<< Предыдущая

стр. 20
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

до момента истечения контракта, то портфель А равен или больше
портфеля Б. Изложенные рассуждения представлены в таблице 25.



138
Таблица 24

Стоимость портфеля

в конце периода Т
в начале при раннем
периода Т исполнении опциона
Р>Х Р?Х
Портфель VA = O +
VA=сa+Xe-rT VA-Р-Х + Хе-r(T-t) VA=(P-X)+X
А X
Портфель
VБ=S VБ=Р VБ=P VБ=P
Б

VA<VБ VA = VБ VA>VБ


са — американский опцион колл
Таблица 25
Стоимость портфеля

при раннем в конце периода Т
в начале
исполнении
периода Т
Р?Х Р<Х
опциона
Портфель
VA=pA + S VА=(Х-Р)+Р VA=O+P VA=(X-P)+P
А
Портфель
VБ=Хе-rТ VБ=Хе-r(T-t) VБ=Х VБ=X
Б
VA>VБ VA>VБ VA = VБ


Из приведенного доказательства не следует однозначный вы-
вод, что раннее исполнение является нежелательным, поскольку
портфель А дает больше преимуществ инвестору по сравнению с
портфелем Б в течение всего срока действия опционного контрак-
та. Если цена спот акций понизилась в существенной степени
(опцион имеет большой выигрыш), то очевидно, что его разумно
исполнить досрочно, так как вряд ли стоит ожидать дальнейшего
падения курса. Кроме того, инвестор имеет возможность сразу же




139
инвестировать полученные от исполнения опциона средства. По-
скольку для американского опциона раннее исполнение может
оказаться оптимальной стратегией, то нижняя граница его цены
должна быть равна:
pa ? X ? S
Таким образом, американский опцион пут всегда будет стоить
больше аналогичного европейского опциона.
§ 27. ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ, В ОСНОВЕ
КОТОРЫХ ЛЕЖАТ АКЦИИ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИЕ
ДИВИДЕНДЫ
До настоящего времени мы рассматривали опционы, в основе
которых лежат акции, не выплачивающие дивиденды. Остановим-
ся теперь на случаях, когда в течение срока действия опционного
контракта на акции выплачиваются дивиденды. В дальнейших
рассуждениях мы предполагаем, что 1) эффект, привносимый ди-
видендами, наблюдается на дату учета компанией акционеров,
имеющих право на получение текущего дивиденда; 2) начиная с
данного числа, новый владелец не имеет права на получение дан-
ного дивиденда, и поэтому курс акции падает на величину диви-
денда. Исходя из практики, которая наблюдается на примере
западных стран, на дату учета курс акций падает в среднем на
75-85% от величины дивиденда. Курс акций, имеющих более вы-
сокую ставку дивиденда, падает в большей степени, чем курс акций
с более низкой ставкой дивиденда. Для простоты анализа в после-
дующих рассуждениях мы полагаем, что на день учета курс акций
падает на величину дивиденда. Решая практические задачи, инве-
стор должен корректировать значение курса акций, как было ука-
зано выше, на величину, равную 75-85% стоимости дивиденда.
а) Нижняя граница премии американского и европейского
опционов колл
Чтобы определить нижнюю границу премии европейского оп-
циона колл, рассмотрим два портфеля — А и Б. Портфель А
состоит из одной акции. Портфель Б — из европейского опциона
колл, облигации с нулевым купоном, равной Хе-rT и суммы денег,
равной D (D — это приведенная стоимость дивиденда, который
выплачивается по акциям. Она получена путем дисконтирования
дивиденда под непрерывно начисляемую ставку без риска r на
время Т. Составляя часть портфеля Б, сумма D инвестируется на
время T под процент r).
Если Р > X, то опцион колл исполняется и портфель Б стоит
P + D rT. Если Р? X, то портфель Б стоит X + D rT .
140
Портфель А в обоих случаях равен Р + D rТ. Следовательно,
портфель Б стоит дороже или столько же, сколько портфель А (см.
таблицу 26). Данный результат мы имеем в конце периода Т. Поэ-
тому правомерно сказать, что в начале периода T портфель Б также
равен или стоит дороже портфеля А, то есть:
ce + Xe ? rT + D ? S или

ce ? S ? Xe ? rT ? D (38)
Таким образом, премия европейского опциона колл должна
быть не меньше, чем разность между ценой спот акции и суммой
приведенных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который
планируется выплачивать на эти акции. Поскольку американский
опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможно-
стей, чем европейский, то данная формула верна и для него.
Таблица 26
Стоимость портфеля
в конце периода
в начале
периода
Р>Х Р?Х
VA=P + D rT VA=P + D rT
Портфель А VA=S

VБ=(P-X)+X + D rT VБ = 0+X+D rT
-rT
Портфель Б VБ = ce+Xe +D
VБ = VA VБ>VA


Формула (38) показывает еще одну переменную, которая влияет
на величину премии опциона колл, а именно, стоимость опциона
уменьшается, если в период действия контракта по акциям выпла-
чивается дивиденд: стоимость опциона тем меньше, чем больше
размер дивиденда.

