<< Предыдущая

стр. 24
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

оказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи с
этим в моделях определения цены опциона пользуются логнор-
мальным распределением. Кривая логнормального распределения
всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность, то
есть она указывает на большую вероятность цены пойти вверх
(рис. 64). Поэтому, если, допустим, цена актива составляет 50
долл., то логнормальное распределение говорит, что опцион пут с
ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл
с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с
нормальным распределением они должны были бы иметь одина-
ковую цену.
Теоретические модели определения цены опциона, как и любые
модели, устанавливают определенные условия, в рамках которых
они функционируют, например, неизменными принимаются
ставка без риска, стандартное отклонение и т.п. В то же время на
практике данные величины подвержены изменениям. Кроме того,
оценивая одни и те же активы, инвесторы, исходя из своих ожида-
нии, оперируют цифрами, которые могут отличаться друг от друга.
Поэтому на практике распределение цены актива определяется не
точной формой логнормального распределения, а чаще принимает
несколько отличную от него конфигурацию, которая имеет более
заостренную вершину и более утолщенные концы, как это пред-
ставлено на рис. 65. Однако данный факт не умаляет практической
ценности моделей. Опытные трейдеры, зная отмеченные особен-
ности, соответствующим образом корректируют значение цены
опциона. Так, например, премия опциона с большим проигрышем
на практике будет оцениваться инвестором несколько дороже, чем
это предлагает модель, построенная на логнормальном распреде-
лении.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Важным элементом, который присутствует в моделях оценки
премии опционов, является стандартное отклонение. Поэтому ос-
тановимся на этом вопросе несколько подробнее.
Вкладчика, инвестирующего свои средства в опционные контр-
акты, интересует не только направление движения рынка, но и
скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность
167
того, что стоимость актива перешагнет за цену исполнения опци-
она. Показателем такой скорости выступает стандартное отклоне-
ние цены актива или, как его еще именуют, волатильность.
Стандартное отклонение говорит о вероятности цены принять то
или иное значение. Оно задает Меру рассеянности цены актива.
Большое значение стандартного отклонения свидетельствует о
том, что цена актива может колебаться в широком диапазоне.
Стандартное отклонение характеризует риск, связанный с данным
активом. Чем больше величины отклонения, тем больше риск, и
наоборот. Стандартное отклонение задается как процент отклоне-
ния цены актива от ее средней величины в расчете на год. Напри-
мер, если цена актива составляет 100 долл., а стандартное
отклонение равно 10%, то это означает, что через год цена его
может лежать в пределах от 90 долл. до 11О долл. (100±10%) в б8,3%
случаев, от 80 долл. до 120 долл. (100±2х10%) в 95,4% случаях и от
168
70 долл. до 130 долл. (100±3х10%) в 99,7 случаях. Поскольку цена
актива через год представляет собой результат действия рыночных
сил, то она может и выйти за указанные пределы, однако в соот-
ветствии с кривой нормального распределения 99,7% всех вероят-
ных исходов лежат в пределах трех стандартных отклонений от
среднего значения показателя, 95,4% — в пределах двух стандар-
тных отклонений и 68,3% — одного стандартного отклонения (см.
рис. 66).
Чтобы получить стандартное отклонение за период меньше
года, необходимо стандартное отклонение в расчете на год разде-
лить на квадратный корень из числа данных торговых периодов в
году.
Пример. Стандартное отклонение бумаги равно 10% в год. Не-
обходимо определить стандартное отклонение в расчете на день.
В году насчитывается порядка 252 торговых дней. Поэтому стан-
дартное отклонение за один день равно:
10% : 252 = 0,63%
Если цена составляет 100 долл., то одно стандартное отклонение
цены за день составит:
100?0,0063 = 0,63 долл.
На практике для расчета стандартного отклонения берут значе-
ния котировочной цены. Западные аналитические компании, пре-
доставляющие информацию о стандартном отклонении,
рассчитывают его обычно на основе ежедневных значений коти-
ровочной цены.
Формируя свои стратегии, инвестор пытается предугадать буду-
щее значение стандартного отклонения. В этом вопросе он ориен-
тируется в первую очередь на фактические значения стандартного
отклонения за истекший период времени, как минимум за послед-
ний год. Помимо общего стандартного отклонения за год его
интересует стандартное отклонение и за более короткие периоды.
Если он планирует заключить опционный контракт на небольшой
срок, то для него важна также информация о стандартном откло-
нении за последний короткий период. Например, стандартное
отклонение актива за год составило в среднем 20%, а за последний
месяц 10%. Если инвестор планирует купить (продать) опцион на
длительный период, то в расчетах ему следует учесть стандартное
отклонение, равное 20%, если же он заключает контракт на неда-
лекую перспективу, то значение отклонения в пределах от 20% до
10%, скажем, 15%, будет более верным, чем 20%.


