<< Предыдущая

стр. 29
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

чения новых данных постоянно подстраивается к текущей ры-
ночной ситуации. Введем обозначения:
y t - цена в момент времени t ,
-
? t - переменный показательный процент сглаживания ряда
-
цен,
Yt - ЕМА для ряда цен, т.е. Yt = ? t ? y t + (1 ? ? t ) ? Yt ?1 ,
-
f t - прогноз цены, причем f t +1 = Yt ,
-
et - ошибка прогноза: et = y t ? f t ,
-
? - показательный процент сглаживания ошибок прогноза
-
и модулей ошибок прогноза,
Et - ЕМА ошибок прогноза: Et = ? ? et + (1 ? ? ) ? Et ?1 ,
-
At - ЕМА модулей ошибок : At = ? ? | et | +(1 ? ? ) ? At ?1 .
-
Значение переменного показательного процента в каждый мо-
мент времени вычисляют по формуле ? t =| Et / At | . Величину
? выбирают в пределах от 0.1 до 0.2.

11.9. Дисперсия скользящих средних.
Рассмотрим на качественном уровне вопрос о том, как со-
относится дисперсия значений исходного динамического ряда с
дисперсией скользящей средней этого ряда. Для простоты будем
предполагать, что исходный динамический ряд состоит из слу-
чайных величин, имеющих одинаковую дисперсию ? 2 , причем
в пределах интервала сглаживания средняя величина коэффици
162
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


ента корреляции между значениями исходного ряда в различные
моменты времени равна ? .
В общем виде формула для вычисления любой скользящей
средней имеет вид:
Y = ? wk y k
k
Дисперсия случайной величины, являющейся линейной
комбинацией коррелированных случайных величин равна:

? Y = ? wk2? k2 + 2?? wi wk ? ik ? i? k
2

i>k
k k
Используя допущения о постоянстве дисперсий и коэффициен-
тов корреляций, эту формулу можно упростить:

? Y = ? 2 ? wk2 + 2?? 2 ?? wi wk
2

i >k
k k
Следовательно
? Y2
= ? wk + 2 ? ?? wi wk
2

? 2
k i>k
k
Согласно правилу нормирования весов справедливо равенство

?w + 2?? wi wk = 1
2
k
i >k
k k

Отсюда можно сделать вывод, что так как ? ? 1 , то ? Y ? ? 2 .
2


Дисперсия простой скользящей средней
Формула для простой скользящей средней имеет вид:
1t
? yk
Y=
T k =t ?T +1
Найдем суммы весов, входящие формулу для вычисления
отношения дисперсии скользящей средней к дисперсии
исходного ряда:
t t
1
?w ? (1/ T )
= =
2 2
k
T
k = t ?T +1 k = t ?T +1

T ?1
t t t t

? ? wi wk = 2 ? ? (1/ T ) 2 =
2
T
k = t ?T +1 i = k +1 k = t ?T +1 i = k +1
163
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 11. Сглаживание динамических рядов


?Y 1 T ?1
2
В итоге получаем: 2 = + ? ?
? T T
Дисперсия экспоненциальной скользящей средней
Формула для экспоненциальной скользящей средней имеет вид:
t ?1
Y = ? ? (1 ? ? ) i ? y t ?i + (1 ? ? ) t ? y 0
i =0
Приведем выражения для сумм весов, входящие в формулу для
вычисления отношения дисперсии скользящей средней к
дисперсии исходного ряда:
? 2 ? 2?
t t

? w = (1 ? ? ) + ? ? (1 ? ? ) 2k = (1 ? ? ) 2t
+
2 2t 2

2 ?? 2 ??
k
k =0 k =1

2 ? 2? 2 ? 2?
t t
2? ? ww (1 ? ? ) 2t
=
?
2 ?? 2 ??
i k
k = 0 i = k +1

При достаточно большом t , так как (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) 2t ? 0 .
?Y ? 2 ? 2? 1 T ?1
2
+? = +??
Следовательно 2 =
? 2 ?? 2 ?? T T




164
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


12. АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕС-
КИХ РЯДОВ

12.1. Введение.
Аналитическая аппроксимация динамического ряда какой-
либо моделью с помощью МНК имеет ряд особенностей, кото-
рые накладывают ограничения на ее применение:
- динамический ряд, к которому применяется аппроксимация,
должен быть достаточно длинным,
- применение аналитической аппроксимации эффективно
только в случае, если уровни динамического ряда меняются
достаточно плавно и медленно, то есть ряд должен быть не-
волатильным,
- аналитическая аппроксимация не адаптируется к появлению
новых данных, то есть при появлении новых данных необ-
ходимо пересчитать параметры модели, а иногда возможно
пересмотреть саму модель,
- при расчете параметров модели все эмпирические данные
входят с одинаковым весом, хотя понятно, что более позд-
ние данные имеют большую ценность.
Однако ряды цен активов как правило подвержены значитель-
ным колебаниям, которые аппроксимация не может предвидеть.
Поэтому на практике применительно к таким рядам используют
методы адаптивного моделирования, которые базируются на
экспоненциальном сглаживании динамического ряда (экспонен-
циальной скользящей средней).
Основным преимуществом методов, основанных на экспо-
ненциальном сглаживании, является учет временной ценности
данных и, следовательно, постоянное адаптирование к изме-
няющимся уровням динамического ряда, что имеет решающее
значение при моделировании и прогнозировании волатильных
рядов.

12.2. Адаптивное моделирование линейного тренда с помо-
щью экспоненциальных скользящих средних.
Пусть есть основания полагать, что исходный динамиче-
ский ряд { y t } можно описать линейной функцией

165
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


f (t ) = a ( 0 ) + a (1) ? t . Наличие случайных отклонений приведет к
тому, что связь между рассчитанными по модели значениями f t
и реальными уровнями динамического ряда y t будет выражать-
ся в виде:
y t = f t + et = a ( 0 ) + a (1) ? t + et
где et - это расхождения между моделью и реальными
уровнями. Используя экспоненциальные скользящие средние
вычислим неизвестные параметры (a ( 0 ) , a (1) ) .
Обозначения
Введем следующие обозначения:
- Yt (1) - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда,
Yt ( 2) - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда,
-
E t(1) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели,
-
Et( 2 ) - ЕМА 2-го порядка ошибок модели,
-
? - показательный процент ЕМА.
-
Вычисление Yt (1)
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i yt ?i + (1 ? ? )t y0 =
(1)
Yt
i =0


( )
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i a ( 0 ) + a (1) (t ? i ) + et ?i + (1 ? ? )t (a ( 0 ) + e0 ) =
i =0
t ?1 t ?1
+ a t )? (1 ? ? ) ? ?a ? (1 ? ? ) i + (1 ? ? ) a
= ? (a +
(0) (1) i (1) i t (0)

i =0 i =0

? t ?1 ?
+ ?? ? (1 ? ? )i et ?i + (1 ? ? )t e0 ?
? i =0 ?
Суммы в последней формуле вычисляются как
1 ? (1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) =
i

?
i =0


166
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


(1 ? ? ) ? (1 + ?t ? ? )(1 ? ? ) t
t ?1

? (1 ? ? ) i = i

?2
i =0

При достаточно большом t , так как (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) ? 0 и
t

можно написать приближенные выражения:
t ?1
1
? (1 ? ? )i ? ?

<< Предыдущая

стр. 29
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>