б) Нижняя граница премии американского и европейского
опционов пут

Чтобы определить нижнюю границу премии европейского оп-
циона пут, рассмотрим два портфеля — А и Б. Портфель А состоит
из облигации с нулевым купоном, равной Хе-rT и суммы денег D.
141
В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция
При Р?X портфель Б равен P + D rT. При Р < Х он стоит X+ D rT.
Портфель А в обоих случаях равен X + D rT (cм. табл. 27).
Таблица 27
Стоимость портфеля
в конце периода Т
в начале
периода Т
Р?Х Р<Х
VA =Xe-rT+D VA=X+D rT VA=X + D rT
Портфель А

VБ = 0+Р + D rТ VБ=(X-P)+P + D rT
Портфель Б VБ=pe+S
VБ>VA VБ =VA


Следовательно, стоимость портфеля Б в конце периода Т боль-
ше или равна стоимости портфеля А. Поэтому в начале периода Т
портфель Б должен стоить не меньше портфеля А, то есть:
pe + S ? Xe ? rT + D или

pe ? Xe ? rT + D ? S
Таким образом, премия европейского опциона пут должна быть
не меньше разности суммы дисконтированных стоимостей цены
исполнения и дивиденда, который планируется выплатить, и цены
спот акции. Поскольку американский опцион предоставляет ин-
вестору больший диапазон возможностей, чем европейский, то
данная формула верна и для него.
Формула (39) показывает нам еще одну переменную, которая
влияет на величину премии опциона пут, а именно, стоимость
опциона возрастает, если в период действия контракта по акциям
выплачивается дивиденд: стоимость опциона тем больше, чем
больше размер дивиденда.
в) Раннее исполнение американского опциона колл
Как было показано выше, раннее исполнение американского
опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, не явля-
ется оптимальной стратегией. Однако нельзя настаивать на этом
утверждении, когда в основе лежат акции, выплачивающие диви-
денды. Как известно, выплата дивидендов приводит к падению
142
курса акций, а следовательно, и прибыли от исполнения опциона.
Поэтому исполнение американского опциона колл перед датой
учета может явиться наиболее прибыльной стратегией.
Предположим, имеется опцион колл, в основе которого лежат
акции, выплачивающие дивиденды Div1, Div2, Div3..., Divn на про-
тяжении срока действия контракта соответственно в моменты t1,
t2, t3,.., tn. Если инвестор исполнит опцион непосредственно перед
датой учета выплаты последнего дивиденда (момент tn), он получит
сумму, равную:
Ptn ? X
Если не исполнит опцион, то после выплаты дивиденда цена
акции упадет до:
Ptn ? Div n
а нижняя граница цены опциона составит:
Ptn ? Div n ? Xe ? r (T ?tn )
Если Ptn ? Div n ? Xe ? r (T ?tn ) ? Ptn ? X , то есть
[ ]
Div n ? X 1 ? e ? r (T ?tn )
то опцион не выгодно исполнять в момент tn. В этом случае его
выгоднее продать.
Если Ptn ? Div n ? Xe ? r (T ?t n ) ? Ptn ? X , то есть

[ ]
Div n ? X 1 ? e ? r (T ?tn )
то его скорее всего следует исполнить, особенно при высоком
значении Р.
Проведем аналогичные рассуждения для момента tn-1 и Divn-1.
Если инвестор исполняет опцион непосредственно перед датой
учета предпоследнего дивиденда, он получает сумму:
Ptn ?1 ? X
Если опцион не исполняется, то цена акции после даты учета
падает до уровня:
Ptn ?1 ? Div n ?1
Следующий наиболее оптимальный срок исполнения опциона
может наступить только в момент tn. Поэтому нижняя граница
цены опциона в момент tn-1 равна:
Ptn ?1 ? Div n ?1 ? Xe ? r (tn ?tn ?1)

143
Таким образом, если
Ptn ?1 ? Div n ?1 ? Xe ? r (tn ?tn 1) ? Ptn ?1 ? X то есть
[ ]
Div n ?1 ? X 1 ? e ? r (tntn ?1)
опцион не выгодно использовать. При условии
[ ]
Div n ?1 ? X 1 ? e ? r (tntn ?1)
его оптимально исполнить в данный момент. Если провести
аналогичные рассуждения для любых значений ti при i < n, то мы
придем к таким же результатам.
Пример. Имеется американский опцион колл, выписанный на
восемь месяцев. S= 50 долл., Х= 48 долл., r = 10%, Div2 = 0,8 долл.,
Div2 = 0,8 долл. Первый дивиденд выплачивается через 3 месяца,
второй — через 6 месяцев. Необходимо определить, выгодно ли
исполнить опцион перед первой или второй датой учета.
Для первого дивиденда:
[ ] [ ]
X 1 ? e ? r (tntn ?1) = 48 долл. 1 ? e ?0 ,1(0 ,5 ?0 ,25 ) = 1,185 долл.
Для второго дивиденда:


[ ] [ ]
X 1 ? e ? r (T ? t 2 ) = 48 долл. 1 ? e ?0 ,1(0 ,667 ?0 ,5 ) = 0,7855 долл.


[ ] [ ]
X 1 ? e ? r (T ?t2 ) = 48 долл. . 1 ? e ?0 ,1(0 ,667 ?0 ,5 ) = 0,7855 долл.
Поскольку на дату учета второго дивиденда
0,8 > 0,7855
то оптимально исполнить опцион непосредственно перед этой
датой.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
К моменту истечения контракта стоимость американского и
европейского опционов колл и пут в зависимости от цены спот
актива должна равняться нулю или внутренней стоимости.
Верхняя граница премии американского и европейского опци-
онов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должна
превышать цену спот актива.
Верхняя граница премии американского опциона пут для акти-
ва, не выплачивающего дохода, не должна быть больше цены
исполнения, а для европейского опциона пут — больше приведен-
ной стоимости цены исполнения.
144
Нижняя граница премии американского и европейского опци-
онов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должна быть
меньше разности между ценой спот актива и приведенной стоимо-
стью цены исполнения.
Нижняя граница премии европейского опциона пут для актива,
не выплачивающего дохода, не должна быть меньше разности
между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот

<< Предыдущая

стр. 20
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>