<< Предыдущая

стр. 28
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

текущей динамикой и, следовательно, нежелательна.
Традиционно, скользящую среднюю соотносят с последней
точкой интервала расчета, то есть с моментом времени t , хотя,
строго говоря, это некорректно. Вычисленное значение SMA
нужно ставить в соответствие с точкой на оси времени,
имеющей координату
(T ? 1)
1t
?
t= k =t?
T k =t ?T +1 2
то есть с точкой, сдвинутой влево по оси времени от момента t
на величину ?t = (T ? 1) / 2 .

11.4. Взвешенная скользящая средняя.
Взвешенная скользящая средняя придает больший вес по-
следним данным. Она рассчитывается путем умножения каждой

156
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


цены в пределах периода времени [t ? T + 1, t ] на
соответствующий вес. В простейшем случае при линейно
убывающих весах от момента t до момента t ? T + 1 формула
имеет вид:
t
2
?+1k ? (t ? T )] ? yk
WMAt = [
T (T + 1) k =t ?T
Цена в момент времени k = t входит в формулу для расчета
с максимальным весом w = 2 /(T + 1) , а цена в момент времени
k = t ? T + 1 входит в формулу для расчета с минимальным
весом w = 2 /(T ? (T + 1)) .
При отсутствии специализированных программ
технического анализа, для расчета линейно взвешенной
скользящей средней может быть полезна рекуррентная формула
2 2 2
WMAt = WMAt ?1 + yt ? y t ?T ? SMAt
T (T + 1) (T + 1)
T
Из этой формулы следует, что реакция WMA на выбытие цены
из интервала расчета менее выражена, чем у SMA, и эта реакция
тем меньше, чем больше период скользящей средней.

11.5. Экспоненциальная скользящая средняя.
Как и в случае взвешенной средней, экспоненциальная
скользящая средняя придает больший вес последним данным,
однако при расчете используется вся история цен. Рекуррентная
формула для ее вычисления имеет вид:
EMAt = ? ? y t + (1 ? ? ) ? EMAt ?1
0 <? ?1
Показательный процент ? определяет степень сглаживания. Чем
больше ? , тем меньше степень сглаживания. При ? = 1 экспо-
ненциальная скользящая средняя равна цене.
EMA лишена недостатка, присущего SMA и WMA, связанного
с фиксированным интервалом расчета скользящей средней.
Формулу для вычисления EMA можно записать в явном
виде, если предположить, что в нулевой момент времени
скользящая средняя совпадает с ценой ( EMA0 = y 0 ):

157
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


EMAt = ? ? yt + (1 ? ? ) ? EMAt ?1 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + (1 ? ? ) 2 ? EMAt ?2 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + ? ? (1 ? ? ) 2 ? yt ?2 + (1 ? ? ) 3 ? EMAt ?3 =
= ? ? yt + ? ? (1 ? ? ) ? yt ?1 + ? ? (1 ? ? ) 2 ? yt ?2 + K + (1 ? ? ) t ? y0
Следовательно
t ?1
EMAt = ? ? (1 ? ? ) i ? y t ?i + (1 ? ? ) t ? y 0
i =0
или (эквивалентная форма записи)
t
EMAt = ? ? (1 ? ? ) t ? k ? y k + (1 ? ? ) t ? y 0
k =1
Вычисленное значение ЕMA нужно ставить в соответствие с
точкой на оси времени, имеющей координату
t ?1 t ?1 t ?1
t = ? ? (1 ? ? ) (t ? i ) = t? ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) i i
i i

i =0 i =0 i =0
Суммы в последней формуле вычисляются как
1 ? (1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) =
i

?
i =0

(1 ? ? ) ? (1 + ?t ? ? )(1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) ? i =
i

?2
i =0
После несложных преобразований получаем, что
(1 ? ? ) (1 ? ? ) t +1
t =t? +
? ?
При достаточно большом t , т.к. (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) t +1 ? 0 ,
значит можно пренебречь последним слагаемым и написать
приближенное выражение t ? t ? (1 ? ? ) / ? .
Период ЕМА

Момент времени t сдвинут влево по оси времени от
момента t на величину ?t = (1 ? ? ) / ? . Если по аналогии с
простой скользящей средней обозначить эту величину как

158
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


?t = (T ? 1) / 2 , где T является периодом, то связь периода и
показательного процента задается выражением:
(1 ? ? ) (T ? 1)
=
? 2
Отсюда следуют формулы для конвертирования показательного
процента в период и наоборот:
2 2
?=
T= ?1
? T +1
С учетом этих соотношений можно переписать рекуррентную
формулу для ЕМА:
T ?1
2
EMAt = ? yt + ? EMAt ?1
T +1 T +1
ЕМА произвольного порядка
До сих пор мы рассматривали экспоненциальную скользящую
среднюю первого порядка, то есть сглаживанию подвергался
непосредственно исходный динамический ряд:
EMAt(1) = ? ? y t + (1 ? ? ) ? EMAt(?1
1)


