<< Предыдущая

стр. 9
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


50
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


ПРИЛОЖЕНИЕ 2.1. Гамма-функция Эйлера.
Гамма-функция, обобщающая понятие факториала, является
одной из важнейших специальных функций. Для произвольного
положительного x , значение Г (x) задается формулой:
+?
Г ( x) = ? e ?t t x ?1dt x>0
0
В этом приложении мы рассмотрим алгоритм вычисления гам-
ма-функции. Данный алгоритм основан на следующем ее свой-
стве: Г ( х + 1) = х ? Г ( х) для любого x > 0 . Это свойство по-
зволяет свести вычисление Г (x) от любого x к вычислению
гамма-функции на интервале 1 ? x ? 2 , на котором ее можно
аппроксимировать полиномом пятой степени:
Г ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a5 x 5
a 0 = 3.69764701987851
a1 = -6.60156185480728
a 2 = 6.37763107208549
a3 = -3.26329362313704
a 4 = 0.885309940132118
a5 = -0.0957403771932692
Область значений величины x > 0 можно разбить на три
интервала, на каждом из которых Г (x) вычисляется
следующим образом:
1) 1 ? x ? 2
В этом случае, Г (x) непосредственно вычисляется с помо-
щью приведенного выше полинома.
2) 0 < x < 1
В этом случае, Г ( x) = Г ( x + 1) / x , и так как 1 < x + 1 < 2 ,
то Г ( x + 1) вычисляется с помощью полинома.
3) x > 2
В этом случае величину х можно представить в виде
x = N + z , где
51
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 2. Аналитические законы распределения случайных величин


N - это целая часть x ( N ? 2 ),
z - это дробная часть x ( 0 < z < 1 ).
Тогда
Г ( х) ? Г ( N + z ) = ( N + z ? 1) Г ( N + z ? 1) = ... =
N ?1
= Г (1 + z )? ( N + z ? k )
k =1
и так как 1 < z + 1 < 2 , то Г ( z + 1) вычисляется с помощью
полинома.
Вычисление гамма-функции с помощью Microsoft Excel
В Microsoft Excel гамма-функцию можно вычислить, используя
следующую комбинацию функций:
Г ( х) = ЕХР( ГАММАНЛОГ ( х))




52
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. t-распределение Стьюдента.
Плотность распределения Стьюдента описывается формулой:
Г ((? + 1) / 2)
( )
? (? +1) / 2
p ( x) = 1 + x2 / 2 ? ? < x < +?
?? Г (? / 2)
Распределение имеет вид колоколообразной кривой, симметричной
относительно точки t = 0 , и зависит от единственного параметра
? , который принято называть числом степеней свободы. Приведем
значения основных характеристик распределения Стьюдента:

0 при ? > 1
Математическое ожидание,
медиана, мода
?
Дисперсия
при ? > 2
? ?2
Коэффициент асимметрии 0
3(? ? 2)
Эксцесс
при ? > 4
(? ? 4)
При числе степеней свободы ? > ? , распределение Стьюдента
стремится к стандартному нормальному распределению, то есть к
нормальному распределению с центром 0 и дисперсией 1.
Типичная интерпретация
1) Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение
с математическим ожиданием µ и дисперсией ? .
2

Если имеется выборка этой случайной величины
( x1 , x 2 ,..., x N ) , то состоятельными и несмещенными оценками
математического ожидания и дисперсии по выборке будут
следующие величины:
1N 1N
X = ? xk ? ( xk ? X ) 2
2
?=
N ? 1 k =1
N k =1



53
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


xk ? µ
X ?µ
и t=
Тогда случайные величины t = будут
? ?/ N
подчиняться распределению Стьюдента с ? = N ? 1 степенями
свободы.

