<< Предыдущая

стр. 23
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Формула (42) позволяет определить вероятность повышения
или понижения курса акций.
Пример. Курс акции в начале периода равен 40 долл., стандарт-
ное отклонение цены акции 35%, непрерывно начисляемая ставка
без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения
курса акций через месяц.
Получаем
? t = 0,0833

u = e 0,35 = 1,1063
0, 0833


d = e ?0,35 = 0,9039
0, 00833


e r?t = e 0,1?0,0833 = 1,0084
159
1,0084 ? 0,9039
p= = 0,5163
1,1063 ? 0,9039
1 – р = 1 – 0,5163 = 0,4837
Таким образом, вероятность повышения курса акции через один
месяц составляет 0,5163 и понижения 0,4837.
После того как мы рассчитали значения u и d, можно определить
значение курса акции для любого периода времени. Предполо-
жим, что инвестора интересуют возможные значения курса акций
последовательно через один, два и три месяца, то есть для каждой
точки пересечения ветвей дерева, представленного на рис. 58. Для
точки Sd он равен Sd= 40 долл. х 0,9039 = 36,16 долл.
Для точки Sd2 Sd2 = 40 долл. х (0,9039)2 = 32,68 долл.
Для точки Su Su = 40 долл. х 1,1063 = 44,25 долл.
и т.д.
Значения курса акций представлены на дереве распределения
(см. рис. 59).
После того как мы получили значения вероятности повышения
я понижения курса акции и значения цены акции в конце каждого
месяца, можно перейти к определению величины премии опцио-
на.




Рис.59. Дерево распределения цены акции
Пример. Инвестор приобретает опцион пут на три месяца, курс
акции в момент заключения контракта равен 40 долл., цена испол-
нения 45 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%,
стандартное отклонение акции — 35%. Определить стоимость
опциона.


160
Через три месяца в точке Su3 величина премии опциона будет
равняться нулю. В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.
В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.
В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.
Цена опциона в начале периода ?t3, то есть для точек Su2, S, Sd2
представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемой
цены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущего
отрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины опре-
деляется как ее математическое ожидание. Поэтому цену опциона
в начале периода ?t можно определить по формуле
цена опциона = (Мх) е-r?T
где Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены оп-
циона в конце периода ?t на их вероятность.
Найдем цену опциона в точке Su . Она равна:
2


(0,5163 ? 0 + 0,4837 ? 0,75) е-0,1?0,0833 = 0,36 долл.
Для точки S она составит:
(0,5163 ? 0,75 + 0,4837 ? 8,84) е-0,1?0,0833 = 4,62 долл. и т.д.
Цена опциона для каждой точки на дереве распределения пред-
ставлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премия
опциона в начале периода Гравна 5 долл.
Выше мы определили премию для европейского опциона пут.
Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичный
по своим условиям американский опцион. Как известно, досроч-
ное исполнение контракта может явиться оптимальным решени-
ем. Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели это
конец каждого периода ?t) его цена должна быть не меньше, чем X
- Р. Дерево распределения цены акции и премии американского
опциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точке
Su2. Согласно расчету она составляет 0,36 долл. Однако в случае
исполнения опциона в данный момент он будет стоить:
45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.
Естественно, что в этот момент времени исполнение опциона
не является оптимальной стратегией и инвестору следует продать
опцион или подождать еще некоторый период времени. Следова-
тельно, его цена в указанной точке равна полученной расчетной
величине, то есть 0,36 долл.




161
Рис.60. Дерево распределения премии американского опциона пут
Для точки S (начало периода ?t3) расчетная цена равна 4,62
долл., однако в случае его исполнения в этот момент инвестор
получит прибыль, которая составит:
45 долл. - 40 долл. = 5 долл.
Следовательно, при таком развитии событий американский оп-
цион будет стоить не 4,62 долл, а 5 долл. и его оптимально испол-
нить. Для точки Sd2 премия опциона должна быть не меньше чем:
45 долл. - 32,68 долл. = 12,32 долл.
Для точки Sd при немедленном исполнении опцион стоит:
45 долл. -36,1бдолл.= 8,84долл.
Его расчетная цена составляет:
(0,5163 ? 5,0 + 0,4837 ? 12,32) е-0,1?0,0833 =8,47 долл.
Следовательно, он должен стоить не меньше 8,84 долл.
В точке Su при немедленном исполнении опцион стоит:
45 долл. - 44,25 долл. = 0,75 долл.


