<< Предыдущая

стр. 4
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ной стоимости цены поставки. Данную цену можно найти также
иным путем. Новая, то есть текущая форвардная цена, для контр-
актов, которые заключаются в момент продажи первого контракта,
должна составлять:
53 руб. e 0,1?0,5 = 54,34 руб.
Полученная величина должна равняться сегодня цене поставки,
зафиксированной в первом контракте, плюс будущая стоимость
форвардного контракта к моменту его истечения, то есть:
22
54,34 руб. = 52,56 руб + f e 0,1?0,25
или
f = (54,34 руб. - 52,56 руб )e -0,1?0,25 = 1,74руб.
Таким образом, можно сказать, что цена форвардного контрак-
та равна приведенной стоимости разности между текущей форвар-
дной ценой и ценой поставки. При нарушении данного условия
возникает возможность совершить арбитражную операцию. Если
в нашем случае форвардный контракт будет стоить больше, чем
1,74 руб., то инвестор продаст контракт и купит акцию. Если цена
контракта меньше 1,74 руб., то инвестор купит контракт и продаст
акцию.
Докажем выведенные выше формулы в более общей форме.
Предположим, имеется два портфеля А и Б. Портфель А состоит
из одного длинного форвардного контракта, который стоит f и
суммы денег, равной приведенной стоимости цены поставки ак-
ции, то есть Ке -rT , где К — цена поставки. Портфель Б состоит из
одной акции, цена спот которой равна S. По прошествии времени
Т портфель Б будет состоять из одной акции. В портфель А также
войдет одна акция, поскольку величина Ке-rT за период времени Т
возрастет до К. Данная сумма денег используется для приобрете-
ния акции по форвардному контракту. Таким образом, стоимость
портфелей А и Б равна в конце периода Т. Следовательно, в начале
периода Т их стоимость также равна, так как при нарушении
данного равенства возникает возможность совершить арбитраж-
ную операцию. Поэтому можно записать, что
f+Ke-rT=S
или
f=S-Ke-rT
Поскольку в момент заключения контракта f=0, a K=F, где F —
форвардная цена, то
S = Fe-rT или
f=(F-K)e-rT (4)
б) Форвардная цена и цена форвардного контракта на активы,
выплачивающие доходы
Определим форвардную цену и цену форвардного контракта на
активы, выплачивающие известный доход в течение действия
контракта. В качестве примера могут служить акции или купонные
облигации.
23
Пример. Цена спот акции равна 50 руб. Через три и шесть меся-
цев на нее выплачиваются дивиденты по 5 руб. Непрерывно начис-
ляемая ставка без риска на три месяца — 8 %, на шесть месяцев —
10%. Необходимо определить форвардную цену и цену форвард-
ного контракта, исполнение которого наступит через шесть меся-
цев. Инвестор имеет две альтернативы: приобрести акцию сейчас
или через полгода, купив сегодня форвардный контракт. Если он
выберет первую стратегию, то получит два дивидента и будет рас-
полагать акцией. Чтобы получить точно такой же результат по
второй стратегии, он должен инвестировать сегодня приведенную
стоимость цены поставки и двух дивидентов и купить форвардный
контракт: таким образом, цена спот акции сегодня должна рав-
няться сумме приведенных стоимостей цены поставки и дивиден-
тов, т.е.:
50 руб. = 5 руб. e-0.08х0.25 + 5 руб. e-0.1х0,5 + Fe-0,1x0,5