2) Пусть случайные величины Х и Y имеют нормальное
распределение с математическими ожиданиями и дисперсиями
( µ x , ? x ) и ( µ y , ? y ) соответственно.
2 2


Если имеются выборки
этих случайных величин
( x1 , x 2 ,..., x N ) и ( y1 , y 2 ,..., y N ) , то состоятельной и
несмещенной оценкой коэффициента корреляции между этими
величинами по выборке будет:
N

? (x ? X )( y k ? Y )
k
?= k =1
N N

? (x ?(y
? X) ? Y )2
2
k k
k =1 k =1

?
t = N ?2?
Тогда случайная величина будет
2
1? ?
подчиняться распределению Стьюдента с ? = N ? 2 степенями
свободы.
Вычисление распределения Стьюдента с помощью Microsoft
Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
распределения Стьюдента. Все используемые функции можно
найти в разделе "Статистические функции" электронных таблиц
Microsoft Excel.

Пусть случайная величина X подчиняется распределению
Стьюдента с числом степеней свободы ? .
1) Вероятность того, что X ? x :
1 ? СТЬЮДРАСП ( x,? ,1)
2) Вероятность того, что X > x :
СТЬЮДРАСП ( x,? ,1)
54
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3) Вероятность того, что ? x ? X ? x , вычисляется как:
P = 1 ? СТЬЮДРАСП ( x,? ,2)
4) Вероятность того, что | X | > x , равна:
q = СТЬЮДРАСП ( x,? ,2)
Величина q - это вероятность того, что случайная величина
X попадает в критическую область распределения
Стьюдента.
5) Если известна вероятность q того, что | X | > x , то
соответствующее значение x равно:
x = СТЬЮДРАСПОБР (q,? )
X > x , то
6) Если известна вероятность q того, что
соответствующее значение x равно:
x = СТЬЮДРАСПОБР (2q,? )

3.2. ?2-распределение.
Плотность ?2-распределения задается формулой:

x < 0: p ( x) = 0
x (? ? 2 ) / 2 ? exp(? x / 2)
x > 0: p ( x) =
Г (? / 2) ? 2? / 2
Плотность зависит от единственного параметра ? , который
принято называть числом степеней свободы. Приведем значения
основных характеристик распределения:
?
Математическое ожидание
? ? 2 (? ? 2)
Мода

2?
Дисперсия
Коэффициент асимметрии 2 2 /?
3? + 12
Эксцесс
?


55
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


При числе степеней свободы ? > ? , ?2-распределение
стремится к нормальному распределению с центром ? и
дисперсией 2? .
Типичная интерпретация
Пусть случайная величина Х имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием µ и дисперсией
?2.
Если имеется выборка этой случайной величины
( x1 , x 2 ,..., x N ) , то состоятельными и несмещенными оценками
математического ожидания и дисперсии по выборке будут
следующие величины:
1N 1N
X = ? xk ? ( xk ? X ) 2
2
?=
N ? 1 k =1
N k =1
N
? = ? (( xk ? µ ) / ? )2
2
Тогда случайная величина будет
k =1
подчиняться ? -распределению с ? = N степенями свободы, а
2

2
случайная величина ? 2 = ( N ? 1) ? (? / ? 2 ) будет подчиняться
?2-распределению с ? = N ? 1 степенями свободы.
Вычисление ?2-распределения с помощью Microsoft Excel
Приведем несколько примеров вычисления характеристик
2
? -распределения. Все используемые функции можно найти в
разделе "Статистические функции" электронных таблиц Micro-
soft Excel.

?2-
X
Пусть случайная величина подчиняется
распределению с числом степеней свободы ? .
1) Вероятность того, что X ? x , вычисляется как:
P = 1 ? ХИ 2 РАСП ( x,? )
2) Вероятность того, что X > x , равна:
q = ХИ 2 РАСП ( x,? )
Величина q - это вероятность того, что случайная величина
X попадает в критическую область ?2-распределения.
56
С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).
Глава 3. Специальные распределения вероятностей


3) Если известна вероятность P или вероятность q , то
соответствующее значение x , определяющее границу
интервала X ? x равно:

<< Предыдущая

стр. 9
(из 43 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>