<< Предыдущая

стр. 25
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ределения премии опциона для первого варианта.
Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывно
начисляемый дивиденд. Соответственно ставка дивиденда пред-
ставляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставка
дивиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то для
расчетных целей можно использовать ее среднюю величину в рас-
чете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падение
курса акции на величину дивиденда. Сравним динамику роста
курсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В конце
этого периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на
173
вторую — не выплачивается. Тогда мы можем сказать, что темп
прироста курсовой стоимости первой акции ниже на величину q
или что темп прироста курсовой стоимости второй акции будет
выше на величину q.
Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд,
равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же,
сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в начале
периода стоит S e-qT . Поэтому можно сделать вывод о том, что
европейский опцион для первой и второй акции должен иметь
одинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы Блэка-
Сколеса для оценки премии европейских опционов. Данные фор-
мулы применимы и для опционов на акции, выплачивающие
дивиденд, с той только разницей, что место S займет величина
S e-qT
ce = Se ? qT N (d1 ) ? Xe ? rT N (d 2 ) (52)

pe = Xe ? rT N (? d 2 ) ? Se ? qT N (? d1 ) (53)
ln (S X ) + (r ? q + ? 2 2)T
d1 = (54)
?T
ln (S X ) + (r ? q ? ? 2 2)T
d2 = = d1 - ? T (55)
?T
d1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего пре-
образования:
Se ? qT S
= ln ? qT
ln
X X
Этот результат впервые получил Мертон.
Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере ди-
виденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимость
дивиденда, а значение ? принимается как стандартное отклонение
чистой цены акции. Полученные цифры подставляются в формулы
Блэка-Сколеса.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

В моделях оценки премии опционов используется техника фор-
мирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дискон-
тирования применять ставку без риска, так как портфель, не
несущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.