162
Однако расчеты показывают, что в этом случае исполнение не
является оптимальной стратегией и цена опциона должна соста-
вить не 0,75 долл., а
(0,5163 ? 0,36 + 0,4837 ? 5,0) е-0,1?0,0833 = 2,58 долл
В итоге получаем — цена американского опциона пут в момент
заключения контракта равна 5,56 долл.
Мы рассмотрели биноминальную модель оценки премии опци-
она для акций, не выплачивающих дивиденды. В нашем примере
весь период опционного контракта, который насчитывал три ме-
сяца, был разбит на три периода. На практике для определения
цены опциона период Т необходимо разбить на большее число
периодов ?t. Обычно деление опционного контракта на 30-50
интервалов дает приемлемый результат.

§ 33. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ,
ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ

В основе опциона могут лежать акции, на которые в течение
действия контрактов выплачиваются дивиденды. Данный факт
должен найти отражение в некоторой корректировке премии оп-
циона.
Информация о дивиденде может быть задана в двух видах, а
именно, инвестор знает: а) величину ставки дивиденда; б) абсо-
лютный размер предполагаемого дивиденда. Рассмотрим последо-
вательно оба случая.
Как известно, курс акций на дату учета падает на величину
выплачиваемого дивиденда. Поэтому дере во распределения цены
акции принимает вид, как это представлено на рис. 61. Данный
рисунок сделан для случая, когда нам известна ставка дивиденда.
Начиная с даты учета, и для всех последующих точек пересечения
ветвей дерева курс акций корректируется на величину 1 - q. Если в
течение действия опционного контракта дивиденд выплачивается
несколько раз, то данная корректировка производится соответст-
вующее число раз. В остальном техника определения цены опци-
она сводится к уже рассмотренной выше схеме для акций, не
выплачивающих дивиденд.
Инвестор может располагать данными об абсолютном размере
предполагаемого дивиденда. Соответственно на дату учета сто-
имость акций понизится на данную величину. Теперь сделаем
допущение, что цена акции в каждый момент состоит из двух
частей, а именно, чистой цены, то есть цены без дивиденда, и
приведенной стоимости будущего дивиденда. После данной по-
сылки для определения премии опциона можно воспользоваться
163
построением дерева как и для акций, не выплачивающих дивиден-
ды. В расчетах значение стандартного отклонения курса акции
берется для ее чистой цены. Значение цены акции в каждой точке
пересечения ветвей дерева, за исключением даты учета, представ-
ляет собой сумму ее чистой цены и приведенной стоимости диви-
денда для соответствующего момента времени.
Пример. Инвестор планирует купить американский опцион пут
сроком на четыре месяца, цена акции — 48 долл., цена исполне-
ния — 45 долл., стандартное отклонение цены акции — 35%,
ставка без риска — 10%. Дата учета наступает через три месяца,




