-
ных Х и Y носит периодический характер. По методике, изло-
женной в предыдущих 2-х параграфах, представим аппроксими-
рующую функцию рядом Фурье и построим амплитудно-
частотную характеристику.

АЧХ

300
250
амплитуда




200
150
100
50
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
частота


Максимум амплитуды находится в начальной части спектра.
Рассмотрим подробнее этот участок.


135
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье



АЧХ

300
250
амплитуда




200
150
100
50
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
частота


При ближайшем рассмотрении оказывается, что максимум
амплитуды приходится на частоту ? ? 0.01 (период T ? 100 ).
Учитывая, что ? m = m / N , рассчитаем для этого значения час-
тоты коэффициенты разложения Фурье:
a m = a (? m ) = ?0.1049
bm = b(? m ) = ?2.8918
Используя эти данные, вычисляем амплитуду и фазу основной
гармоники:
Rm = 2.8934
? m = 1.6070
Таким образом, Фурье-аппроксимация исходных данных и
ошибки модели будут вычисляться по формулам
f n = Rm cos(2?? m n + ? m ) = 2.8934 ? cos(2? ? 0.01 ? n + 1.607 )
en = y n ? f n
Приведем график исходных данных вместе с Фурье-
аппроксимацией и график остатков (ошибок модели).




136
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 9. Анализ Фурье


6
Исходные данные
Фурье-аппроксимация
4

2


0
0 50 100 150 200 250 300
-2

-4


-6


6
Остатки
4

<< Предыдущая

стр. 23
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>