<< Предыдущая

стр. 30
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

он колл ему следует продать А единиц актива.
Пример. Дельта опциона колл равна 0,4. Инвестор выписал 5
опционов на акции, каждый контракт насчитывает 100 акций.
Чтобы хеджировать опционную позицию, ему надо купить
0,4 ? 500 акций = 200 акций.

209
Предположим, что через некоторое время цена акций упала на
1 долл. Тогда инвестор несет потери от акций в размере 200 долл.
Одновременно цена опциона для одной акции упала на:
0,4 ? 1 дол. = 0,4 долл.
Таким образом, его проигрыш от акций компенсируется выиг-
рышем по опционам. Он равен:
0,4 долл. ? 500 = 200 долл.
Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 долл. В этом
случае вкладчик получает выигрыш в 200 долл. от прироста курсо-
вой стоимости акции. Цена опциона на одну акцию выросла на 0,4
долл. Поэтому его проигрыш по опционам составляет 200 долл.
В рассмотренном примере дельта инвестора по опционным по-
зициям является отрицательной величиной, поскольку он продал
опционы. Она равна:
0,4 ? (-500) = -200.
Это означает, что инвестор потеряет по опционной позиции
сумму в размере 200 ? S долл., если цена актива возрастет на ? S, и
выиграет 200 ? S долл., если цена акций упадет на ? S. В случае
покупки опциона инвестор имеет положительную дельту. Соответ-
ственно он выиграет по опционам при росте курса акций и проиг-
рает при падении их цены.
Зная дельту актива, лежащего в основе опционного контракта,
коэффициент хеджирования можно определить еще следующим
образом: необходимо дельту актива разделить на дельту опциона.
В нашем примере дельта акции равна единице, поскольку она
определяется как
?S
?=
?S
Поэтому коэффициент хеджирования равен:
1: 0,4 = 5/2.
Это означает, что на каждые 5 проданных опционов следует
купить 2 акции. Если учесть, что в один опционный контракт
входят 100 акций, на пять опционных контрактов необходимо
купить 200 акций.




210
Для рассмотренного выше примера дельта всей позиции инве-
стора равна нулю, поскольку дельта акций полностью компенси-
рует дельту опционов. Позицию с дельтой, равной нулю,
называют дельта нейтральной.
На практике величина дельты постоянно меняется. Поэтому
позиция вкладчика может оставаться дельта нейтральной, то есть
дельта хеджированной, только в течение довольно короткого пе-
риода времени. В связи с этим при страховании дельтой хеджиро-
ванные позиции должны периодически пересматриваться.
Пример. Продолжая условия предыдущего примера, допустим,
что через некоторое время дельта возросла с 0,4 до 0,5. Это озна-
чает,что для сохранения хеджированной позиции необходимо
приобрести еще
0,1 ? 500 акций = 50 акций.
Мы рассмотрели опцион колл. Для опциона пут следует сделать
следующее дополнение. Поскольку дельта опциона пут отрица-
тельна, то, покупая опцион, инвестор должен купить соответству-
ющее число единиц актива. Продавая опцион, инвестор должен
продать соответствующее число единиц актива.
Дельта европейского опциона колл на акции, не выплачиваю-
щие дивиденды, равна:
? = N (d1 ) (79)

ln(S X ) + rT 1
где d1 = + ?T
?T 2
Хеджирование дельтой предполагает приобретение акций в ко-
личестве N(d1) при продаже опциона и продажу N(d1) акций при
покупке опциона. Для европейского опциона пут на акции, не
выплачивающие дивиденды, дельта равна:
? = N (d1 ) ? 1 (80)
Дельта европейского опциона колл на индекс акций, для кото-
рого известна ставка дивиденда, равна:
? = e ? qT N (d1 ), (81)

ln(S X ) + (r ? q + ? 2 2 )T
где d1 =
?T
Для европейского опциона пут она составляет:
211
? = e ? qT [N (d1 ) ? 1] (82)
Для европейского опциона колл на валюту:
? = E ? rjT N (d1 ), (83)