Рис.61. Дерево распределения цены акции, для которой известна ставка ди-
видента. Дивидент выплачивается один раз
дивиденд равен 3 долл. Определить премию опциона.
В качестве первого шага рассчитаем приведенную стоимость
дивиденда для момента заключения контракта.
3e-0,1х0,25= 2,93 долл.
Чистая цена акции в этот момент составит:
48 долл. -2,90 долл. = 45,07 долл.
Вероятность повышения и понижения курса акции составит как
и в рассмотренном выше примере для акций, не выплачивающих
дивиденды, соответственно 0,5163 и 0,4837, и = 1,1063, d = 0,9039.
Чистая цена акции в точке Su (конец интервала ?t1) равняется:
45,07 долл. ? 1,1063 = 49,86 долл.
Приведенная стоимость дивиденда: 3 е -0.1x0,1667= 2,95 долл.
Полная цена в этой точке: 49,86 долл. + 2,95 = 52,81 долл.
Чистая цена акции в точке Su (конец периода ?t2 ) составит:
164
45,07 долл.? 1,10632 = 55,16 долл.
Приведенная стоимость дивиденда равна:
3е-0,1x0,0833= 2,98 долл.
Курс акции в этой точке равен:
55,16 дол. + 2,98 долл. = 58,14 долл.
В точке Su3 курс акции составит:
45,07 долл.? 1,10633 = 61,02 долл.
К данной цене дивиденд не прибавляется, так как в этот день он
выплачивается акционерам. Цена акции в точке Su4 составит 67,5
долл. Даже если предположить, что через несколько месяцев на
акцию будет выплачен дивиденд, корректировка курса акций на
приведенную стоимость дивиденда не производится, так как
контракт заключен на четыре месяца, и, следовательно, выплата
следующего дивиденда лежит уже за рамками данного опциона.
Аналогичным образом, как представлено выше, рассчитывается
цена акций для каждой точки пересечения ветвей дерева (см.
рис. 62).
Необходимо обратить внимание читателя на точку Sd3. Соглас-
но расчетам, цена опциона должна составлять в этот момент 11,34
долл. Однако, поскольку это американский опцион, он может быть




Рис.62. Дерево распределения цены акции и премии американского опцио-
на пут для акций, выплачивающих известный дивиденд. Верхние
числа — курс акции, нижние — премия опциона

165
исполнен в любой момент времени и, соответственно, цена его
составит 11,71 долл. Равным образом сказанное выше относится и
к точке Sd (конец интервала ?t3 , в которой цена опциона должна
составлять 4,28 долл. Используя технику расчета, о которой гово-
рилось в примере с акциями, не выплачивающими дивиденды,
получаем значение цены опциона пут для момента заключения
контракта 2,80 долл.
Как уже было отмечено в начале данной главы, биноминальная
модель используется для оценки премии американских опционов.
Премии европейских опционов рассчитываются с помощью ана-
литических формул, которые мы рассмотрим в следующем пара-
графе.
§ 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСА

а) Определение премии опционов на акции, не выплачивающие ди-
виденды. Логнормальное распределение. Стандартное отклонение
В начале 70-х годов Ф. Блэк и М. Сколес разработали модель
оценки премии европейских опционов колл и пут для акций, не
выплачивающих дивиденды. Блэк и Сколес вывели формулы, ос-
новываясь на концепции формирования портфеля без риска. Они
рассмотрели портфель из акций и опциона. При оценке премии
опциона модель учитывает следующие параметры: цену акции,
цену исполнения, ставку без риска, стандартное отклонение курса
акций, время до истечения контракта. В то же время она не при-
нимает во внимание ожидаемый доход на акции. Данный подход
вытекает из принципа формирования портфеля нейтрального к
риску. В такой ситуации ожидаемый доход на все бумаги является
одинаковым и равняется ставке без риска. Именно она использу-
ется для оценки дисконтированной стоимости будущих доходов.
Опционный контракт — это срочный контракт, поэтому вели-
чина премии должна уловить поведение курса акции. В качестве
вероятностного распределения цены акции в модели принято лог-
нормальное распределение. Рассмотрим его более подробно.

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Изменение цены актива в будущем — это случайный процесс,
который в принципе должен описываться нормальным распреде-
лением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости
актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным
распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во-
первых, нормальное распределение (рис. 63) является симметрич-


166
ной кривой относительно ее центральной оси и может иметь как
положительные, так и отрицательные значения. Однако, цена ак-
тива, лежащего в основе опционного контракта, не может быть
отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о
равной вероятности для переменной пойти вверх или вниз. В то же
время на практике, например, присутствует инфляция, которая

<< Предыдущая

стр. 23
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>