<< Предыдущая

стр. 5
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ским ожиданием и единичной дисперсией и среднеквадратич-
ным отклонением. Величина t называется стандартизованной
(нормированной) случайной величиной.

1.13. Общие свойства случайных величин с произвольным
законом распределения.
Независимо от закона распределения случайной величины
существуют общие свойства распределений вероятностей. К
ним можно отнести:
- неравенства, определяющие граничные значения
вероятности попадания случайной величины в заданный
интервал,
- законы больших чисел, определяющие свойства достаточно
большого количества случайных величин.
27
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 1. Вероятностное описание случайных величин


Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева определяет граничное значение
вероятности попадания случайной величины x с произвольным
законом распределения, имеющей математическое ожидание µ
и дисперсию ? 2 , в заданный интервал вокруг математического
ожидания:
1 1
P{| x ? µ | ? ?? } ? P{| x ? µ | ? ?? } ? 1 ?
?2 ?2
Иными словами, вероятность того, что в некотором
испытании случайная величина x окажется за пределами
интервала, длина которого прямо пропорциональна с.к.о.,
убывает обратно пропорционально квадрату коэффициента
пропорциональности ? .
Неравенство Чебышева определяет важность
среднеквадратичного отклонения как характеристики рассеяния
случайной величины относительно центра распределения.
Подставив в неравенство Чебышева несколько конкретных
значений величины ? , получим, что для любых законов
распределения с математическим ожиданием µ и дисперсией
? 2 справедливо:
? = 1 : P{| x ? µ | ? ? } ? 1 P{| x ? µ | ? ? } ? 0
? = 2 : P{| x ? µ | ? 2? } ? 1 / 4 P{| x ? µ | ? 2? } ? 3 / 4
? = 3 : P{| x ? µ | ? 3? } ? 1 / 9 P{| x ? µ | ? 3? } ? 8 / 9
Законы больших чисел
Невозможно предвидеть, какое значение примет случайная
величина в результате отдельного испытания. Однако, при
достаточно большом количестве испытаний оценки по выборке
параметров распределения случайных величин в достаточной
степени утрачивают случайный характер. То же самое можно
сказать и в отношении суммы большого количества случайных
величин. При увеличении числа слагаемых колебания
отдельных величин взаимно сглаживаются и закон
распределения суммы приближается к нормальному


28
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 1. Вероятностное описание случайных величин


распределению. Различные утверждения, относящиеся к этим
предельным случаям носят названия законов больших чисел.
Теорема Бернулли
Если в последовательности из N независимых испытаний
вероятность p некоторого случайного события остается
постоянной, то вероятность того, что отклонение эмпирической
частоты этого события M / N от p не превзойдет заранее
заданное число ? > 0 стремится к единице:

P? M ? p < ? ? = 1
lim ? N ?
? ?
N >?

Теорема Чебышева
Вероятность того, что отклонение среднего
арифметического N независимых случайных величин с
конечными дисперсиями от среднего арифметического их
математических ожиданий не превзойдет заранее заданное
число ? > 0 стремится к единице
?1 N ?
1N
lim P ?? xk ? ? µ k < ? ? = 1
? N k =1 N k =1 ?
N >?

Из теоремы Чебышева следует, что с увеличением числа N
среднее арифметическое случайных величин постепенно
утрачивает характер случайной величины и все более стремится
к константе.
Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
Распределение суммы N независимых случайных величин
с конечными дисперсиями и с произвольными законами
распределения стремится к нормальному распределению при
N > ? , если вклад отдельных слагаемых в сумму мал.
Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение
нормального закона распределения тем, что рассеяние
случайных величин вызывается множеством случайных
факторов, влияние каждого из которых ничтожно мало.


29
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.1. Введение.
В этой главе мы рассмотрим наиболее употребительные за-
коны распределения случайных величин, а также основные па-
раметры этих законов. Будут даны методы поиска функции рас-
пределения вероятности случайной величины в случае неинтег-
рируемой плотности вероятности, а также алгоритмы получения
последовательностей случайных величин с произвольным зако-
ном распределения, что необходимо при моделировании слу-
чайных процессов. Особое внимание будет уделено обобщенно-
му экспоненциальному распределению, которое наиболее при-
годно при изучении ценообразования активов.