Откуда F = 42,41 руб. Таким образом,

S = Fe-r 1T + Div [e-r2 (T - t)] Отсюда

F = S – Div [e-r 1T + e-r2 (T - t)] e-r 1T

Если форвардная цена отличается от найденной величины, то
возникает возможность совершить арбитражную операцию. Допу-
стим, F=43 руб. Тогда инвестор продает форвардный контракт и
покупает акцию, заняв 50 руб.
Из данной суммы он занимает 5 руб. e-0.08х0.25 = 4,9 руб. на три
месяца под 8%, чтобы возвратить эту часть долга с помощью пер-
вого дивиденда. Оставшуюся сумму 45,1 руб. он занимает на пол-
года под 10%. Через шесть месяцев он должен вернуть
45,1 руб. е0.1х0.5= 47,41 руб.
К этому моменту времени инвестор получает второй дивиденд и
цену поставки и возвращает долг. Ею прибыль от операции равна:
43 руб. + 5 руб. -47,41 руб. = 0,59 руб.
Допустим теперь, что F = 42 руб. В этом случае арбитражер
занимает у брокера акцию, продает ее за 50 руб. и покупает фор-
вардный контракт. Поскольку вкладчик занял у брокера акцию, то
он должен выплатить ему дивиденды, которые выплачиваются
компанией на эту бумагу в течение действия контракта. Поэтому
из полученных 50 руб. вкладчик инвестирует 4,9 руб. натри месяца
24
под 8%, чтобы за счет этой суммы выплатить первый дивиденд.
Оставшиеся 45,1 руб. он инвестирует на шесть месяцев под 10%. В
конце действия контракта он выплачивает второй дивиденд, пла-
тит 42 руб. за акцию и возвращает ее брокеру. Прибыль по данной
сделке составляет:
47,41 руб. - 5 руб. -42 руб. = 0,41 руб.
После того как мы рассмотрели технику определения форвард-
ной цены, перейдем к расчету цены форвардного контракта, когда
он покупается на вторичном рынке. Допустим, что до истечения
контракта остается шесть месяцев, через три и шесть месяцев будут
выплачены дивиденды по 5 руб. Контракт был заключен некоторое
время назад и продается в настоящий момент. Цена поставки равна
40 руб., цена спот акции составляет 50 руб. Ставка без риска на три
месяца 8% и шесть месяцев 10%. Необходимо определить сто-
имость форвардного контракта.
Как мы уже нашли выше, для указанных условий в момент
покупки контракта текущая форвардная цена составляет 42,41 руб.
Инвестор имеет две альтернативы.
I. Купить акцию сейчас за 50 руб., в этом случае в течение
последующих шести месяцев он получит два дивиденда.
II. Купить форвардный контракт на поставку акции через шесть
месяцев по цене 40 руб. В этом случае он не получит двух дивиден-
дов. Чтобы инвестор был безразличен к выбору первого и второго
варианта, они должны быть для него одинаковыми с финансовой
точки зрения. По второму варианту он заплатит через полгода 40
руб. Следовательно, в момент покупки контракта эта сумма экви-
валентна величине:
40 руб. е -0,1?0,5 = 38,05 руб.
Приведенная стоимость дивидендов к моменту покупки контр-
акта составляет:
( )
5руб. е -0,8?0,25 + e -0,1?0,5 = 9,66 руб.
Другими словами, вкладчик может не покупать акцию, чтобы
получить дивиденды, а инвестировать сегодня 9,66 руб. на три и
шесть месяцев под 8% и 10% соответственно. В этом случае он
получит доход, эквивалентный сумме дивидендов.
При первой стратегии к концу шестимесячного периода инве-
стор будет располагать акцией. По второму варианту инвестор
будет располагать акцией к этому моменту времени, если сегодня
купит форвардный контракт по некоторой цене f. Таким образом,
25
чтобы через шесть месяцев располагать акцией и дивидендами, по
первой стратегии инвестор должен заплатить сегодня 50 руб. Что-
бы через шесть месяцев располагать акцией и доходами, эквива-
лентными двум дивидендам по второй стратегии, вкладчик должен
инвестировать приведенную стоимость цены поставки, то есть
38,05 руб., приведенную стоимость будущих дивидендов, то есть
9,66 руб., и заплатить за контракт цену f. Сумма инвестиций для
обоих вариантов должна быть одинаковой, иначе возникает воз-
можность совершить арбитражную операцию, то есть
50 руб. = 38,05 руб. + 9,66 руб + f