174
Премию американских опционов рассчитывают с помощью би-
номинальной модели. Суть ее состоит в том, что время опционного
контракта разбивают на малые интервалы и строят с учетом веро-
ятности дерево распределения курсовой стоимости акции. Опре-
делив премию опциона перед датой истечения контракта,
последовательным дисконтированием под ставку без риска нахо-
дят значение цены опциона для каждой точки пересечения дерева
распределения и таким образом рассчитывают величину премии в
момент заключения контракта. Если в период действия опциона
на акцию выплачиваются дивиденды, то при 1) наличии информа-
ции о ставке дивиденда курсовую стоимость акции в момент вы-
платы дохода уменьшают на величину ставки дивиденда; 2) когда
имеются данные об абсолютной величине дивиденда, чистую сто-
имость акции для каждого узла дерева распределения корректиру-
ют на приведенную стоимость дивиденда.
Премия европейских опционов и американского опциона колл
рассчитывается с помощью формул Блэка-Сколеса. В модели при-
нимается посылка, что цена актива имеет логнормальное распре-
деление.
В качестве показателя, характеризующего скорость движения
рынка, используют стандартное отклонение цены актива. Оно го-
ворит о степени разброса значений цены актива относительно ее
средней величины и о вероятности цены актива перешагнуть через
цену исполнения в течение действия опционного контракта. Для
расчетных целей используют историческое стандартное отклоне-
ние. Из аналитических формул можно вычислить внутреннее стан-
дартное отклонение опциона. При определении исторического
стандартного отклонения используют два метода. Первый состоит
в том, что в качестве переменной величины принимают отношение
изменения цены к ее предыдущему значению. Второй метод — в
качестве переменной использует логарифм отношения последую-
щей цены к предыдущей.
Глава XII. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ,
ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ, ОБЛИГАЦИИ,
ВАЛЮТУ
В настоящей главе мы охарактеризуем опционы на индексы,
фьючерсные контракты, облигации и валюту, остановимся на воп-
росе оценки премии опционов для каждого вида актива. Рассмат-
ривая облигации, определим понятие встроенного опциона.
§ 35. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ. ОЦЕНКА
ПРЕМИИ ОПЦИОНА
В настоящее время на западном фондовом рынке заключаются
опционные контракты на индексы, например, S & Р 100, PS & Р
500, индекс нефтяных компаний (включает 15 акций); Велью Лайн
(включает 1700 акций) и другие. Поскольку обычно индекс насчи-
тывает большое количество акций, то, как правило, исполнение
опциона подразумевает осуществление взаиморасчетов деньгами,
а не поставку бумаг. При исполнении опциона колл положитель-
ная разница между значением индекса и ценой исполнения, а для
опциона пут — между ценой исполнения и значением индекса —
умножаются на некоторое число, которое установлено для данного
индекса контракта. Например, в США — это 100. Вычисленная
таким образом сумма уплачивается покупателю опциона.
Пример. Цена исполнения опциона колл на индексный контр-
акт равна 3254. По истечении срока контракта значение индекса
составило 3284. Покупатель исполняет опцион и получает выиг-
рыш
(3284-3254) ? 100 = 3000 долл.
Опционы на индексы используются в качестве инструмента
страхования широко диверсифицированного портфеля ценных
бумаг от риска падения их курсовой стоимости.
ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
При оценке премии опциона на индекс предполагается, что его
можно представить как акцию с известной ставкой дивиденда.
Поэтому премию опциона можно рассчитать по формулам Блэка-
176
Сколеса для акций, выплачивающих дивиденды. Поскольку ин-
декс включает в себя много акций, дивиденд на которые может
выплачиваться в разное время, то для расчетных целей учитывают
только дивиденды, выплачиваемые в период действия опциона.
Пример. Инвестор по купает европейский опцион колл на неко-
торый индекс А на три месяца с ценой исполнения 245. В момент
заключения контракта индекс равен 250. Стандартное отклонение
для индекса равно 20%. Ожидается, что дивиденды будут выпла-
чиваться для ряда акций в первом месяце, других — во втором и
на оставшиеся акции — в третьем. Для первого месяца ставка
дивиденда равна 1%, второго — 2%, третьего — 1,5%. Ставка без
риска — 10%. Определить стоимость опциона.
Вначале найдем ставку среднего дивиденда. Она равна:
1% + 2% + 1,5%
? 12 = 18%
3
После этого можно воспользоваться формулой Блэка-Сколеса.
ln (250 245) + (0,1 ? 0,18 + (0,2)2 2 ) ? 0,25
d1 = = 0,0520
0,2 0,25
N(d1) = 0,5207
d 2 = 0,5207 ? 0,2 0,25 = ?0,048
N(d2) = 0,4809
ce = 250e ?0,18?0, 25 ? 0,5207 ? 245?0,1?0, 25 ? 0,4809 = 15,3635 долл
Один контракт стоит:
15,3635 ? 100 =1536,35 долл.
Если инвестор располагает данными об абсолютном значении
выплачиваемых дивидендов, то в этом случае начальные значения
индекса, то есть величину S уменьшают на величину приведенной
стоимости дивидендов.
§ 36. ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ.
ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА
В настоящее время в качестве предмета опционного контракта
используются фьючерсные контракты. Они предлагаются на боль-
шую часть существующих сейчас фьючерсных контрактов. Наибо-
лее популярны опционы на фьючерсные контракты на
177
казначейские облигации США, зерно, сою-бобы, сырую нефть,
живой скот, золото, евродоллары, некоторые валюты. Контракты
преимущественно являются американскими.
При исполнении держатель опциона колл занимает длинную
позицию по фьючерсному контракту, а также получает сумму де-
нег, равную превышению фьючерсной цены над ценой исполне-
ния. Продавец опциона занимает короткую позицию по этому
контракту. При исполнении опциона пут владелец опциона зани-
мает по фьючерсному контракту короткую позицию, а также пол-
учает в деньгах разницу превышения цены исполнения над
фьючерсной ценой. Продавец опциона занимает по контракту
длинную позицию.
Пример. Инвестор купил американский опцион колл на фью-
черсный контракт на поставку 100 тонн товара по цене исполнения
100 долл. Через некоторое время фьючерсная цена товара подня-
лась до 120 долл., и инвестор исполнил опцион. В результате по
опционному контракту он получил выигрыш в размере:
(120 долл. - 100 долл) ? 100 = 2000 долл.
и открыл длинную позицию по фьючерсному контракту.
Срок фьючерсных контрактов обычно истекает вскоре после
окончания действия опционного контракта. В момент исполнения
опциона, то есть заключения фьючерсного контракта, цена по-
следнего равна нулю, и при желании, инвестор может закрыть его
с помощью оффсетной сделки без всяких потерь. В этом случае
схема выплат по операции будет аналогична выплатам по опцион-
ному контракту на акции.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
Премии европейских опционов колл и пут рассчитываются с
помощью формул, выведенных Блэком.
Для определения премии опциона фьючерсный контракт рас-
сматривают как акцию, выплачивающую дивиденд, ставка которо-
го равна ставке без риска л
Как отмечалось выше, премия европейского опциона на акцию,
выплачивающую дивиденд, курс которой в начале периода Т со-
ставляет величину 5, равна премии аналогичного опциона на ак-
цию, не выплачивающую дивидендов, цена которой в момент Т
составляет Se-qТ .
Открытие позиции по фьючерсному контракту не требует ника-
ких затрат, то есть они равны нулю. Поэтому в условиях отсутствия
риска ожидаемый доход от такого контракта также будет равен
нулю:
178
Oe ?rT = 0
При отсутствии риска ожидаемая доходность от прироста кур-
совой стоимости акции, выплачивающей дивиденд, равна r - q.
Поскольку ожидаемая доходность такой акции равна нулю, то это
возможно только в случае, когда r = q. Таким образом, если рас-
сматривать фьючерсный контракт как акцию, выплачивающую
дивиденд, ожидаемая доходность которой должна равняться нулю,
это возможно только, если в начале периода его стоимость равна
Fe-rT, где F — текущая фьючерсная цена. Поэтому для европей-
ских опционов на фьючерсные контракты формулы Блэка – Сколе-
са можно записать следующим образом:
ce = Fe ? rT N (d1 ) ? Xe ? rT N (d 2 ) = e ? rT [FN (d1 ) ? X (d 2 )]

