<< Предыдущая

стр. 19
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Прибыль - 95 долл.
3. Поставляет акцию в связи с +100 долл.
исполнением опциона
Чистая прибыль + 5 долл.

131
Таким образом, к моменту истечения контракта его цена всегда
равна нулю, если Р ? X, или внутренней стоимости, если Р > X.
Указанная граница графически представлена на рис. 54.




Рис.54. Цена опциона колл к моменту истечения контракта

б) Верхняя граница премии американского и европейского
опционов колл
Определим общую верхнюю границу опционов колл. Верхняя
граница премии опциона колл в любой момент времени действия
контракта не должна быть больше цены спот акции, то есть:
с? S
где с — цена опциона колл;
S — цена спот акции.
При нарушении данного условия инвестор может совершить
арбитражную операцию и получить прибыль: он купит акцию и
одновременно выпишет на нее опцион. Другими словами, право
на приобретение какого-либо товара не может стоить больше, чем
сам этот товар.

в) Стоимость американского и европейского опционов пут
к моменту истечения срока действия контракта

Ответим на вопрос, сколько стоит опцион пут непосредственно
перед истечением контракта. В этот момент его цена может при-
нимать только два значения. Если Р ?X, премия равна нулю, если
Р < X, она составит Р - X. При нарушении последнего условия
возникает возможность совершить арбитражную операцию. Ука-
занная граница графически представлена на рис. 55.
132
Рис.55. Цена опциона пут к моменту истечения контракта

г) Верхняя граница премии американского и европейского
опционов пут
После того как мы определили величину премии опциона пут
перед истечением контракта, установим общую верхнюю границу
его стоимости.
Цена американского опциона пут в любой момент времени дей-
ствия контракта не должна быть больше цены исполнения, то есть:
ра ? Х
где рa — цена американского опциона пут. В противном случае
инвестор может получить прибыль без всякого риска.
Пример. Американский опцион пут стоит 50 долл., цена испол-
нения — 45 долл.
В этом случае инвестор продает опцион за 50 долл. При испол-
нении опциона он покупает акцию за 45 долл. и получает прибыль
в размере 5 долл.
К моменту истечения срока контракта европейский опцион пут
должен стоить не больше цены исполнения. Поэтому в момент
приобретения опциона он должен стоить не больше приведенной
стоимости цены исполнения:
pe ? Xe ? rT
где ре — цена европейского опциона пут;
Т — время до истечения контракта;
r — непрерывно начисляемая ставка без риска.
В противном случае инвестор может получить доход за счет
арбитражной операции, выписав опцион и разместив премию под
процент без риска.
133
д) Нижняя граница премии европейского опциона колл
Нижняя граница премии европейского опциона колл на акции,
не выплачивающие дивиденды, составляет:
S-Xe-rT
Данное утверждение можно доказать следующим образом.
Предположим, имеется два портфеля. Портфель А состоит из ев-
ропейского опциона колл с ценой исполнения X и облигации с
нулевым купоном, которая не несет риск. В момент погашения
облигации владельцу выплачивается ее номинал, равный X. При
формировании портфеля облигация стоит X е-rT . В портфель Б
входит одна акция.
Через время T стоимость облигации возрастет до X. Если в этот
момент цена акции Р будет больше X, инвестор исполнит опцион,
и цена портфеля А составит Р. Если Р? X, то опцион не исполня-
ется и стоимость портфеля равна X. Следовательно, к моменту
истечения периода T портфель А принимает максимальные значе-
ния, которые равны Р или X.
Портфель Б по завершении периода T равен Р. Поэтому в этот
момент портфель А всегда стоит столько же или больше, чем пор-
тфель Б. Приведенные рассуждения наглядно представлены в таб-
лице 22.
Таблица 22
Стоимость портфеля в конце
периода Т
Стоимость портфеля в начале
периода Т
Р>Х
Р?Х