ln(S X ) + (r ? rj + ? 2 2 )T
где d 1 =
?T
Для европейского опциона пут
? = e ? rjT N (d1 ) ? 1 (84)
Дельта европейского опциона колл на фьючерсный контракт
? = e ? rT N (d1 ), (85)

ln(S X ) + (? 2 2 )T
где d 1 =
?T
Для европейского опциона пут на фьючерсный контракт
? = e ? rT [N (d1 ) ? 1] (86)
На практике при хеджировании дельтой часто используют не
актив, лежащий в основе опциона, а фьючерсный контракт на
данный актив. Срок фьючерсного контракта не обязательно дол-
жен совпадать с длительностью опционного контракта. Так, опци-
он, выписанный на индекс, можно хеджировать с помощью
фьючерсного контракта на индекс. Фьючерсная цена индекса, для
которого известна ставка дивиденда, равна
F = e (r? q )T S
где Т — время, остающееся до истечения фьючерсного контр-
акта.
При росте цены спот индекса на ? S выигрыш от фьючерсного
контракта составит:e (r-q)T?S . Таким образом, дельта фьючерсно-
го контракта равна е(r-q)T.
Если общую требуемую величину дельты по активу, лежащему
в основе опционного контракта, обозначить через А, а требуемую
фьючерсную позицию через АF, то число единиц актива фьючерс-
ного контракта для дельта хеджирования будет равно:
AF = e (r?q )T A (87)
212
Данная формула верна и для акций, выплачивающих дивиден-
ды, для которых известна ставка дивиденда. Для акций, не выпла-
чивающих дивиденды, число единиц фьючерсной позиции равно:
AF = e ? rT A (88)
Для контрактов на валюту формула примет следующий вид:
AF = e (r ?re )T A (89)
Пример. Инвестор выписал 20 опционов колл на акции, не вы-
плачивающие дивиденды. Каждый опцион насчитывает 100 ак-
ций. Дельта опциона равна 0,4. Вкладчик планирует хеджировать
свою позицию с помощью фьючерсного контракта. До истечения
фьючерсного контракта на данные акции остается три месяца,
один контракт включает 250 акций. Непрерывно начисляемая
ставка без риска равна 15%.
Дельта инвестора по опционной позиции составляет:
0,4 ? (-2000) = - 800.
Число единиц актива фьючерсного контракта равно:
800e-0,15?0,25 = 770,5.
Поскольку один контракт насчитывает 250 акций, это означает,
что инвестору необходимо купить три фьючерсных контракта.

ДЕЛЬТА ПОРТФЕЛЯ
При хеджировании портфеля, в который входят несколько оп-
ционов на один и тот же актив, дельта портфеля будет равна сумме
дельт, входящих в него опционов, а именно:
N
?p = ? pi ? i (90)
i =1

где ? р — дельта портфеля;
р i — число единиц опционов (в единицах актива) i-го опциона,-
? i — дельта i-го опциона.
Пример. Инвестор открыл следующие позиции по опционным
контрактам на акции компании А (каждый опцион насчитывает по
100 акций): а) купил 80 опционов колл на три месяца, дельта равна
0,45; б) продал 60 опционов пут на два месяца, дельта равна -0,5.
Дельта портфеля в этом случае составит:
8000 ? 0,45 - 6000 ? (-0,5) = 6600.

