<< Предыдущая

стр. 8
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p(t ) = 0 t >R
t

? p( z )dz
F (t ) =
?R
где величину 2R назовем размахом распределения.
Очевидно, интервал от - R до R можно трактовать как
интерквантильный промежуток с некоторой близкой к единице
доверительной вероятностью. Для обобщенного
экспоненциального распределения половину размаха можно задать
эмпирически полученной формулой:
R = 3 + 4.788 ? (? ? 1.8) 2 / 3
После введения понятия размаха распределения, все готово для на-
писания алгоритма решения задачи:
1) Задаем входные данные: показатель степени распределения ? и
количество интервалов разбиения N (целое четное число).
2) Вычисляем эксцесс распределения
? = Г (1 / ? ) Г (5 / ? ) /[ Г (3 / ? )]2
3) Вычисляем половину размаха распределения
R = 3 + 4.788 ? (? ? 1.8) 2 / 3
4) Вычисляем минимальное и максимальное значение пере-
менной t
Tmin = ? R
Tmax = R
5) Вычисляем массив узлов на оси t
Tk = Tmin + (Tmax ? Tmin )k / N k = 0,..., N
6) Вычисляем номер центра распределения
M = N /2
7) Вычисляем массив значений плотности вероятности для k
от 0 до М
( )
? ?
exp ? Tk ?
pk = k = 1,..., M
2 Г (1 / ? )?
p0 = 0
45
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


8) Вычисляем вспомогательный массив, в котором величины p k
суммируются нарастающим итогом для k от 0 до М
k
S k = ? pi k = 0,..., M
i =0
9) Так как значение интегральной функции в центре распределе-
ния (то есть в узле с номером М) равно 0.5, то можно вычис-
лить левую часть массива, в котором содержится функция рас-
пределения
Fk = 0.5 ? S k / S M k = 0,..., M
10) Так как распределение симметрично относительно центра, вы-
числяем оставшуюся часть массива, в котором содержится
функция распределения
Fk = 1 ? FN ?k k = M + 1,..., N
Итак, мы получили массив значений случайной величины {Tk } и
соответствующий ему массив интегральной функции
распределения {Fk } , то есть задали функцию распределения в
табличном виде.
Для произвольного значения переменной t значение инте-
гральной функции F(t) может быть определено по формулам:
t < T0 : F (t ) = 0
Tk ? t < Tk +1 k = 0,..., N ? 1 :
F (t ) = Fk + (t ? Tk )( Fk +1 ? Fk ) /(Tk +1 ? Tk )
t ? TN : F (t ) = 1
Напомним, что переменная t имеет нулевое математическое
ожидание и единичную дисперсию. Переменная х с произвольными
математическим ожиданием и дисперсией связана с переменной t
соотношением x = µ + ? t .

2.12. Поиск интегральной функции распределения путем
разложения плотности распределения в ряд с последующим
аналитическим интегрированием этого ряда.
Задачу, поставленную в предыдущем параграфе, можно
решить путем разложения стоящей под знаком интеграла
функции в ряд Тейлора с последующим интегрированием этого
46
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


ряда. Итак, нам нужно проинтегрировать обобщенное экспонен-
циальное распределение ( µ = 0,? = 1) :

( )
? ?
exp ? t ?
p (t ) = ? ? < t < +?
2 Г (1 / ? )?
t

? p( z )dz
F (t ) =
??
Так как плотность распределения симметрична относитель-
но центра, для нахождения интегральной функции распределе-
ния достаточно вычислить

? exp(? (z / ? ) )dz =
?
t t
q(t ) = ? p( z )dz =
?

2 Г (1 / ? )?
0 0


( )
t/?
? ?
t
( )
? exp ? (z / ? ) d ( z / ? ) = ?
?
exp ? y ? dy
=
2 Г (1 / ? ) 0 2 Г (1 / ? ) 0
Функцию под знаком интеграла можно разложить в ряд Тейлора
следующим образом:
y ?k
( )
?
= ? (?1)
?
exp ? y k

k!
k =0
Подставив это разложение под знак интеграла и проведя интег-
рирование, получим
(?1) k (t / ? )?k +1
? ?

?
q (t ) = ?
2 Г (1 / ? ) k = 0 k! ?k + 1
Практически, суммирование производится не до ?, а до некото-
рого k=N, такого, что
1 (t / ? )?N +1
??
?
N ! ?N + 1
где ? - это некоторое наперед заданное малое положительное
число (точность вычисления). То есть мы должны вычислить
частичную сумму ряда.
Функция распределения F (t ) связана с q (t ) соотношениями:
t ? 0 : F (t ) = 0.5 + q(t )
t < 0 : F (t ) = 0.5 ? q(| t |)
47
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