169
Внутреннее стандартное отклонение
(внутренняя волантильность)
Прогнозы инвестора относительно будущего значения стандар-
тного отклонения называют будущим (прогнозируемым) стандар-
тным отклонением. Фактическое стандартное отклонение за
предыдущий период времени именуют историческим стандартным
отклонением. Опционные контракты обладают еще одним стан-
дартным отклонением — внутренним стандартным отклонением.
Оно определяется из аналитических формул, когда известны все
остальные переменные, а именно, рыночная цена опциона, время
до истечения контракта, цена исполнения, цена актива, ставка без
риска. Поскольку конъюнктура рынка постоянно меняется, то
значение внутреннего стандартного отклонения также будет по-
стоянно меняться. Аналитические компании предоставляют ин-
формацию о внутреннем стандартном отклонении по каждому
опционному контракту или по всем опционным контрактам для
данного вида актива. В последнем случае это значение представ-
ляет собой некоторую средневзвешенную величину в зависимости
от объема опционной торговли, открытых позиции по тому или
иному контракту и т.д.
В качестве синонима внутреннего стандартного отклонения
брокеры используют также термин премия, хотя в прямом смысле
этого слова термин «премия» относится к цене опциона. Так, если
внутреннее стандартное отклонение имеет большее значение по
сравнению с историческим стандартным отклонением, то говорят,
что уровень премий высокий, и наоборот.
Для сельскохозяйственных товаров инвестор должен учитывать
и такой фактор, как сезонное стандартное отклонение, поскольку
оно сильно зависит от складывающихся погодных условий и вре-
мени года. Так, для зерновых культур его значение является наи-
меньшим в весенние месяцы, когда урожай в Южной Америке уже
собран, а в Северной еще не приступили к посеву. Наибольшее
отклонение приходится на летние месяцы.

Вычисление исторического стандартного отклонения
Стандартное отклонение рассчитывается по формуле
11
? (xi ? m)2
?= (43)
n ? 1 n?1
где т — среднее значение случайной величины;
п — число испытаний (периодов);
xi — значение случайной величины в каждом испытании (пери-
оде).
170
Среднее значение случайной величины определяется по форму-
ле
11
m = ? xi (44)
n i =1
11
? ?i xi
m= (45)
i = 1 i =1
если одно и то же значение случайной величины встречается в
испытаниях несколько раз. В этом случае рi — удельный вес ис-
пытаний с результатом хi в общем числе испытаний.
Наиболее часто для расчета стандартного отклонения цены ис-
пользуют два приема. Первый состоит в том, что в качестве пере-
менной величины принимают отношение изменения цены к ее
предыдущему значению, то есть
P ? Pi
xi = i +1 (46)
Pi
где Pi — цена актива в конце i-го периода.
Второй метод заключается в том, что в качестве переменной
принимают логарифм отношения последующей цены к предыду-
щей, а именно
?P ?
xi = ln? i +1 ? (47)
?P?
? i?
Расчеты, получаемые с использованием первого или второго
приема, не сильно отличаются друг от друга. Первый прием пред-
ставляет собой не что иное, как начисление процента через опре-
деленные равные промежутки времени. Второй прием заключает в
себе непрерывное начисление процента. Приведем пример расче-
та стандартного отклонения с использованием натурального лога-
рифма. Схема расчета представлена в таблице 34. Значения цены
рассматриваются за десять недель.
Таблица 34

P +1 Отклонение Квадрат
ln i
Не-деля Цена(долл.)
от средней отклонения
Pi
0 50,0
1 51,0 0,0198 0,01782 0.000316
2 52,0 0,0194 0,01742 0.000303




171
Продолжение табл. 34
P +1
Не- Цена Отклонение Квадрат
ln i
деля от средней отклонения
(долл.) Pi

3 51,5 -0,0097 -0,01168 0,000136

4 50,5 -0,0196 -0,02158 0,000466

5 49,0 -0,0302 -0,03218 0,001036

6. 48,5 -0,0103 -0,01228 0,000151

7 49,0 0,0103 0,00832 0,000069

8 49,5 0,0102 0,00822 0,000068

9 50,5 0,0200 0,01802 0,000325

10 51,0 0,0099 0,00792 0,000063

сумма сумма
0,0198 0,002933

среднее значение = 0,0198 : 10 = 0,00198
0,002933
?= = 0,0180499
9
Данный результат показывает стандартное отклонение за неде-
лю. Чтобы получить значение отклонения за год, необходимо ум-
ножить его на корень квадратный из числа недель в году.
0,0180499 ? 52 = 0 ,13016 или 13,016%

Формулы Блэка-Сколеса
Блэк и Сколес вывели следующие формулы оценки премии
опционов
ce = SN (d1 ) ? Xe ? rT N (d 2 ) (48)
Поскольку се = са, то данная формула позволяет определить
премию и американского опциона.
pe = Xe ? rT N (? d 2 ) ? SN (? d1 ) (49)
ln (S X ) + (r + ? 2 2)T ln (S X ) + rT 1
d1 = = + ?T (50)
?T ?T 2

172
ln (S X ) + (r + ? 2 2 )T
= d1 ? ? T
d2 = (51)
?T
с — стандартное отклонение цены акции.
В формулах Блэка-Сколеса величина а берется в годовом исчис-
лении. В аналитических материалах стандартное отклонение дает-
ся в процентах, в формулы она подставляется в десятичных
значениях
r — ставка без риска; на практике в формулы подставляется
существующая ставка без риска для инвестиций, которые осуще-
ствляются на время Т;
N (di) — функция распределения, показывающая вероятность
того, что нормированная нормальная переменная будет меньше di.
Пример. S = 50 долл., =45 долл., r = 10%, T= 6 месяцев,
?= 0,525. Необходимо определить премию опциона колл.
ln (50 45) + 0,1 ? 0,5
d1 = + 0,5 ? 0,525 ? 0,5 = 0,6041
0,525 ? 0,5
d 2 = 0,6041 ? 0,525 ? 0,5 = 60,2329
Из таблицы значений функции N (di)(cм. приложение 2) нахо-
дим:
N(d1) = 0,7271; N(d2) = 0,5921
Тогда
се = 50 долл. ? 0,7271 – 45 долл. е-0,1?0,5?0,5921 = 11,01 долл.

б) Определение премии опционов на акции,
выплачивающие дивиденды
Как уже отмечалось выше, информация о дивидендах может
быть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) как
абсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос оп-

<< Предыдущая

стр. 24
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>