Отсюда f = 2,29 руб.
Если цена контракта будет больше 2,29 руб., то арбитражер
продаст контракт и купит акцию. Если цена контракта меньше 2,29
руб., то он продаст акцию и купит контракт.
Запишем полученный выше результат в общем виде:
S = Ke r1T + Div ?er1T + e r2 (T ?t )? + f 5
? ?
? ?
где Г= 6 месяцев, t = 3 месяца.
В момент заключения контракта f=0 и K=F, поэтому для этого
момента
S = Fe-r1T + Div [e-r2 (T - t)]
Подставив значение S в формулу (5), получим:
? r1T
f = (R ? K )e (6)
Мы пришли к тому же выводу, который сделали при рассмотре-
нии первого примера, а именно: цена форвардного контракта рав-
на приведенной стоимости разности текущей форвардной цены и
цены поставки. Для нашего примера она равна:
f = (42,41 руб. - 40 руб.)e -0,1?0,5 = 2,29 руб.
Приведем теперь более строгое доказательство полученного
выше результата. Допустим, имеется два портфеля А и Б. В порт-
фель А входит длинный форвардный контракт на приобретение
акции, выплачивающей дивиденд, сумма денег, равная приведен-
ной стоимости цены поставки Ке-FT, которая инвестируется на
период Т под процент r, и сумма денег, равная приведенной сто-
имости дивиденда Div e-rT , которая также инвестируется под про-
цент r на период времени t (t<=T и представляет собой момент
26
выплаты дивиденда на акцию). В портфель Б входит одна акция. К
концу периода Т портфель А будет состоять из акции и суммы
денег, равной дивиденду. За этот период времени величина Ке-rТ
превратилась в К и была использована на приобретение акции, а
сумма Div e-rT стала равна величине дивиденда.
Портфель Б также будет состоять из акции и выплаченного на
нее дивиденда Div. Поскольку стоимости двух портфелей равны к
концу периода Г, то в начале этого периода они также должны быть
равны, чтобы исключить возможность арбитражной операции.
Поэтому можно записать, что
f + Ke ? rT + Div ? rT = S
или
f = S ? K e ? rT ? Div e ? rt (7)
Поскольку
S = F e ? rT + Div e ? rt (8)
то, подставляя из формулы (8) значение SB формулу (7), получаем:
f = (F ? K ) e -rT
в) Форвардная цена и цена форвардного контракта на акции,
для которых известна ставка дивиденда
В расчетах инвестор может пользоваться не только значением
абсолютной величины выплачиваемого на акции дивиденда, но
также и таким показателем, как ставка дивиденда, которая пред-
ставляет собой отношение дивиденда к цене акции. В соответствии
с принятым выше порядком мы рассматриваем в наших примерах
ставку дивиденда как непрерывно начисляемую. С теоретической
точки зрения это означает, что дивиденд начисляется и постоянно
реинвестируется на очень короткие промежутки времени. Если
инвестор имеет данные о ставке дивиденда в расчете на год, то по
формуле (1) он легко может пересчитать его в непрерывно начис-
ляемый дивиденд.
Значение ставки дивиденда может меняться в течение периода
действия форвардного контракта, поэтому для такого случая в
расчетах следует использовать среднюю ставку дивиденда. Значе-
ние ставки дивиденда обозначим через q.
Предположим, имеется акция, курс спот которой составляет 50
руб., через три месяца на нее выплачивается дивиденд, непрерыв-
но начисляемая ставка которого равна 8%, ставка без риска 10%.

27
Необходимо определить форвардную цену, если контракт заклю-
чается на три месяца, выплата дивиденда происходит до поставки
акции по контракту. Как и в предыдущих примерах, инвестор
имеет две альтернативы. I. Купить акцию сегодня и получить на
нее через три месяца дивиденд. II. Заключить сегодня форвардный
контракт на приобретение акции через три месяца, инвестировать
на этот период под ставку без риска дисконтированную стоимость
форвардной цены и дисконтированную стоимость суммы, эквива-
лентную величине дивиденда, выплачиваемого на акции. Соглас-
но первой стратегии в начале трехмесячного периода
инвестируется 50 руб. В соответствии со второй стратегией инве-
стируется сумма, равная:
Fe-0,1?0,25+(50e 0.08?0.25-50)e -0,08ч0,25 руб.
или
Fe-0,1?0,25 +50(1-e-0,08?0,25)руб.
Суммы, инвестируемые в обоих случаях, должны быть равны,
иначе возникнет возможность совершить арбитражную операцию,
поэтому
50 руб. = Fe -0.l?0.25 + 50 (1 - e-0.08?0.25) руб.

F= 50,25 руб.
Таким образом, если форвардная цена будет больше 50,25 руб.,
то инвестор продаст контракт и купит акцию. Если форвардная
цена меньше 50,25 руб., то инвестор продаст акцию и купит контр-
акт. Запишем наши рассуждения в общей форме и выведем фор-
мулу для определения форвардной цены. В соответствии с первой
стратегией вкладчик инвестирует цену спот акции, то есть S. Со-
гласно второй стратегии инвестируется величина
Fe-rT + S-Se-qT
Обе величины должны быть равны, то есть
S = Fe-rT + S-Se-qT
Откуда
Fe-rT = Se-qT
или


28
F=Se(r-q)T (9)
Предположим теперь, что через некоторое время после его за-
ключения контракт продается на вторичном рынке. Поскольку на
рынке возникла уже новая форвардная цена, то для реализации
второй стратегии инвестор должен заплатить за контракт некото-
рую сумму f. В итоге должно соблюдаться равенство:
S = Ke-rt + S-Se-qt+f
где t — время от момента покупки до истечения контракта.
Отсюда
f=Se-qt-Ke-rt (10)
Как мы определили, форвардная цена для момента t равна:
F=Se(r-q)t (11)
Подставив значение S из формулы (11) в формулу (10), получаем
f=Fe-(r-q)te-qt-Ke-rt
или
f=(F-K)e-rt (12)
Вернемся теперь к нашему примеру и определим стоимость
форвардного контракта, если он продается за два месяца до его
истечения, и цена спот акции в этот момент равна 52 руб. В соот-
ветствии с формулой получаем:
52 руб. е-0.08?0.1667 -50,25 руб. е-0.1?0.1667 = 1,89 руб.
Приведем теперь более строгое доказательство определения
форвардной цены и цены форвардного контракта. Предположим,
имеется два портфеля. В портфель А входит длинный форвардный

<< Предыдущая

стр. 4
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>