<< Предыдущая

стр. 41
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Под оптимизацией портфеля, состоящего из произвольного
количества активов, мы будем понимать поиск таких наборов
весов активов, которые обеспечивали бы:
- ожидаемый доход портфеля больший или равный наперед
заданному минимальному значению дохода,
- ожидаемый риск портфеля меньший или равный наперед за-
данному максимальному значению риска.
Следовательно, если предполагаются известными ожидаемые
доходы по каждому из активов, ожидаемые дисперсии (с.к.о.)
дохода по каждому из активов, ковариации (коэффициенты кор

229
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

реляции) между каждой парой различных активов, то задача оп-
тимизации портфеля сводится к тому, чтобы найти такие наборы
весов активов, которые бы удовлетворяли системе
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k
k =1 k =1 i = k +1
N

?w =1
k
k =1
Будем предполагать, что в составе портфеля в качестве од-
ного из активов могут находиться денежные средства, то есть
безрисковый актив, имеющий нулевое ожидание дохода, нуле-
вую дисперсию дохода и нулевой коэффициент корреляции с
любым другим активом, поэтому равенство единице суммы ве-
сов всех активов является строгим.
Ожидаемый доход портфеля и ожидаемая дисперсия портфеля
являются целевыми функциями. Целевые функции определяют за-
дачу которая должна быть решена в процессе оптимизации. В дан-
ном случае задачей является максимизировать линейную функцию
µ y при одновременной минимизации квадратичной функции ? y с
2


учетом заданных ограничений.

15.6. Введение ограничений на состав и веса активов в
портфеле (лимитов).
В постановке задачи по оптимизации портфеля активов,
сделанной в предыдущем параграфе, неявным образом предпо-
лагалось, что:
- портфельный менеджер имеет возможность инвестировать в
любые активы, обращающиеся на рынке, то есть отсутству-
ют ограничения на состав активов в портфеле,
- отсутствуют ограничения на вес отдельного актива в порт-
феле.
Как правило присутствуют оба вида ограничений (лимиты). До-
полним задачу оптимизации введением лимитов, то есть будем
предполагать, что:
230
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

- в формулах для целевых функций присутствуют только раз-
решенные активы,
- вводятся ограничения на вес каждого конкретного актива в
портфеле.
Ограничения на вес любого актива будем вводить как сверху,
так и снизу. На практике низкое ограничение сверху вводят на
потенциально очень доходные, но и очень рискованные активы.
Самые низкие ограничения сверху вводят на веса активов, инве-
стиции в которые с высокой вероятностью могут быть потеряны
полностью. В лучшем случае эти активы могут принести доход
за пределами горизонта инвестирования. Ограничение сверху
не может превышать 1. Ненулевые ограничения снизу вводятся
как правило для создания в составе портфеля "подушки безо-
пасности" из низкодоходных, но и низкорискованных активов.
Ограничение снизу не может быть меньше 0. Кроме того, и на-
бор ограничений сверху, и набор ограничений снизу имеют свои
правила нормирования.
Итак, ограничения на веса активов в портфеле вводятся сле-
дующим образом:
w(min) k ? wk ? w(max)k
0 ? w(min) k < 1 0 < w(max) k ? 1
N N

?w ?w
?1 ?1
(min) k (max) k
k =1 k =1


15.7. Численное решение задачи оптимизации портфеля с
учетом лимитов методом Монте-Карло.
Итак, задачу об оптимизации портфеля активов с учетом
лимитов можно сформулировать в виде:
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k
k =1 k =1 i = k +1
N
S = ? wk = 1
k =1
231
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

w(min) k ? wk ? w(max) k
0 ? w(min) k < 1 0 < w(max) k ? 1
N N
S(min) = ? w(min) k ? 1 S(max) = ? w(max) k ? 1
k =1 k =1
В этой задаче искомыми величинами являются наборы ве-
сов активов {wk } , удовлетворяющие всем уравнениям и нера-
венствам. Решить такую задачу оптимизации аналитическими
методами достаточно трудно, особенно в случае большого ко-
личества активов. Поэтому есть смысл попробовать найти ее
решение численно методом Монте-Карло, генерируя случайным
образом на компьютере удовлетворяющие ограничениям набо-
ры весов активов и проверяя эти наборы на соответствие целе-
вым функциям.
Разумеется, в конечной последовательности розыгрышей
(генераций наборов весов) скорее всего не удастся найти все
решения задачи оптимизации. Однако, каждое найденное реше-
ние будет удовлетворять всем условиям задачи, то есть порт-
фель, построенный с помощью этого набора весов будет "доста-
точно оптимальным". Если решений будет несколько, из них
можно выбрать то, при котором отношение ожидаемого дохода
портфеля к ожидаемому риску будет максимальным.
Алгоритм решения задачи оптимизации
1) Задаем входные данные
1.1) Набор ожидаемых доходов по активам:
{µ k }, k = 1,..., N
1.2) Набор среднеквадратичных отклонений активов:
{? k }, k = 1,..., N
1.3) Набор коэффициентов корреляций между различны-
ми активами
{? ik }
k = 1,..., N
i = k + 1,..., N
Минимально ожидаемый доход портфеля: µ min
1.4)
232
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