При обозначении ЕМА первого порядка верхний индекс обычно
опускается.
Экспоненциальная скользящая средняя произвольного n -го
порядка задается формулой:
EMAt( n ) = ? ? EMAt( n ?1) + (1 ? ? ) ? EMAt(?1)
n


DEMA
Рассмотрим ошибку ЕМА, то есть величину et = y t ? EMAt .
Если прибавить к значению экспоненциальной скользящей средней
цены значение экспоненциальной скользящей средней ошибки, то
такая величина называется двойной экспоненциальной скользящей
средней:
DEMAt = EMAt + EMA(et ) = EMAt + EMA( yt ? EMAt ) =
= 2 ? EMAt ? EMA( EMAt ) ? 2 ? EMAt(1) ? EMAt( 2)



159
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


TEMA
Рассмотрим ошибку DЕМА, то есть величину
et = y t ? DEMAt . Тогда тройная экспоненциальная скользящая
средняя вычисляется по формуле:
TEMAt = DEMAt + EMA(et ) = DEMAt + EMA( y t ? DEMAt )
После преобразований получим, что
TEMAt = 3 ? EMAt ? 3 ? EMA( EMAt ) + EMA( EMA( EMAt )) ?
? 3 ? EMAt(1) ? 3 ? EMAt( 2) + EMAt( 3)

11.6. Точки пересечения экспоненциально сглаженных кри-
вых.
Часто в момент времени t ("сегодня") необходимо знать,
какая цена должна быть в момент времени t + 1 ("завтра"), что-
бы произошло пересечение цены y с какой-либо экспоненци-
ально сглаженной кривой или пересечение двух различных экс-
поненциально сглаженных кривых. Приведем соответствующие
формулы для некоторых наиболее важных случаев.
1) Пересечение цены y и ЕМА 1-го порядка
y t +1 = EMAt(1)
2) Пересечение цены y и ЕМА 2-го порядка
EMAt( 2 ) + ? ? EMAt(1)
yt +1 =
1+?
3) Пересечение цены y и DЕМА
( )
(1 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? EMAt(1) ? EMAt( 2 )
yt +1 =
1 ? ? ? (2 ? ? )
или
( )
(1 ? ? ) ? DEMAt ? ? ? EMAt(1)
yt +1 =
1 ? ? ? (2 ? ? )
4) Пересечение двух ЕМА 1-го порядка различных периодов
(1 ? ? 2 ) ? EMA2t(1) ? (1 ? ?1 ) ? EMA1t(1)
yt +1 =
?1 ? ? 2
160
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


EMA1t(1) характеризуется показательным процентом ? 1 ,
EMA2 t(1) характеризуется показательным процентом ? 2 .
5) Пересечение двух ЕМА 2-го порядка различных периодов
yt +1 = [? 2 ? (1 ? ? 2 ) ? EMA2t(1) + (1 ? ? 2 ) ? EMA2t( 2 ) ?
? ?1 ? (1 ? ?1 ) ? EMA1t(1) ? (1 ? ?1 ) ? EMA1t( 2 ) ] /[?12 ? ? 2 ]
2


EMA1t(1) и EMA1t( 2 ) характеризуются показательным про-
центом ? 1 ,
EMA2 t(1) и EMA2 t( 2 ) характеризуются показательным про-
центом ? 2 .
6) Пересечение ЕМА 1-го порядка (показательный процент ? 1 )
и ЕМА 2-го порядка (показательный процент ? 2 )
yt +1 = [? 2 ? (1 ? ? 2 ) ? EMA2t(1) + (1 ? ? 2 ) ? EMA2t( 2 ) ?
? (1 ? ?1 ) ? EMA1t(1) ] /[?1 ? ? 2 ]
2



11.7. Выбор величины показательного процента для экспо-
ненциальной скользящей средней.
Для того, чтобы оценить, насколько хорошо подобрана ве-
личина показательного процента ? , необходимо рассмотреть
ошибки, возникающие при прогнозировании уровня цены в мо-
мент времени t + 1 ("завтра") значением ЕМА в момент времени
t ("сегодня"). Введем обозначения:
y t - цена в момент времени t ,
-
- ? - показательный процент сглаживания ряда цен,
- Yt - ЕМА для ряда цен, т.е. Yt = ? ? y t + (1 ? ? ) ? Yt ?1 ,
f t - прогноз цены, причем f t +1 = Yt ,
-
et - ошибка прогноза, т.е. et = y t ? f t ,
-
? - показательный процент сглаживания ряда квадратов
-
ошибок прогноза,
Qt - ЕМА для ряда квадратов ошибок прогноза, т.е.
-
Qt = ? ? et2 + (1 ? ? ) ? Qt ?1 .
161
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


Оптимизация величины показательного процента ? - это под-
бор такого его значения, чтобы при фиксированном ? добиться
того, чтобы Qt > min . Обычно величину ? выбирают в пре-
делах от 0.1 до 0.2, что приблизительно соответствует периоду
сглаживания в пределах от 10 до 20.

11.8. Экспоненциальная скользящая средняя с переменным
показательным процентом.
На нестабильных рынках имеет смысл использовать ЕМА с
переменным показательным процентом, который по мере полу-

<< Предыдущая

стр. 28
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>