<< Предыдущая

стр. 30
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

i =0

(1 ? ? )
t ?1

? (1 ? ? )i i ? ?2
i =0
(1)
Выражение в квадратных скобках равно E t .
(1)
С учетом всего вышесказанного формула для Yt примет вид:
(1 ? ? )
Yt (1) = a ( 0) + a (1) t ? a (1) + Et(1)
?
или
(1 ? ? )
Yt (1) = f t ? a (1) + Et(1)
?
(1)
Очевидно, что между ЕМА 1-го порядка Yt и моделью f t суще-
ствует постоянный сдвиг, равный ? a ? (1 ? ? ) / ? . Величина это-
(1)

го сдвига пока неизвестна, так как она выражается через неизвест-
(1)
ный параметр a .
( 2)
Вычисление Yt
t ?1
= ? ? (1 ? ? ) i Yt (?1i) + (1 ? ? ) t Y0(1) =
( 2)
Yt
i =0

(1 ? ? )
t ?1
? 1?
= ? ? (1 ? ? ) i ? a ( 0) + a (1) (t ? i ) ? a (1) + Et(?)i ? +
?
? ?
i =0

(1 ? ? )
? (?
+ (1 ? ? ) t ? a ( 0) ? a (1) + E01) ?
?
? ?
Дальнейшие выкладки полностью аналогичны тем, которые были
(1)
сделаны при вычислении Yt . Приведем сразу конечный резуль-
тат:
167
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


(1 ? ? )
Yt ( 2 ) = a ( 0 ) + a (1) t ? 2a (1) + Et( 2)
?
или
(1 ? ? )
Yt ( 2 ) = f t ? 2a (1) + Et( 2 )
?
Вычисление параметров линейного тренда
( 0)
, a (1) ) :
Имеем систему уравнений с двумя неизвестными ( a
(1 ? ? )
? (1)
Yt = a ( 0 ) + a (1) t ? a (1) + Et(1)
?
? ?
?
?Y ( 2 ) = a ( 0 ) + a (1) t ? 2a (1) (1 ? ? ) + E ( 2 )
?t ?
t
?
( 0)
, a (1) )
Решая эту систему находим неизвестные параметры ( a
??
[( )]
)( ?
a ( 0 ) = Yt (1) + Yt (1) ? Yt ( 2) ? Et(1) ? Et( 2 ) ? ?1 ? t ? ? Et(1)
? 1?? ?
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2 ) )]
a (1) =
1??
При переносе начала отсчета в точку t получим
( )( )
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2 ) ? 2 Et(1) ? Et( 2)
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2) )]
at(1) =
1??
В разные моменты времени t значения коэффициентов будут
различны. Поэтому в формулах они отмечены соответствующими
моменту времени индексами.
Прогноз уровней динамического ряда
Прогнозное значение динамического ряда в момент времени
t + ? равно f t +? = at( 0 ) + at(1) ? ? .
Замечание
В формулах для вычисления параметров линейной регрессии
(a , at(1) ) присутствуют величины Et(1) и Et( 2 ) , которые являют
( 0)
t


168
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


ся ЕМА от ошибок уравнения регрессии et = y t ? f t , то есть при
( 0) (1)
вычислении ( at , at ) возникает перекрестная ссылка. Поэтому
на первом этапе нужно использовать упрощенные формулы, не
учитывающие скользящих средних ошибок.
Алгоритм вычисления параметров линейного тренда
1) Рассчитать ЕМА 1-го и 2-го порядка исходного ряда:
Yt (1) и Yt ( 2)
2) Вычислить в первом приближении параметры линейного трен-
да:
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2)
?
? (Yt (1) ? Yt ( 2 ) )
at(1) =
1??
3) Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на
? шагов вперед ( ? ? 1 ) согласно уравнению регрессии:
f t +? = at( 0 ) + at(1) ? ?
4) Рассчитать ошибки прогноза:
et = y t ? f t
5) Вычислить ЕМА 1-го и 2-го порядка ошибок прогноза:
Et(1) и Et( 2 )
6) Определить окончательные значения параметров линейного
тренда:
( )( )
at( 0 ) = 2Yt (1) ? Yt ( 2 ) ? 2 Et(1) ? Et( 2)
?
? [(Yt (1) ? Yt ( 2) ) ? (Et(1) ? Et( 2) )]
at(1) =
1??
ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом слу-
чае при расчете параметров линейного тренда нужно остано-
виться на шаге 2 этого алгоритма.