2.13. Моделирование с помощью равномерного распределе-
ния случайных чисел с произвольной плотностью распреде-
ления.
Встроенный в компьютер генератор псевдослучайных чисел
выдает числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1.
Так как любая интегральная функция распределения F(x) имеет
область значений от 0 до 1, то с помощью равномерного
распределения можно получить случайное число с произвольным
законом распределения путем решения обратной задачи, то есть
восстанавливая по известному значению F(x) значение х. В
качестве примера будем моделировать случайную величину,
подчиняющуюся обобщенному экспоненциальному
распределению. Для решения этой задачи будем использовать
результаты, полученные в двух предыдущих параграфах.
Постановка задачи
Дано случайное число z, равномерно распределенное на
интервале от 0 до 1.
Требуется получить число x, подчиняющееся обобщенному
экспоненциальному распределению, с параметрами ( µ ,? ,? ) .
Решение путем предварительного численного интегрирования
плотности распределения, то есть задания функции распреде-
ления в табличном виде.
Для получения искомого числа x, найдем сначала
вспомогательное число t, которое подчиняется обобщенному экс-
поненциальному распределению, с параметрами ( µ = 0,? = 1) .
Для этого по методике, изложенной в параграфе 2.11, получим
массив значений случайной величины {Tk } и соответствующий
ему массив интегральной функции распределения {Fk } , то есть
зададим функцию распределения в табличном виде. Для произ-
вольного значения переменной t значение интегральной функции
F(t) может быть определено как:
t < T0 : F ( t ) = 0
Tk ? t < Tk +1 k = 0 ,..., N ? 1 :
F ( t ) = Fk + ( t ? Tk )( Fk +1 ? Fk ) /( Tk +1 ? Tk )
t ? TN : F (t ) = 1
48
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


На интервале T0 ? t ? TN величины t и F связаны линейно.
Если принять, что величина t не может быть меньше T0 и не
может быть больше TN , то можно получить обратную
зависимость t (F ) в виде:
F = 0: t ( F ) = T0
F = 1 : t ( F ) = TN
Fk ? F < Fk +1 k = 0,..., N ? 1 :
t ( F ) = Tk + ( F ? Fk )(Tk +1 ? Tk ) /( Fk +1 ? Fk )
Если считать, что полученная с помощью генератора
случайных чисел величина z является значением функции рас-
пределения F в некоторой точке t, то величина t может быть
найдена по приведенным выше формулам, где вместо перемен-
ной F подставлена величина z. Искомое число х вычисляется как
x = µ +? t .
Решение методом итераций, с использованием вычисления
функции распределения через ряд Тейлора.
Как и в предыдущем случае, для получения искомого числа x,
найдем сначала вспомогательное число t, которое подчиняется
обобщенному экспоненциальному распределению, с параметрами
( µ = 0,? = 1) .
В параграфе 2.12 было показано, что можно вычислить функ-
цию распределения F(t) в точке t с требуемой точностью как
частичную сумму соответствующего ряда. Теперь нам нужно
решить обратную задачу, то есть по известному значению F(t)
найти неизвестное значение t. Точнее, в соответствии с условиями
поставленной задачи, мы должны решить относительно t уравнение
F (t ) ? z = 0 .
Для численного решения этого уравнения мы используем ме-
тод деления пополам. Для того, чтобы приступить к решению этим
методом, необходимо задать конечный интервал, в котором должен
лежать корень уравнения. В качестве области возможных значений
t выберем интервал от -R до R, где 2R - это рассмотренный выше
размах распределения. Считаем, что F ( ? R ) = 0, F ( R ) = 1 .
Численное решение уравнения F (t ) ? z = 0 с заданной
точностью означает, что достаточно найти такое t, при котором
49
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


F (t ) ? z ? ? , где ? - это некоторое наперед заданное малое поло-
жительное число (точность вычисления).
Решение состоит в последовательном повторении шагов
(итераций), до тех пор, пока не будет достигнута необходимая
точность:
1) Задаем начальные величины граничных значений переменных t
иF
Tmin = ? R Fmin = 0
Tmax = R Fmax = 1
2) Вычисляем текущее значение t как среднее значение между Tmin
и Tmax
t = (Tmin + Tmax ) / 2
3) Вычисляем по методике из параграфа 2.12 величину F(t)
F ? z ? ? . Если неравенство
4) Проверяем условие
справедливо, то необходимая точность решения достигнута и
текущее значение t является решением.
5) В случае F ? z > ? изменяем значения величин Tmin, Tmax,
Fmin, Fmax:
- если F < z , то
Tmin = t , Fmin = F
Tmax , Fmax остаются без изменения
если F > z , то
-
Tmin , Fmin остаются без изменения
Tmax = t , Fmax = F
6) Возвращаемся на шаг 2.
После того, как необходимая точность вычисления величины t дос-
тигнута, искомое число x находится как x = µ + ? t . На практике
чаще всего необходимо получить не отдельное случайное число x
с заданным законом распределения, а последовательность таких
чисел {xk }, k = 0,..., N . Это необходимо, как правило, при моде-
лировании случайных процессов. В этом случае описанные в дан-
ном параграфе процедуры нужно повторить соответствующее ко-
личество раз.

<< Предыдущая

стр. 8
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>