Портфель А Va = ce+Xe-rT VA = 0+X VБ = (Р-Х)+Х

Портфель Б VБ = Р VБ = Р
VБ = S

VA>VБ VA = VБ

V — стоимость портфеля;
се — стоимость европейского опциона колл.
Вышесказанное означает, что в начале периода Т портфель А
также должен стоить столько же или больше, чем портфель Б, то
есть:
ce + Xe ? rT ? S , поэтому

ce ? S ? Xe ? rT (36)
134
Таким образом, цена европейского опциона колл не может быть
меньше цены спот акции минус дисконтированная стоимость
цены исполнения.
Пример. Цена спот акции равна 40 долл. Цена исполнения — 37
долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%, опцион
покупается на один год. Необходимо определить нижнюю границу
премии опциона колл.
Она равна:
S -Хе-rТ= 40 долл. -37 е-0,1 долл. = 6,52 долл.
Предположим, что премия равна 6 долл., то есть меньше рассчи-
танного минимального уровня. В этом случае арбитражер может
совершить арбитражную операцию. Он купит опцион, займет ак-
цию у брокера, продаст ее и в результате такой операции получит
средства в размере:
40 долл. - 6 долл. = 34 долл.
Вкладчик инвестирует их под 10% на год и получит сумму:
34 e0,1= 37,58 долл.
Если по истечении срока контракта цена акций превысит 37
долл., то арбитражер исполнит опцион, приобретет акцию, вернет
ее брокеру, и его прибыль составит:
37,58 долл. - 37 долл. = 0,58 долл.
Если цена будет меньше 37 долл., то он не исполнит опцион, а
купит акцию на рынке по более дешевой цене, например, за 35
долл. Тогда его прибыль составит:
37,58 долл. — 35 долл. = 2,58 долл.
Формула (36) показывает нам переменные, от которых зависит
размер премии опциона колл, а именно: премия опциона колл тем
больше, чем выше значение курса акций спот (S), больше период
времени до истечения контракта (T), больше ставка без риска (г) и
меньше цена исполнения (X).
е) Нижняя граница премии европейского опциона пут
Нижняя граница премии европейского опциона пут по акциям,
не выплачивающим дивиденд, равна:
Xe-rt-S
Для доказательства данного утверждения рассмотрим два порт-
феля.
135
Портфель А состоит из одного европейского опциона пут и
одной акции. В портфель Б входит облигация с нулевым купоном
стоимостью Хе-rТ.
Если в конце периода ТР < X, то держатель исполнит опцион, и
портфель А будет стоить X. Если Р ? X, то опцион не исполнится и
стоимость портфеля равна Р. Таким образом, в момент T портфель
А стоит или Р или X. Облигация с нулевым купоном в конце
периода гасится по номиналу, который равен X, и портфель Б стоит
X. Поэтому портфель А будет всегда стоить столько же или больше,
чем портфель Б (см. таблицу 23).
Таблица 23
Стоимость портфеля в конце
Стоимость
периода Т
портфеля в
начале
Р?Х Р<Х
периода Т

Портфель А VA=pe+S VA = 0+Р VA = (X-P)+P

Портфель Б VБ = Xe-rT VБ = Х VБ = Х

VA>VБ VA=VБ

При отсутствии возможности совершения арбитражных опера-
ций портфель А и в начале периода T должен стоить не меньше
портфеля Б, поэтому:
pe + S ? X ? rT или

pe ? Xe ? rT ? S (37)
Таким образом, европейский опцион пут стоит не меньше, чем
разность между приведенной стоимостью цены исполнения и це-
ной спот акции.
Пример. X = 52 долл., S = 50 долл., r = 10%, T=3 месяца.
Необходимо определить нижнюю границу цены опциона пут.
Она равна:
52 долл.e ?0,1?0,25 ? 50 дол. = 0,716 долл.
Предположим, что премия равна 0,6 долл., то есть меньше рас-
считанного минимального уровня. В этом случае инвестор совер-
шит арбитражную операцию: займет 50,6 долл. на три месяца и
купит опцион и акцию. Через три месяца он должен будет вернуть:
136
50,6 долл. e0,1?0,25 = 51,88 долл.
Если к этому времени Р < X, то арбитражер исполнит опцион,
продаст акцию за 52 долл. и получит прибыль:
52 долл. - 51,88 долл. = 0,22 долл.
Если Р? X, то опцион не исполняется, однако акция продается
уже по более высокой цене, например, за 53 долл. В итоге прибыль
арбитражера после выплаты ссуды составит:
53 долл. - 51,88 долл. = 1,22 долл.
Формула (37) показывает нам переменные, от которых зависит
размер премии опциона пут, а именно, премия опциона пут тем
больше, чем больше цена исполнения (X), меньше курс акций спот
(S), меньше ставка без риска (r), меньше период времени до исте-
чения контракта (7) (зависимость премии европейского опциона
пут от последней переменной несколько сложнее, чем показано
выше, и будет уточнена при дальнейшем рассмотрении материа-
ла).
ж) Раннее исполнение американского опциона колл.
Нижняя граница премии американского опциона колл

