<< Предыдущая

стр. 27
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


si - эмпирическая частота попадания в i-й столбец,
Ti - теоретическая частота попадания в i-й столбец.
Приведем таблицу эмпирических частот.
Номер ин- Левая Правая Эмпирическая
тервала граница граница частота s
i

1 -0.8732 -0.6791 5
2 -0.6791 -0.4851 46
3 -0.4851 -0.2911 87
4 -0.2911 -0.0970 166
5 -0.0970 0.0970 206
6 0.0970 0.2911 139
7 0.2911 0.4851 124
8 0.4851 0.6791 22
9 0.6791 0.8732 21

Так как отношение коэффициента асимметрии к его
среднеквадратичному отклонению меньше трех
? / ? ? = 0.063 / 0.085 = 0.738 < 3
то несимметричность носит случайный характер и
распределение частот можно расчетным образом
симметрировать относительно центрального пятого столбца:
Номер ин- Левая Правая Эмпирическая
тервала граница граница частота s
i

1 -0.8732 -0.6791 13.00
2 -0.6791 -0.4851 34.00
3 -0.4851 -0.2911 105.50
4 -0.2911 -0.0970 152.50
5 -0.0970 0.0970 206.00
6 0.0970 0.2911 152.50
7 0.2911 0.4851 105.50
8 0.4851 0.6791 34.00
9 0.6791 0.8732 13.00

Вычислим теоретические частоты попадания в
соответствующий интервал для нормального распределения с
( µ = 0.01, ? = 0.313) и рассчитаем величину ? 2 :
150
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов



Номер ин- Левая Правая Эмпирическая Теоретическая
(Ti ? si ) 2
тервала граница граница частота s Ti
частота
i
Ti
1 -0.8732 -0.6791 13.00 10.03 0.88
2 -0.6791 -0.4851 34.00 37.08 0.26
3 -0.4851 -0.2911 105.50 94.29 1.33
4 -0.2911 -0.0970 152.50 165.03 0.95
5 -0.0970 0.0970 206.00 198.88 0.25
6 0.0970 0.2911 152.50 165.03 0.95
7 0.2911 0.4851 105.50 94.29 1.33
8 0.4851 0.6791 34.00 37.08 0.26
9 0.6791 0.8732 13.00 10.03 0.88

? 2 = 7.09
ИТОГО

Зададимся уровнем значимости q = 0.05 . Тогда с учетом того, что
количество степеней свободы равно
? = L ?1? r = 9 ?1? 2 = 6
граница критической области вычисляется как:
? 12?q , ? = ХИ 2ОБР (0.05, 6) = 12.59
? 2 ? ? 12?q , ? , то распределение отклонений от линии
Так как
регрессии можно аппроксимировать нормальным распределением
при заданном уровне значимости.
Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание
ошибки равно нулю
Проверка гипотезы осуществляется по схеме:
1) Априорные предположения
Математическое ожидание ошибки равно нулю
µe = 0
2) Результаты испытания
Выборочная средняя ошибки и выборочное с.к.о. ошибки
e = 0.01
? e = 0.313
при объеме выборки N = 816 .
3) Гипотеза
151
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


H0 : e = 0
H1 : e ? 0
4) Принятая величина уровня значимости
q = 0.05
5) Расчет критерия проверки
e ? µe 0.01
t= = = 0.032
?e 0.313
6) Правило принятия решения
Принять Н0 , если ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ?
В противном случае принять Н1.
7) Расчет границ критической области
t1? q / 2,? = СТЬЮДРАСПОБР (q, N ? 2) =
= СТЬЮДРАСПОБР (0.05, 814) = 1.96
8) Проверка гипотезы
Так как ? t1? q / 2, ? ? t ? t1? q / 2, ? то мы принимаем гипотезу Н0,
то есть при заданном уровне значимости выборочная средняя
ошибки e статистически незначимо отличается от нуля.
Проверка гипотезы о том, что дисперсия ошибки постоянна
Для проверки этой гипотезы разделим эмпирические
данные на две группы по 350 точек: с 1-й по 350-ю и с 467-й по
816-ю точки. Серединные точки с 351-й по 466-ю (14.2% от
объема выборки) исключаем для лучшего разграничения между
группами. Рассчитаем суммы квадратов ошибок для каждой из
этих групп:
816 350

?e S 2 = ? ek = 19.67
S1 = = 50.37
2 2
k
k = 467 k =1
Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии осуществляется
по схеме:
1) Гипотеза
H 0 : S12 = S 2
2


