<< Предыдущая

стр. 6
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2.4. Равномерное распределение.
Если все значения непрерывной случайной величины в не-
котором интервале от a до b , равновероятны, то аналитически
это можно записать в виде:
p ( x) = 0 x < a, x > b
p ( x) = 1 /(b ? a) a? x?b
Распределение с такой плотностью вероятности называется
равномерным (равновероятным, прямоугольным). Данное
распределение часто используют для качественного анализа
статистических процессов.
Математическое ожидание и дисперсия равномерного распре-
деления составляют:
µ = ( a + b) / 2
D = (b ? a) 2 / 12
33
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


Медиана распределения совпадает с математическим
ожиданием, моды не существует.
Коэффициент асимметрии и эксцесс равны: ? = 0, ? = 1.8 .
Для равномерного распределения можно в явном виде найти
функцию распределения вероятностей:
F ( x) = 0 x<a
F ( x) = ( x ? a) /(b ? a) a? x?b
F ( x) = 1 x>b
Встроенный в компьютер генератор псевдослучайных чисел
выдает числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до
1. С их помощью можно моделировать случайные процессы с
произвольной функцией распределения. Подробнее о том, как
это делается, будет рассказано далее в этой главе.

2.5. Нормальное распределение.
Одним из важнейших распределений, встречающихся в ста-
тистике, является нормальное распределение (распределение
Гаусса), относящееся к классу экспоненциальных. Плотность
вероятности этого распределения:
? ( x ? µ )2 ?
1
exp? ? ?
p ( x) = ? ? < x < +?
? 2? 2 ?
2? ? ? ?
Распределение имеет вид симметричной колоколообразной кри-
вой, распространяющейся по всей числовой оси. Распределение
Гаусса зависит от двух параметров: ( µ , ? ) .
Математическое ожидание, медиана и мода данного рас-
пределения равны µ , а дисперсия ? 2 . Кривая плотности веро-
ятности симметрична относительно математического ожидания.
Коэффициент асимметрии и эксцесс равны ? = 0, ? = 3 .
Часто плотность нормального распределения записывают не
как функцию переменной х, а как функцию переменной
z = ( x ? µ ) / ? , которая имеет нулевое математическое
ожидание и дисперсию, равную 1. Плотность вероятности при
этом равна:


34
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


? z2 ?
1
exp? ? ?
p( z ) = ? 2?
2? ? ?
Такое распределение называют стандартным нормальным рас-
пределением.
Плотность вероятности распределения Гаусса нельзя проин-
тегрировать для получения интегральной функции распределе-
ния вероятностей F(x) в явном виде. F(x) можно найти с исполь-
зованием:
- численных методов интегрирования функции р(х),
- путем разложения функции р(х) в ряд с последующим ана-
литическим интегрированием этого ряда.
Широкое применение распределения Гаусса в статистике
основано на доказанном в теории вероятностей утверждении,
что случайная величина, являющаяся суммой большого числа
независимых случайных величин с конечными дисперсиями и с
практически произвольными законами распределения, распре-
делена нормально.
То есть условием использования нормального распределе-
ния для описания случайной величины являются ситуации, ко-
гда изучаемую случайную величину можно представить в виде
суммы достаточно большого количества независимых слагае-
мых, каждое из которых мало влияет на сумму.
Распределение Гаусса можно использовать в качестве пер-
вого приближения для описания, например, логарифмов отно-
сительного изменения цен активов. Однако, только в качестве
первого приближения, потому что на практике распределения
этих величин отличаются от нормального, то есть имеют как
правило более ярко выраженный пик и более "тяжелые" хвосты.
Следовательно эти распределения являются островершинными
и имеют эксцесс, превышающий три (иногда очень существен-
но).
Вычисление нормального распределения с помощью Microsoft
Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
нормального распределения. Все используемые функции можно
найти в разделе "Статистические функции" электронных таблиц
Microsoft Excel.
35
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин



Пусть случайная величина X подчиняется нормальному
распределению с параметрами ( µ , ? ) .
1) Плотность распределения в точке X = x :
НОРМРАСП ( х, µ , ? , ложь)
2) Вероятность того, что X ? x :
НОРМРАСП ( х, µ , ? , истина)
3) Вероятность того, что X > x :
1 ? НОРМРАСП ( х, µ , ? , истина)
4) Если известна вероятность того, что X ? x , то есть
P = P{ X ? x} , то соответствующее значение x можно вы-
числить как:
x = НОРМОБР( P, µ , ? )
5) Для приведения нормально распределенной случайной ве-
личины к стандартному виду, то есть для вычисления
z = ( x ? µ ) / ? используется функция:
z = НОРМАЛИЗАЦИЯ ( х, µ , ? )
Пусть случайная величина Z подчиняется стандартному
нормальному распределению ( µ = 0, ? = 1) .
1) Вероятность того, что Z ? z :
НОРМСТРАСП (z )
2) Вероятность того, что Z > z :
1 ? НОРМСТРАСП ( z )
3) Если известна вероятность того, что Z ? z , то есть
P = P{Z ? z} , то соответствующее значение z можно вы-
числить как:
z = НОРМCTОБР(P)
4) Вероятность того, что ? z ? Z ? z :
НОРМСТРАСП ( z ) ? НОРМСТРАСП (? z )
5) Если известна вероятность того, что ? z ? Z ? z , то есть
P = P{? z ? Z ? z} , то соответствующее значение z мож-
но вычислить как:
z = НОРМCTОБР ((1 + P ) / 2 ) или
36
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


z = ? НОРМCTОБР ((1 ? P) / 2 )