2.2. Биномиальное распределение.
Пусть некоторое событие может иметь только два исхода, ко-
торые назовем "успех" и "неудача", при этом вероятность успеха
равна p , вероятность неудачи равна (1 ? p ) .
Если проводится серия из N независимых испытаний, то ве-
роятность того, что успех в данной серии повторится x раз, а не-
удача ( N ? x) раз, будет равна произведению числа способов, ко-
торыми можно выбрать x из N , на вероятность того, что сначала
x раз повторится успех, а затем ( N ? x) раз повторится неудача.
Следовательно, вероятность x успехов в N независимых испыта-
ниях равна:
N!
p x (1 ? p) N ? x
p ( x) = x = 0,1,..., N
x!( N ? x)!
Данная формула описывает биномиальный закон распределения
случайной величины. Из формулы непосредственно следует, что
биномиальный закон полностью характеризуется двумя парамет-
рами: количеством испытаний N и вероятностью успеха p . На
рисунке приведена плотность биномиального распределения при
N = 10 и различных значениях вероятности успеха p . Распреде-
ление является дискретным, поэтому точки соединены на графике
лишь для наглядности.
30
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин



0.50
p = 0.08
0.45
p = 0.5
0.40
p = 0.75
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Математическое ожидание и дисперсия биномиального рас-
пределения составляют:
µ = Np
D = Np (1 ? p)
Третий центральный момент данного распределения равен
m3 = Np (1 ? p )(1 ? 2 p)
Следовательно, коэффициент асимметрии составляет
1? 2 p
?=
Np (1 ? p )
Знак коэффициент асимметрии зависит от вероятности успеха p :
? < 0, если p > 0.5
? = 0, если p = 0.5
? > 0, если p < 0.5
Если вероятность успеха p фиксирована, то коэффициент асим-
метрии ? > 0 при количестве испытаний N > ? для любой p .
Четвертый центральный момент данного распределения равен
m4 = Np (1 ? p )[1 + 3( N ? 2) p (1 ? p )] . Следовательно, эксцесс
составляет
1 + 3( N ? 2) p(1 ? p)
?=
Np (1 ? p)


31
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


При количестве испытаний N > ? эксцесс биномиального рас-
пределения стремится к числу три, то есть к эксцессу нормального
распределения.

2.3. Распределение Пуассона.
Распределение Пуассона называют еще распределением ред-
ких событий. Ему подчиняются случайные величины, вероятность
появления которых в отдельном испытании мала и постоянна.
Распределение Пуассона является предельным случаем бино-
миального распределения. Его можно применить, когда количество
испытаний N достаточно велико, а вероятность успеха p мала,
но так что произведение µ = Np - это некоторое конечное
постоянное число.
Если мы обозначим математическое ожидание количества
успехов за некоторый промежуток времени (или за некоторое
количество испытаний) как µ , то вероятность получить x успехов
за этот промежуток времени подчиняется распределению
Пуассона:
e?µ µ x
p ( x) = x = 0,1,2,...
x!
Данное распределение зависит от единственного параметра µ ,
который может принимать конечные положительные значения.
Напомним, что величина x - это количество успехов, а потому
дискретна.
Из формулы для распределения Пуассона непосредственно
p( x + 1) / p ( x) = µ /( x + 1) . Если µ < 1 , то
следует, что
p( x + 1) < p( x) при любом x и максимальное значение p(x)
достигается при x = 0 . Если же µ > 1 , то p (x) сначала растет с
увеличением x , достигая максимума при x ? µ , а затем убывает.
Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуас-
сона равны µ .
равен µ .
m3
Третий центральный момент также
Следовательно, коэффициент асимметрии составляет
? = 1 / µ , то есть распределение Пуассона имеет положитель-
ную асимметрию. Асимметрия стремится к нулю при µ > ? .
32
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


Четвертый центральный момент m4 = 3µ + µ . Следовательно,
2


? = 3 + 1 / µ . При µ > ? эксцесс
эксцесс составляет
распределения Пуассона стремится к числу три, то есть к эксцессу
нормального распределения.
На рисунке приведена плотность распределения Пуассона при раз-
личных значениях математического ожидания. Распределение яв-
ляется дискретным, поэтому точки соединены на графике лишь для
наглядности.

0.50
0.45 мат. ожидание = 0.8
0.40
мат. ожидание = 2
0.35
мат. ожидание = 5
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



<< Предыдущая

стр. 5
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>