H 1 : S12 > S 2
2

2) Принятая величина уровня значимости
152
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


q = 0.01
3) Расчет критерия проверки
S12 50.37
F= 2= = 2.561
S 2 19.67
4) Правило принятия решения
Принять Н0 , если F ? F1? q , ? 1, ? 2
В противном случае принять Н1 , то есть Н1 принимается,
когда критерий проверки F попадает в критическую об-
ласть F > F1? q , ? 1, ? 2 .
5) Расчет границ критической области
F1? q , ? 1,? 2 = FРАСПОБР (q,? 1 ,? 2 ) =
= FРАСПОБР(0.01, 350 ? 2, 350 ? 2) = 1.284
6) Проверка гипотезы
Даже при уровне значимости q = 0.01 критерий проверки
F попадает в критическую область F > F1? q , ? 1, ? 2 , то есть
мы отклоняем гипотезу Н0 и принимаем гипотезу Н1 . Сле-
довательно дисперсия ошибок регрессии не постоянна.
Проверка гипотезы о том, что ошибки независимы
На практике проверяется не независимость, а
некоррелированность ошибок, которая является необходимым,
но недостаточным условием независимости. Для этого нужно
рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка
N ?1

?e e k k +1
? k , k +1 = k =1
N ?1 N ?1

?e ?e 2 2
k +1
k
k =1 k =1
Для рассматриваемого здесь случая эта величина равна
? k , k +1 = 0.987 . Очевидно, что коэффициент автокорреляции
значимо отличается от нуля и ошибки уравнения высококорре-
лированы.


153
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов


Выводы
Следует признать, что аппроксимация линейной функцией
логарифма цены актива является неудовлетворительной, так как
не соблюдаются два из четырех допущений МНК.
Не приводя доказательств скажем, что попытка уточнить
модель путем введения циклических компонент не приводит к
улучшению качества ошибок регрессии.
На практике при изучении динамических рядов цен активов
используют методы адаптивного моделирования, о которых
будет рассказано в следующих главах.




154
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


11. СГЛАЖИВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ

11.1. Введение.
Целью сглаживания динамического ряда является фильтра-
ция случайных колебаний уровней этого ряда и выявление наи-
более устойчивой тенденции движения. Мы будем рассматри-
вать методы сглаживания, базирующиеся на вычислении сколь-
зящих средних. Любое скользящее среднее - это метод опреде-
ления среднего уровня динамического ряда за некоторый пери-
од времени. Термин "скользящее" подразумевает, что среднее
значение каждый раз заново вычисляется в последовательные
моменты времени. В этой главе под динамическим рядом мы,
как правило, будем понимать ряд, состоящий из цен активов.

11.2. Типы скользящих средних.
В общем виде формула для вычисления любой скользящей
средней (moving average) имеет вид:
MA = ? wk y k
k

где { y k } - массив цен актива,
{wk } - массив весов, с которыми цены входят в формулу.
При этом для набора весов должно соблюдаться правило нор-
мирования:
?w =1
k
k
Скользящая средняя характеризуется:
- объектом вычисления, то есть тем динамическим рядом, кото-
рый необходимо сгладить,
- периодом скользящей средней,
- типом скользящей средней, который определяет алгоритм вы-
числения набора весов {wk } .
Различают три основных типа скользящих средних:
- простая скользящая средняя (SMA - simple moving average),
- взвешенная скользящая средняя (WMA - weighted moving aver-
age),
- экспоненциальная скользящая средняя (EMA - exponential
moving average).
155
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


11.3. Простая скользящая средняя.
Простая скользящая средняя порядка T - это средняя
арифметическая цен за период времени [t ? T + 1, t ] , то есть
1t
? yk
SMAt =
T k =t ?T +1
Внутри интервала t ? T + 1 ? k ? t все веса, с которыми
входят цены при расчете скользящей средней одинаковы и
равны wk = 1 / T . За пределами этого интервала, то есть при
k < t ? T + 1 веса равны нулю.
Первым недостатком SMA является равенство весов в
пределах интервала расчета, так как интуитивно понятно, что
последние данные должны иметь большую ценность, то есть
входить в формулу для расчета с большим весом.
Второй недостаток SMA становится понятным при
рассмотрении рекуррентной формулы для ее вычисления:
1 1
SMAt = SMAt ?1 + y t ? y t ?T
T T
Очевидно, что SMA на каждую цену реагирует дважды: первый
раз, когда цена входит в интервал расчета, и второй раз, когда
цена выбывает из него. Вторая реакция никак не связана с

<< Предыдущая

стр. 27
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>