<< Предыдущая

стр. 22
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


151
Следовательно, мы можем записать, что в начале периода Т
се + X е-rt + D = ре + s
Данное равенство представляет собой паритет опционов пут и
колл, в основе которых лежат акции, выплачивающие дивиденды.
г) Взаимосвязь американских опционов пут и колл
для акций, выплачивающих дивиденды
Рассмотрим портфели А и Б. Портфель А состоит из одного
европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном, рав-
ной X, эмитированной под процент r, и суммы D. В портфель Б
входят один американский опцион пут и одна акция. Как следует
из таблицы 30, портфель А в конце периода T стоит больше порт-
феля Б. Поэтому правомерно записать, что и в начале этого пери-
ода
ра + S < се + X + D
Таблица 30

Стоимость портфеля
при раннем в конце периода Т
в начале
исполнении
периода Т
Р>Х Р<Х
опциона
VA=0+Хе rT+ VA=0+XerT +
Портфель VA=(P-X) +
VA=ce+X+D
+ Drt +XerT + DrT + D rT
А
Портфель VБ=0 + P + D VБ=(X-P)+P+
VБ=P*+S VБ=(X-P)+P rT
+ D rT
Б
VA>VБ VA>VБ VA>VБ

(даже если допустить, что се - 0)

Поскольку европейский опцион никогда не будет стоить дороже
американского, то
ра + S < са + X + D или

S – X - D < са - ра

Выше мы записали, что для акций, не выплачивающих дивиден-
ды, справедливы следующие условия:

152
ca - pa< S - Xe -rT
Данные условия выдерживаются и для акций, выплачивающих
дивиденды, поскольку выплата дивидендов уменьшает премию
американского опциона колл и увеличивает премии американско-
го опциона пут. В итоге взаимосвязь между американскими опци-
онами пут и колл принимает следующий вид:
S -X -D < са - ра < S -Хе-rТ
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Опцион колл с более низкой ценой исполнения должен стоить
дороже опциона с более высокой ценой исполнения. Опцион пут
с более низкой ценой исполнения должен стоить дешевле опциона
с более высокой ценой исполнения.
Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере
увеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно на-
стаивать на данном утверждении применительно к европейским
опционам. Выплата дохода на актив в течение действия европей-
ского опциона может привести к тому, что опцион с более близкой
датой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленной
датой истечения.
Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандар-
тное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей вели-
чиной стандартного отклонения.
Между ценами европейских опционов пут и кол на активы,
выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритет-
ные отношения. Если условия паритета не выдерживаются, то
открываются возможности для арбитражных операций.
Глава XL МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ
Настоящая глава посвящена проблеме определения премии
опционных контрактов. Вначале мы остановимся на общем теоре-
тическом подходе к расчету цены опциона, рассмотрим вопрос
формирования портфеля без риска и оценки величины премии с
помощью простой биноминальной модели. После этого перейдем
к моделям, которые используются на практике, а именно, бино-
минальной модели и модели Блэка-Сколеса для акций, выплачи-
вающих и не выплачивающих дивиденды. В рамках модели
Блэка-Сколеса остановимся на таких вопросах, как логнормаль-
ное распределение и стандартное отклонение цены актива.
§ 30. ОБЩИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ЦЕНЫ ОПЦИОНА
Одна из главных задач, которую решает инвестор — это опре-
деление цены опциона. В теории разработаны модели, позволяю-
щие справиться с данной проблемой. Прежде чем перейти к ним,
рассмотрим общий подход к определению премии опциона.
Допустим, инвестор приобретает трехмесячный европейский
опцион колл с ценой исполнения 100 долл. Он полагает, что веро-
ятность цены актива составить к моменту исполнения 120 долл.
равна 10%, 110 долл. — 20%, 105 долл. — 25%, 100 дол. — 20%,
90 долл. — 15%, 80 долл. — 10%. Премия опциона должна рав-
няться ожидаемому доходу инвестора отданной операции. Чтобы
определить ожидаемый доход, необходимо каждый возможный
вариант исхода умножить на его вероятность и сложить получен-
ные значения. Если к моменту истечения срока контракта цена
актива будет равна или меньше цены исполнения, то стоимость
опциона окажется равной нулю, если цена спот превысит цену
исполнения, то цена опциона составит Р - X. Поэтому ожидаемый
доход от такой операции для инвестора будет равен:
0,1?0 + 0,15?0 + 0,2?0 + 0,25?5 + 0,2?10 + 0,1?20 = 5,25 долл.