Американский опцион колл может быть исполнен инвестором
до истечения срока контракта. Ответим на вопрос, будет ли такое
решение оптимальным, когда в основе опциона лежат акции, не
выплачивающие дивиденды. Например, инвестор владеет опцио-
ном колл. Цена исполнения равна 65 долл., цена спот 80 долл., до
истечения срока контракта остается два месяца. Как видно из
примера, в случае немедленного исполнения опциона держатель
получил бы прибыль, равную 15 долл. Однако данная стратегия
вряд ли может быть расценена как оптимальная. Инвестору выгод-
нее поступить следующим образом: инвестировать 65 долл. на два
месяца, чтобы получить дополнительный доход, исполнить опци-
он по истечении срока действия контракта. Поскольку акции не
выплачивают дивиденды, то вкладчик не несет никаких потерь.
Рассмотренный вариант является оптимальной стратегией, если
инвестор планирует держать акции в случае исполнения опциона
еще два месяца, то есть до истечения срока действия контракта.
Возможен вариант, когда инвестор сочтет, что цена спот акции
завышена, и поэтому решит исполнить опцион, чтобы продать
акцию. Однако данная стратегия также не является оптимальной.
Держателю выгоднее продать опцион вместо его исполнения. Ми-
137
нимальная цена, которую получит продавец, будет больше, чем
внутренняя стоимость опциона. Она составит при непрерывно
начисляемой ставке без риска, равной 10%:

80долл. -65 е-0,1?0,1667 долл. = 16,07 долл.

В противном случае возникает возможность получить прибыль
за счет арбитражной операции.
Вышесказанное в общей форме можно доказать следующим
образом. Имеются два портфеля. Портфель А состоит из одного
американского опциона колл и облигации с нулевым купоном,
равной X е-rТ. В портфель Б входит одна акция. Если опцион
исполняется раньше срока истечения контракта (время t), то пор-
тфель А всегда будет меньше портфеля Б. Если инвестор держит
опцион до момента истечения контракта, то в зависимости оттого,
больше цена спот цены исполнения или меньше, портфель А будет
больше или равен портфелю Б. Приведенные рассуждения нагляд-
но представлены в таблице 24. Таким образом, американский оп-
цион колл, в основе которого лежат акции, по которым не
выплачиваются дивиденды, не будет исполняться до даты истече-
ния контракта. Поэтому цена американского и европейского оп-
ционов для таких акций одинакова, и нижняя граница премии
американского и европейского опционов равны.

3) Раннее исполнение американского опциона пут.
Нижняя граница премии американского опциона пут

Ответим теперь на поставленный выше вопрос, но примени-
тельно к американскому опциону пут. Сравним два портфеля.
Портфель А состоит из одного американского опциона пут и одной
акции. В портфель Б входит одна облигация с нулевым купоном
стоимостью Хе-rТ. При досрочном исполнении опциона (время t)
портфель А будет стоить X, портфель Б — Хе-r(T-t). Если инвестор
держит опцион до момента истечения контракта, то в зависимости
от цены спот акций портфель А будет равен Х или Р. Портфель Б в
этот момент равен X. Таким образом, в случае раннего исполнения
опциона портфель А больше портфеля Б. Если опцион держится

<< Предыдущая

стр. 19
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>