p e = e ? rT [XN (? d 2 ) ? FN (? d1 )]
ln (F X ) + (? 2 2)T ln (F X ) + (? 2 2)T
где d1 = ; d2 = = d1 ? ? T
?T ?T
Как было показано выше, к моменту исполнения фьючерсного
контракта фьючерсная цена равняется цене спот. Поэтому премии
двух, опционов — опциона на фьючерсный контракт и просто
опционный контракт на актив, лежащий в основе фьючерсного
контракта, — будут одинаковыми, если фьючерсный и опцион-
ный контракт имеют одну и ту же дату истечения.
§ 37. ОПЦИОНЫ НА ОБЛИГАЦИИ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ
ОПЦИОНА. ОБЛИГАЦИИ С ВСТРОЕННЫМИ
ОПЦИОНАМИ
В западной практике заключаются опционные контракты на
облигации, например, на казначейские облигации США. В то же
время опционы на облигации менее популярны, чем опционы на
фьючерсные контракты на облигации.
Цена облигаций непосредственно зависит от уровня существу-
ющей на рынке процентной ставки. Поэтому опционные контрак-
ты заключаются в предположении уловить или застраховаться от
изменения ставки процента.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА
Премию европейских опционов колл и пут для купонных обли-
гации можно определить с помощью формул Блека-Сколеса
ln (B X ) + (r + ? 2 2)T
ce = BN (d1 ) ? Xe ? rT N (d 2 ) ; d 2 =
?T

179
pe = Xe ? rT N (? d 2 ) ? ?N (? d1 ) d 2 = d1 ? ? T
где — ? текущая цена облигации.
Если в течение действия опционного контракта по облигации
выплачиваются купоны, то цену облигации В необходимо умень-
шить на приведенную стоимость купонов. Стандартное отклоне-
ние цены облигации рассчитывается, исключая приведенную
стоимость купонных платежей. Как известно, цена облигации мо-
жет значительно отличаться от ее номинала, когда до погашения
бумаги остается много времени. По мере приближения времени
выкупа облигации цена ее приближается к нарицательной стоимо-
сти. В связи с этим меняется стандартное отклонение ее цены.
Поэтому вышеприведенные формулы следует использовать в слу-
чаях, когда срок опционного контракта существенно меньше вре-
мени, остающегося до погашения облигации.
В качестве цены исполнения может быть принята а) полная цена
облигации, то есть цена с учетом той части купонного платежа,
которую покупатель должен уплатить продавцу, когда исполнение
контракта приходится на какой-либо момент в течение купонного
периода; или б) котировочная цена, то есть чистая цена облигации.
Она не включает упомянутую часть купонного платежа. В этом
случае к котировочной цене необходимо прибавить сумму купона,
которая причитается продавцу, и полученный результат подста-
вить в формулу в качестве значения X.
Европейские опционы на облигации с нулевым купоном также
определяются по вышеприведенным формулам. Американский
опцион колл на облигацию с нулевым купоном не выгодно испол-
нять раньше срока истечения контракта, поэтому его премия будет

<< Предыдущая

стр. 25
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>