154
Вкладчик приобретает опцион на три месяца, поэтому получен-
ное значение необходимо дисконтировать с учетом данного интер-
вала времени. Предположим, что непрерывно начисляемая ставка
без риска равна 8%. Тогда теоретическое значение премии опци-
она составит:
5,25 долл е0,08?0,25 = 5,15 долл.

§ 31. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ БЕЗ РИСКА.
ПРОСТАЯ БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ
ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ
В основе моделей оценки премии опционов лежит посылка о
том, что инвестор имеет возможность сформировать из опционов
и активов, лежащих в основе опционов, портфель, нейтральный к
риску изменения цены актива или опциона. Поэтому необходимо
сказать несколько слов о концепции формирования портфеля без
риска.
а) Портфель без риска
Купив акции, инвестор подвергает себя риску финансовых по-
терь, которые могут возникнуть в связи с падением курса ценных
бумаг. Чтобы избежать такой ситуации, вкладчику следует сфор-
мировать соответствующий портфель из акций и опционов. Для
такого портфеля падение курса акций должно компенсироваться
ростом цены опционов и наоборот. При составлении портфеля
необходимо помнить, что изменение цены акций и опциона колл
имеет положительную корреляцию, а опциона пут — отрицатель-
ную. Таким образом, данный портфель будет нейтрален к риску
изменения курсов ценных бумаг. Поскольку курсы бумаг на рынке
постоянно меняются, портфель остается нейтральным к риску
только в течение короткого промежутка времени. Чтобы сохранить
это качество, его состав должен постоянно пересматриваться. На-
пример, в момент /7 портфель не несет риска при соотношении
один опцион колл и 0,3 акции. В момент t2 один опцион колл —
0,5 акции. Это значит, что инвестору в первом случае следует
купить 0,3 акции на каждый проданный опцион колл, а во втором,
вследствие изменившихся обстоятельств — 0,5 акции. В результа-
те в течение всего периода действия опционного контракта можно
поддерживать нейтральность портфеля. Чтобы воспользоваться
предложенной техникой для оценки премии опциона, необходимо
ответить на вопрос, какой уровень доходности должен такой пор-
тфель принести инвестору. Поскольку он является нейтральным к
риску, то должен обеспечить вкладчику доходность, равную ставке
без риска.
155
б) Простая биноминальная модель оценки премии опционов
Используем рассмотренный принцип для оценки премии опци-
она применительно к простой биноминальной модели, то есть
модели, когда значение опциона и курса акций рассматривается
только в начале и конце некоторого периода времени Т. Предпо-
ложим, выписывается европейский опцион колл на 5 месяцев с
ценой исполнения 36 долл. В момент заключения контракта цена
акций равна 33 долл. Непрерывно начисляемая ставка без риска
10%. На основе своих расчетов инвестор определил, что курс акций
к моменту истечения контракта может составить 34 долл. или 38
долл. Необходимо оценить премию опциона.
Если ко времени окончания контракта курс акций составит 34
долл., стоимость опциона будет равна нулю. Если цена возрастет
до 38 долл., то премия составит 2 долл. Предположим, инвестор
формирует портфель без риска, приобретая п акций и продавая
один опцион. Данный портфель не будет нести риск, если в конце
периода Т его стоимость окажется одинаковой, независимо от
реальной динамики курса акций.
При Р= 34 долл. стоимость портфеля составит 34 п долл. При Р
= 38 долл. она будет равняться 38 п долл. — 2 долл. Чтобы сформи-
ровать портфель без риска, инвестор должен купить такое число
акций, которое бы удовлетворяло уравнению:
34 п долл. = 38 n долл. - 2 долл.
Решая уравнение, получаем п = 0,5 акций. В этом случае порт-
фель и при первом и при втором сценарии развития событий через
5 месяцев будет стоить 17 долл. Стоимость портфеля в момент
заключения контракта составит:
33 долл. ?0,5 - cе = 16,5 долл. - cе
Портфель без риска должен приносить инвестору доход, равный
ставке без риска. Поэтому стоимость портфеля в начале периода Т
должна соответствовать его дисконтированной стоимости через 5
месяцев, то есть:
16,5 долл.- се = 17 долл.е -0,1х0,4167=16,31 долл.
Тогда
се =0,19 долл.
В рассмотренном примере премия опциона зависела в конечном
итоге от тех значении, которые могла принять цена акций к мо-
менту истечения опциона. Поэтому для построения «рабочей мо-
дели», которую можно было бы использовать на практике,
156
необходимо ввести в нее элемент вероятностной оценки. Данная
задача решается с помощью построения биноминальной модели,
которую впервые предложили Дж. Кокс, С. Росс и М. Рубинштейн.
Биноминальная модель используется для оценки премии амери-
канских опционов, однако для простоты изложения мы рассмот-
рим ее вначале применительно к европейскому опциону и после
этого скорректируем относительно американского опциона.
§ 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ,
НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ
Весь период действия опционного контракта разбивается наряд
интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции S
может пойти вверх с вероятностью p или вниз с вероятностью 1-р,
как показано на рис. 56. В конце периода акция соответственно
стоит Su или Sd, где и — процент прироста курсовой стоимости
акций, поэтому и > 7, a d — процент падения курсовой стоимости,
то есть d < 1.
Рассматривая динамику курса акций на каждом временном ин-
тервале, можно построить дерево распределения цены акции для
всего периода действия опционного контракта. Данная картина
представлена на рис. 57. Начальная цена акции равна S. За первый
период ?t1 ее курс может составить Su или Sd. За второй период
?t2 — соответственно Su2, Sd2 или Sud и т.д. для следующих
периодов. В целях упрощения модели, поскольку период действия
опционного контракта делится на большое число интервалов, де-
лается допущение, что u=1/d , поэтому значения курса акций на
дереве распределения можно представить следующим образом (см.
рис. 58).