Максимально ожидаемаый риск портфеля: ? max
1.5)
1.6) Набор ограничений снизу на веса активов:
{w(min) k }, k = 1,..., N
1.7) Набор ограничений сверху на веса активов:
{w(max) k }, k = 1,..., N
1.8) Количество розыгрышей (генераций наборов весов):
М
1.9) Точность нормирования (малое положительное чис-
ло): ?
2) Задаем стартовое значение номера текущего розыгрыша
m=0
3) Номер текущего розыгрыша m = m + 1
4) Разыгрываем случайным образом набор весов, соответст-
вующий набору ограничений на веса активов
4.1) Задаем начальные минимально возможные значе-
ния весов
wk = w(min) k , k = 1,..., N
4.2) Вычисляем текущую сумму весов
N
S = ? wk
k =1
k =0
4.3)
k = k +1
4.4)
4.5) Разыгрываем приращение веса к-го актива
dW = СЛУЧАЙНОЕ _ ЧИСЛО(0,
МИНИМУМ (1 ? S , w(max) k ? wk ))
4.6) Вычисляем текущий вес к-го актива
wk = wk + dW
4.7) Вычисляем текущую сумму весов
S = S + dW
4.8) Если k<N, то переходим на шаг 4.4
4.9) Если не соблюдается точность нормирования, то
есть (1 ? S ) > ? , то переходим на шаг 4.3


233
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

5) Проверяем, соответствует ли портфель, составленный из полу-
ченных на шаге 4 весов, ограничениям на минимально ожидае-
мый доход и максимально ожидаемый риск портфеля
N
µ y = ? wk µ k ? µ min
k =1
N N N
? = ? w ? + 2? ? wi wk ?ik? i? k ? ? max
2 2 2 2
y k k
k =1 k =1 i = k +1
Если решение соответствует этим неравенствам, то фиксируем
его, то есть запоминаем текущий набор весов и соответствую-
щие ему ожидаемый доход, ожидаемый риск, отношение дохо-
да к риску. Текущий розыгрыш за номером m завершен.
6) Если номер текущего розыгрыша m меньше, чем общее число
розыгрышей М, то переходим на шаг 3
7) После того, как сделаны все розыгрыши (то есть m=М), среди
всех найденных решений выбираем то, при котором отношение
ожидаемого дохода портфеля к ожидаемому риску портфеля
будет максимальным.

Если не было найдено ни одного решения, то необходимо:
- либо увеличить количество розыгрышей,
- либо ослабить ограничения по целевым функциям, то есть
уменьшить ожидаемый доход и/или увеличить ожидаемый риск
портфеля,
- либо пересмотреть ограничения на веса активов в портфеле в
сторону расширения интервалов разрешенных значений весов.
Пример решения задачи оптимизации
Рассмотрим портфель, состоящий из трех активов:
- 1-й актив
ожидаемый доход 10%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 15%
отношение доход/риск = 0.67
минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
- 2-й актив
ожидаемый доход 13%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 20%
отношение доход/риск = 0.65
234
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 15. Управление риском портфеля на основе анализа ковариаций ак-
тивов

минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
- 3-й актив
ожидаемый доход 18%
с.к.о. ожидаемого дохода (риск) 30%
отношение доход/риск = 0.60
минимальный вес в портфеле 0
максимальный вес в портфеле 0.50
Коэффициенты корреляции между активами:
- 1-й и 2-й активы: ?12 = 0.5
?13 = ?0.5
- 1-й и 3-й активы:
2-й и 3-й активы: ? 23 = 0
-
Зададим минимально ожидаемый доход портфеля 15%, макси-
мальный ожидаемый риск портфеля 18%, количество розыгрышей
весов активов 10000.
Тогда решение задачи оптимизации по приведенному в этом
параграфе алгоритму с выбором среди полученных решений того,
которое обеспечивает максимальное отношение ожидаемого дохо-
да к ожидаемому риску следующее:
- вес 1-го актива w1 = 0.1141
вес 2-го актива w2 = 0.3859
-
вес 3-го актива w3 = 0.5000
-

<< Предыдущая

стр. 41
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>