213
Это означает, что портфель можно сделать дельта нейтральным,
продав 6600 акций компании А.
в) Гамма
Хеджирование дельтой позволяет инвестору застраховаться
только от небольших изменений цены актива. Для хеджирования
более значительных изменений цены актива необходимо исполь-
зовать такой показатель, как гамма. Гамма — это коэффициент,
который показывает скорость изменения дельты по отношению к
изменению цены актива, лежащего в основе опционного контрак-
та. Она равна:
? 2C
r= 2
?S
где Г— гамма.
Графически гамма представляет собой кривизну дельты, то есть
показывает, насколько быстро меняется кривизна графика дельты
при изменении цены актива. Поэтому гамму именуют еще кривиз-
ной опциона. Если гамма имеет небольшую величину, то это
означает, что его дельта меняется на малое значение при измене-
нии цены актива. Напротив, большое значение (по абсолютной
величине) говорит о том, что дельта будет меняться в существенной
степени. В первом случае для поддержания дельта нейтрального
портфеля от инвестора не потребуется частого пересмотра своей
позиции. Во втором случае вкладчик будет вынужден часто пере-
сматривать свой портфель, чтобы сохранить его дельта нейтраль-
ным. В противном случае он подвергает себя большому риску.
Начинающим инвесторам следует избегать опционов с большой
гаммой. Большая гамма говорит о большом риске изменения цены
опциона в связи с изменением условий рынка. Гамма измеряется
в дельтах на один пункт изменения цены актива. Например, гамма
равна 0,03. Это означает, что при повышении цены актива на один
пункт дельта опциона возрастает на 0,03 единицы. Наоборот, при
падении цены актива на один пункт дельта понизится на 0,03
единицы. Допустим, дельта составляет 0,4. При повышении цены
актива на один пункт дельта возрастет до 0,43. Если цена актива
возрастет еще на один пункт, то дельта увеличится до 0,46. Гамма,
в отличие от дельты, является положительной величиной для
длинных опционов колл и пут. Поэтому, когда цена актива повы-
шается, значение гаммы прибавляется к дельте, когда понижается,
— отнимается от нее. Для коротких опционов колл и пут гамма



214
отрицательна. Зная значение гаммы, инвестор может поддержи-
вать свою позицию дельта нейтральной, покупая или продавая
соответствующее число единиц актива для новой дельты.
С изменением условий на рынке величина гаммы также будет
меняться. Гамма достигает наибольшей величины для опционов
без выигрыша и уменьшается по мере того, как опцион все больше
становится с выигрышем или проигрышем (см. рис. 77). Значение
гаммы меняется с течением времени и вследствие изменения стан-
дартного отклонения цены актива (см. стр. 78). Как следует из
графиков, гамма опциона без выигрыша может резко возрасти при
уменьшении времени до истечения контракта и уменьшении дис-
персии цены актива.
Гамма европейских опционов колл и пут на акции, не выплачи-
вающие дивиденды, определяется по формуле
N ' (d 1 )
Г= (91)
S? T

ln(S X ) + (r + ? + ? 2 2 )T
где d 1 =
?T




Для европейских опционов колл и пут на индекс с известной
ставкой дивиденда
N ' (d 1 )e ? qT ln(S X ) + (r ? q + ? 2 2 )T
Г= , где где d 1 = (92)
?T
S? T
215
Рис.78. Зависимость гаммы от времени до истечения и дисперсии цены
актива
Для европейских опционов колл и пут на валюту
N ' (d 1 )e ? rjT
Г= (93)
S? T
Для европейских опционов колл и пут на фьючерсные контракты
N ' (d 1 )e ? rjT
Г= (94)
F? T
Для того, чтобы застраховать свой портфель от изменения цены
актива, лежащего в основе опциона, инвестор должен создать по-
зицию с нейтральной гаммой. Допустим, вкладчик имеет дельта
нейтральный портфель, гамма которого равна Г. Он открывает
позиции еще на n опционов, гамма каждого из которых равна Гn.
Тогда гамма нового портфеля будет равна
.
Гv = Г + Гn n (95)
где ГV — гамма нового портфеля.
Из формулы (95) видно, что для формирования гамма нейтраль-
ного портфеля инвестор должен открыть позиции по опционам в
Г
количестве n = ?
Гn
Пример. Инвестор сформировал дельта нейтральный портфель,
гамма которого равна 120. Гамма опциона (100 акций) равна 1,2.
Портфель будет гамма нейтральным, если инвестор откроет корот-
кую позицию по 120 : 1,2 = 100 опционам.
216
а) Тета
Тета — это коэффициент, который показывает, с какой скоро-
стью падает цена опциона по мере приближения срока истечения

<< Предыдущая

стр. 30
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>