12.3. Адаптивное моделирование параболического тренда с
помощью экспоненциальных скользящих средних.
Пусть исходный динамический ряд { y t } можно описать пара-
болой f (t ) = a + a (1) t + a ( 2 ) t 2 . Наличие случайных отклонений
(0)

169
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов


приведет к тому, что связь между рассчитанными по модели значе-
ниями f t и реальными уровнями динамического ряда y t будет
выражаться в виде:
y t = f t + et = a ( 0 ) + a (1) t + a ( 2) t 2 + et
где et - это расхождения между моделью и реальными уровнями.
Используя экспоненциальные скользящие средние вычислим неиз-
( 0) (1) ( 2)
вестные параметры ( a , a , a ) .

Обозначения
Введем обозначения:
- Yt (1) - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда,
Yt ( 2) - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда,
-
Yt ( 3) - ЕМА 3-го порядка исходного динамического ряда,
-
E t(1) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели,
-
Et( 2 ) - ЕМА 2-го порядка ошибок модели,
-
Et( 3) - ЕМА 3-го порядка ошибок модели,
-
? - показательный процент ЕМА.
-

Вычисление Yt (1) , Yt ( 2 ) и Yt ( 3)
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i yt ?i + (1 ? ? )t y0 =
(1)
Yt
i =0


( )
t ?1
= ? ? (1 ? ? )i a ( 0 ) + a (1) (t ? i ) + a ( 2 ) (t ? i ) 2 + et ?i +
i =0

+ (1 ? ? )t (a ( 0) + e0 )
t ?1 t ?1
Yt (1) = ? (a ( 0 ) + a (1) t + a ( 2 ) t 2 )? (1 ? ? ) i ? ? (a (1) + 2a ( 2 ) t )? (1 ? ? ) i i +
i =0 i =0

? t ?1 ?
t ?1

? (1 ? ? ) i + ?? ? (1 ? ? ) i et ?i + (1 ? ? ) t e0 ?
+? a + (1 ? ? ) a
( 2) i2 t (0)

? i =0 ?
i =0

При достаточно большом t , так как (1 ? ? ) < 1 , то (1 ? ? ) t ? 0 .
Следовательно:
170
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов

t ?1
1
? (1 ? ? )i ? ?
i =0

(1 ? ? )
t ?1

? (1 ? ? ) i ? i

?2
i =0

(1 ? ? )(2 ? ? )
t ?1

? (1 ? ? ) i ?
i2

?3
i =0

Выражение в квадратных скобках равно E t(1) .
С учетом всего вышесказанного формула для Yt (1) примет вид:
Yt (1) = b ( 0) + b (1) t + a ( 2) t 2 + Et(1)
где
1?? (1 ? ? )(2 ? ? )
b ( 0) = a ( 0 ) ? a (1) + a ( 2)
? ?2
1??
b (1) = a (1) ? 2a ( 2)
?
( 2) ( 3)
Расчет Yt и Yt проводятся по той же схеме. Приведем сразу
конечный результат.
Yt ( 2) = c ( 0 ) + c (1) t + a ( 2) t 2 + Et( 2)
где
1?? (1 ? ? )(2 ? ? )
c ( 0 ) = b ( 0 ) ? b (1) + a ( 2)
? ?2
1??
c (1) = b (1) ? 2a ( 2)
?
Yt ( 3) = d ( 0) + d (1) t + a ( 2) t 2 + Et( 3)
где
1?? (1 ? ? )(2 ? ? )
d ( 0) = c ( 0) ? c (1) + a ( 2)
? ?2
1??
d (1) = c (1) ? 2a ( 2 )
?

<< Предыдущая

стр. 30
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>