<< Предыдущая

стр. 21
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

актива. Нижняя граница премии американскою опциона пут для
актива, не выплачивающего дохода, не должна быть меньше раз-
ности между ценой исполнения и ценой спот актива. Американ-
ский опцион пут будет стоить дороже аналогичного европейского
опциона.
Нижняя граница премии американского и европейского опци-
онов колл для актива, выплачивающего доход, должна быть не
меньше, чем разность между ценой спот и суммой приведенных
стоимостей цены исполнения и дохода.
Нижняя граница премии американского и европейского опци-
онов пут для актива, выплачивающего доход, должна быть не мень-
ше разности между суммой дисконтированных стоимостей цены
исполнения и дохода и цены спот актива.
Как общее правило, раннее исполнение американского опцио-
на для актива, не выплачивающего доход, нельзя считать опти-
мальной стратегией, однако нельзя настаивать на данном
утверждении в отношении актива, выплачивающего доход, по-
скольку цена опциона колл будет падать после его выплаты. Для
американского опциона пут на активы, выплачивающие и не вы-
плачивающие доход, раннее исполнение контракта может явиться
оптимальной стратегией. После выплаты дохода стоимость опци-
она пут должна возрастать.
Премия опциона колл тем выше, чем больше цена спот актива,
время до истечения контракта, ставка без риска, меньше цена
исполнения и размер выплачиваемого на актив дохода. Премия
опциона пут тем выше, чем больше цена исполнения, выплачива-
емый на актив доход, меньше цена спот, ставка без риска и период
времени до окончания контракта.
Глава X. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ
ОПЦИОНОВ
В настоящей главе рассматриваются ценовые соотношения, ко-
торые должны выдерживаться между премиями различных опци-
онов.
Вначале мы проанализируем зависимости между опционами с
разными ценами исполнения, временем истечения и стандартным
отклонением. После этого докажем паритетные взаимосвязи для
европейских и американских опционов колл и пут.
а) Соотношения между премиями опционов,
которые имеют различные цены исполнения
Сравним два опциона колл, которые отличаются только ценами
исполнения.
X1 — цена исполнения опциона С1
Х2 — цена исполнения опциона С2.
Если X1 < Х2, то для таких опционов с1 > с2, так как первый
опцион в случае его исполнения позволяет приобрести акцию по
более низкой цене. Для опционов пут верным будет обратное
соотношение. Если X1 < Х2, то р2 ? p1 так как второй опцион в
случае исполнения дает инвестору возможность продать акцию по
более высокой цене.
б) Соотношение между премиями опционов
с различным временем до истечения контрактов
Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере
увеличения периода действия контракта, то есть, если T2 > T1, то
c o 2 ? c o1 ро2 ? ро 1
и
Данная закономерность возникает потому, что опционы c12 и
ра2 предоставляют инвестору такие же возможности, как и опцио-
ны са1 и ра1 в течение периода времени 77, но в то же время дают
ему дополнительную потенциальную возможность получить при-
быль в течение периода времени ?t, который равен Т2 - T1.
146
Для европейских опционов картина складывается несколько
сложнее. Рассмотрим вначале опционы на акции, не выплачиваю-
щие дивиденды. Увеличение срока действия контрактов увеличи-
вает потенциальную возможность благоприятного исхода событий
как для опциона колл, так и пут. Следовательно, это способствует
росту премии опционов с более отдаленной датой истечения
контрактов. В то же время, как известно, для опциона пут нижняя
граница премии равна
X ? rT ? S
Поэтому опцион с более близкой датой истечения должен сто-
ить больше опциона с более отдаленной датой истечения контрак-
та. Таким образом, мы не можем однозначно утверждать, что
премия европейского опциона пут с более отдаленной датой исте-
чения контракта будет больше премии опциона пут с более близкой
датой истечения.
Выплаты дивидендов на акции, лежащие в основе опционов,
могут привнести дополнительные нюансы в сравнительную оцен-
ку премии опционов. Рассмотрим их на примерах.
Пример 1. Имеется два европейских опциона колл, выписанных
сроком один — на два месяца, другой — на три. Через два с
половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, ле-
жащим в основе опционов. В таком случае вполне вероятно, что
первый опцион будет стоить дороже второго.
Пример 2. Имеется два европейских опциона пут, выписанных
сроком один — на два месяца, другой — на три. а) Через два с
половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, ле-
жащим в основе опционов. В таком случае не исключено, что
второй опцион будет стоить дороже первого. б) Выплата дивиден-
дов ожидается через полтора месяца. В этом случае вполне вероят-
но, что первый опцион стоит дороже второго.
в) Соотношение между премиями опционов, у которых
цены активов имеют различные стандартные отклонения
Имеются два опциона. Они отличаются друг от друга только
одним параметром: цена акции, лежащей в основе первого опци-
она, имеет меньшее стандартное отклонение (?), то есть меньший
разброс колебаний, чем цена акции второго опциона. Для такого
случая возникает следующая закономерность. Если ?1< ?2, ?о
c1 ? c 2 р1 ? р 2
и




147
Таким образом, опцион на акцию, несущую более высокий риск
для инвестора, будет стоить дороже. Это объясняется тем, что
потенциально второй опцион предоставляет инвестору больше
возможностей получить большую прибыль при ограниченной сте-
пени риска. Показатель стандартного отклонения является еще
одним показателем, от которого зависит величина премии опцио-
на. Чем больше будет значение стандартного отклонения, тем
больше должен стоить опцион.
§ 29. ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВ

а) Паритет европейских опционов пут и колл
душ акций, не выплачивающих дивиденды
Определим взаимосвязь между рe и се, которая носит название
паритета опционов пут и колл. Значение паритета состоит в том,
что, приравнивая друг к другу опционы пут и колл, имеющие
одинаковые цены исполнения и сроки истечения контрактов,
можно, зная, например, величину премии опциона пут, опреде-
лить цену опциона колл и наоборот. Если условия паритета не
выдерживаются, то возникает возможность получить прибыль за
счет арбитражной операции. Рассмотрим вышесказанное более
детально.
Предположим, имеется два портфеля — А и Б. Портфель А
состоит из одного европейского опциона колл и облигации с ну-
левым купоном, равной Xе-rT. В портфель Б входит один европей-
ский опцион пут и одна акция. Если к моменту истечения
контракта Р > X, то портфель А равен Р и портфель Б также равен
Р. Если Р ? X, то портфели А и Б равны X. Таким образом, в конце
периода T оба портфеля имеют одинаковую стоимость. Поэтому
можно сделать вывод, что в начале периода Т стоимость их также
должна быть равна, то есть:
ce + Xe ? rT = p e + s
Указанное равенство носит название паритета опционов пут и
колл.
Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r — 10%, срок контрактов —
3 месяца, се =3,5 долл. Определить стоимость pe.
Она равна:
се + Xe-rT = 3,5 долл. + 40 долл. е-0,1?0,25 = 42,5 долл.
ре = 42,51 долл. – 42 долл. = 0,51 долл.
Предположим теперь, что цена ре завышена и составляет не 0,51
долл., а 1 долл. В этом случае открывается возможность совершить
148
следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает евро-
пейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию,
заняв ее у брокера. В результате он получает сумму:
-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.
и инвестируетее под ставку без риска на три месяца:
39,5 долл. е0,1?0,25 = 40,5 долл.
Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражер
исполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этом
случае его прибыль от данной операции составит:
40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.
Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражер
купит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль от
операции в размере:
40,5 долл. — 40 долл. = 0,5 долл.
Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2
долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут
и акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму в
размере:
0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.
Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:
38 долл.е0,1?0,25 = 39,68 долл.
При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получает
прибыль:
40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.
При Р > 40 долл. контрагент исполняет опцион колл, то есть
арбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыль
составит:
40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.
б) взаимосвязь между премиями американских опционов
пут и колл для акций, не выплачивающих дивиденды
Паритет существует только для европейских опционов пут и
колл. В то же время можно установить определенную взаимосвязь
между американскими опционами пут и колл.
Выше мы доказали, что ра >ре и ре +S = се+Хе-rT.

149
Следовательно,
ра > се + Х е-rT - S
поскольку са = се , то
ра > са + Х е-rT – S или
са - ра < S – X е-rT
Теперь сравним два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из
одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б
входит один европейский опцион колл и облигация с нулевым
купоном, равная X, эмитированная под процент er на период Т.
Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактов
равен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньше
срока истечения контракта. Если в конце периода ТР > X, опцион
пут не исполняется, и портфель А стоит Р. Если Р < X, то опцион
исполняется и портфель равен X.
Если Р >X, исполняется опцион колл портфель Б равен
(P -Х)+ХеrT . При Р < X портфель равен ХеrT Таким образом в
обоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А.
Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнение
американского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель А
равен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, если
предположить, что са = 0, Xert. Таким образом, портфель Б вновь
стоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представлено
в таблице 28.
Таблица 28
Стоимость портфеля
в конце периода Т
при раннем
в начале
исполнении
периода Т
Р<Х Р>Х
опциона

Порт-
VA=pa+S VA=(X-P)+P VA=(X-P)+P VA=0+P
фель А

Порт-
VБ = O+XerT VБ = 0+ХеrТ VБ = (Р-Х)+ХеrТ
VБ=се+Х
фель Б

VБ>VA VБ>VA
VБ>VA




150
В итоге правомерно записать, что
се + Х > ра + S
Поскольку cе = са, то
са + Х > ра + S или са – ра > S - X
Выше мы записали, что
са - ра < S – X е-rT
Отсюда следует: S – X < са - ра < S – X е-rT
Пример. Для акций, не выплачивающих дивиденды, са = 2 долл.,
Х= 35 долл., S= 33,5 долл., срок действия контракта — 3 месяца, r =
10%. Определить премию опциона пут для данных условий.
33,5 долл. - 35 долл. < са -ра < 33,5 долл. - 35 долл. е-0,1х0,25

-1,5 долл. < сa -рa < 0,64 долл.
1,5 долл. > ра -са > 0,64 долл.
3,5 долл. >ра> 2,64 долл.
Таким образом, цена американского опциона пут должна быть
не выше 3,5 долл. и не ниже 2,64 долл.
в) Паритет опционов для акций, выплачивающих дивиденды
Рассмотрим два портфеля. Портфель А состоит из одною евро-
пейского опциона колл, облигации с нулевым купоном X е-rT и
суммы денег D. В портфель Б входят один европейский опцион пут
и одна акция. В конце периода T стоимость портфелей будет равна
(см. табл. 29).
Таблица 29
Стоимость портфеля
в конце периода Т
в начале периода Т
Р>Х P<X
Портфель
VA=сe+Хе-rТ+D VA=(P-X)+X + D rT VA=0+X+D rT
А
Портфель
VБ = 0+P + D rT VБ=(X-P) +P + D rT
VБ=pe + S
Б
VA=VБ VA=VБ



<< Предыдущая

стр. 21
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>