Рис.5б. Динамика курса акции для одного периода биномальной модели



157
Как известно, к моменту истечения срока действия контракта
цена опциона может принимать два значения, а именно, 0 или
P-X для опциона колл. и 0 или X-Р для опциона пут. Для того,
чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода 7, необхо-
димо определить стоимость опциона для начала каждого периода
?t , то есть в каждой точке пересечения ветвей дерева. Данную
задачу решают последовательным дисконтированием. Так, извест-
ную величину опциона в конце периода Т дисконтируют, чтобы
получить ее значение в начале периода ?t4. Затем значение опци-
она в начале периода ? t4 дисконтируют и определяют его сто-
имость в начале периода ? t3 и т.д.


158
Биноминальная модель основывается на концепции формиро-
вания портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования прини-
мается процент, равный ставке без риска для инвестиций,
соответствующих времени действии опционного контракта. Для
того, чтобы упростить модель, вместо указанной выше ставки ис-
пользуем эквивалентную ей ставку непрерывно начисляемого
процента.
В условиях отсутствия риска ожидаемый доход на акцию за
период At должен составить Se г?t , где r — непрерывно начисля-
емая ставка без риска. В то же время, исходя из значения матема-
тического ожидания, он должен быть равен:
рSu + (1 –p) Sd
Таким образом
Se r?t = pSu + ( 1 ? p )Sd (40)
или
e r?t = pu + ( 1 ? p )d (41)
Из формулы (41) найдем p.
e r?t ? d
p= (42)
u?d
Процент прироста или падения курсовой стоимости акции за-
висит от времени, в течение которого наблюдается изменение
курса бумаги, и ее стандартного отклонения. Поэтому можно за-
писать, что

;d = e ? ?
u = e? ?t ?t


<< Предыдущая

стр. 22
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>