2.6. Логнормальное распределение.
Пусть х - нормально распределенная случайная величина с
плотностью распределения:
? (x ? µ )2 ?
1
exp? ? ?
p x ( x) = ? ? < x < +?
? 2? 2 ?
2? ? ? ?
Тогда случайная величина у, связанная с величиной х соотноше-
нием y ( x) = e x будет распределена логнормально. Заметим, что
у может принимать значения только от 0 до +?. Найдем основ-
ные параметры логнормального распределения.
Обозначим неизвестную пока плотность логнормального
распределения через p y ( y ) , которую определим исходя из ра-
венства дифференциалов:
p y ( y )dy = p x ( x)dx ? p y ( y ) = p x [ x( y )] ? dx / dy
Так как x( y ) = ln( y ) , и dx / dy = 1 / y , для плотности
вероятности логнормального распределения получается
следующая формула:
? (ln( y ) ? µ ) 2 ?
1
exp? ? ?
p y ( y) = 0 < y < +?
? ?
2?
2? ?y
2
? ?
Параметры логнормального распределения выражаются через
параметры соответствующего распределения Гаусса следующим
образом:
µ y = exp( µ + ? 2 / 2)
D y = exp(2µ + ? 2 ) ? (exp(? 2 ) ? 1)
Me = exp( µ )
Mo = exp( µ ? ? 2 )
Распределение имеет крутой левый и пологий правый спад, то
есть имеет положительную асимметрию.
Как и в случае распределения Гаусса, плотность вероятно-
сти логнормального распределения нельзя проинтегрировать

37
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


для получения функции распределения вероятностей в явном
виде.
Однако, значения интегральной функции логнормального
распределения можно найти, используя значения интегральной
функции распределения Гаусса, так как они связаны соотноше-
нием Fy ( y ) = Fx [ln( y )] , или в явном виде:
y ln( y )

?p ? p (t )dt
(t )dt =
y x
??
0
Логнормальное распределение можно использовать в каче-
стве первого приближения для описания относительного изме-
нения цен активов, однако, с теми ограничениями, о которых
было сказано при обсуждении распределения Гаусса.

2.7. Распределение Лапласа.
Еще одним типом экспоненциального распределения, наря-
ду с нормальным, является распределение Лапласа, плотность
которого выражается формулой:
? x?µ ?
1
exp? ? ?
p ( x) = ? ? < x < +?
? ? 2?
2? ? ?
Как и распределение Гаусса, распределение Лапласа:
- зависит от двух параметров ( µ , ? ) ,
- математическое ожидание, медиана и мода данного рас-
пределения равны µ , а дисперсия ? 2 ,
- кривая плотности вероятности симметрична относительно
математического ожидания, коэффициент асимметрии ра-
вен нулю.
Однако эксцесс распределения ? = 6 , то есть вдвое превышает
эксцесс нормального распределения. Следовательно, распреде-
ление Лапласа островершинное, то есть имеет высокий пик и
"тяжелые" хвосты.
Кроме того, плотность данного распределения интегрируе-
ма, и функция распределения может быть получена в явном ви-
де:


38
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


? x?µ ?
F ( x) = 0.5 ? exp? ? ? x?µ
? ? 2?
? ?
? x?µ ?
F ( x) = 1 ? 0.5 ? exp? ? ? x>µ
? ? 2?
? ?
Распределение Лапласа можно использовать для описания
логарифмов относительного изменения цен активов, зачастую с
большим успехом, чем нормальное распределение. Однако, с
еще большей точностью, реальные распределения вероятностей
описывает обобщенное экспоненциальное распределение, кото-
рое будет также рассмотрено в этой главе.

2.8. Распределение Коши.
Распределение Коши является одним из простейших зако-
нов распределения. Его плотность выражается формулой:
1
p ( x) =
b? (1 + [( x ? a) / b]2 )
Плотность распределения Коши имеет вид симметричной
относительно точки x = a кривой, визуально очень похожей на
плотность нормального распределения.
Кроме того р(х) интегрируема, поэтому функцию распреде-
ления Коши можно записать в явном виде и не прибегать при ее
вычислении к помощи численных методов:

<< Предыдущая

стр. 6
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>