<< Предыдущая

стр. 6
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

щих различные сроки до погашения. Рис. 2 показывает, что про-
центная ставка возрастает по мере увеличения срока обращения
облигаций. Данная форма кривой является наиболее характерной
для рынка. На рис. 3 представлена обратная ситуация. Рис. 4 опи-
сывает конъюнктуру, когда среднесрочные ставки по облигациям
выше краткосрочных и долгосрочных. Таким образом, в каждый
данный момент аналитик имеет картину распределения процент-
ных ставок по времени, представленную кривой доходности.
Кривая доходности строится на основе реально существующих
на рынке значений ставок процента и времени до погашения об-
лигаций.
Для анализа ситуации на рынке большую роль играет кривая
доходности, построенная на основе облигаций с нулевым купо-
ном. Она представляет собой зависимость между уровнем доход-
ности и временем до погашения государственных облигаций с
нулевым купоном. Аналитик использует данную кривую для оп-
ределения возможностей совершения арбитражной операции.
Любую купонную облигацию можно представить как совокуп-
ность облигаций с нулевым купоном, номинал которых равен ку-
пону и нарицательной стоимости облигации (для последнего
платежа), и выпущенных на сроки, соответствующие срокам пога-
шения купонов и облигации. Доходность купонной облигации и
облигаций с нулевым купоном должна быть одинакова, в против-
ном случае возникает возможность совершить арбитражную опе-
рацию. Например, если доходность облигаций с нулевым купоном
ниже, чем купонной облигации, то инвестор купит купонную об-
лигацию и продаст пакет облигаций с нулевым купоном, платежи
по которым будут соответствовать по размеру и времени платежам

37
по купонной облигации. По данной операции вкладчик получит
прибыль, поскольку пакет дисконтных облигаций стоит больше,
чем купонная облигация. Если купонная облигация имеет более
низкую доходность, чем соответствующая ей дисконтная облига-
ция, то инвестор купит облигации с нулевым купоном таким обра-
зом и на такие суммы, чтобы их погашение соответствовало
погашению купонов и номинала для купонных облигаций, и про-
даст созданную им искусственным образом купонную облигацию.
Поскольку в этом случае купонная облигация стоит дороже при-
обретенного вкладчиком пакета облигаций с нулевым купоном, то
он получит соответствующую прибыль.
Различают спотовую процентную ставку и форвардную ставку.
Спотовая процентная ставка для периода в п лет — это ставка для
облигации с нулевым купоном, до погашения которой остается n
лет. Например, эмитируется дисконтная облигация на 1 год с
доходностью 10%. Это означает, что ставка процента спот на один
год равна 10%. Выпускается облигация на 2 года с доходностью
11%. Это означает, что спотовая процентная ставка на два года
равна 11% и т.д. График, который отражает зависимость между
существующими спотовыми ставками и временем до погашения
облигации, называется кривой доходности спот. Для построения
кривой берутся значения доходности реально обращающихся на
рынке облигаций с нулевым купоном.
Располагая данными о ставках спот за п периодов начисления
процента и цене купонной облигации за п +1 период, можно
рассчитать теоретическую ставку спот для п + 1 периодов.
Пример. Ставка спот на один год составляет 10%, на два — 11%,
купонная облигация, до погашения которой остается три года,
продается по цене 916 руб., номинал облигации 1000 руб., купон
— 8% и выплачивается один раз в год. Необходимо определить
теоретическую ставку спот для трех лет.
Как было отмечено выше, доходность купонной облигации и
пакета дисконтных облигаций должны быть равны, чтобы исклю-
чить возможность арбитражных операций. Поэтому должно вы-
полняться следующее равенство:


1080
80 80
+ + = 916
1 + 0,1 (1 + 0,1)2 (1 + r )3


где r — теоретическая ставка спот для трех лет.
38
Решая уравнение, получаем, что r= 11,5%. Аналогичным обра-
зом определяется теоретическая ставка спот для каждого следую-
щего периода. Запишем использованное уравнение в общем виде:
C+H
C C C
+ + + + =P (24)
(1 + rn ?1 ) (1 + rn )
n ?1
1 + r1 (1 + r2 )2 n

где С — купон облигации, до погашения которой осталось n
периодов;
Р — цена купонной облигации;
H — номинал купонной облигации;
r1 r2, ...,RN-1 — известные ставки спот для соответствующих пе-
риодов;
rn — ставка спот, величину которой требуется рассчитать.
Форвардная процентная ставка — это ставка для периода вре-
мени в будущем, которая определяется ставкой спот.
Пример. Ставка спот на один год составляет 10%, на два — 11%.
Определить форвардную ставку для второго года (то есть ставку
спот, которая будет на рынке через год для облигации с нулевым
купоном, выпущенной на год).
Допустим, вкладчик покупает облигацию с нулевым купоном,
выпущенную на два года, которая будет погашена по цене 1000 руб.
Тогда в начале двухлетнего периода он инвестирует сумму, равную

1000 : (1,11)2 = 811,62 руб.

Инвестор может выбрать иную стратегию, а именно, купить
облигацию сроком на один год и далее реинвестировать получен-
ные от погашения облигации средства еще на один год. Ему без-
различно, какую стратегию выбрать, если во втором случае он
также получит через два года 1000 руб., инвестировав сегодня
811,62 руб. Чтобы ответить на вопрос, под какой процент ему
следует реинвестировать средства на второй год, составим следую-
щее уравнение:

1000 = 811,62 (1 + 0,1) (1 +re),

где re — форвардная ставка через год.
Решая уравнение, получаем re = 12%.
Запишем уравнение несколько иначе. Поскольку начальная
сумма инвестиций и итоговая сумма, которую вкладчик получит
через два года, равны, то должно выполняться равенство

39
1000 1000
=
(1 + 0,1)(1 + rв )
(1 + 0,11)2
или
(1,11)2
= ?1

1,1
Запишем уравнение определения форвардной ставки в общей
форме
(1 + rn )2 1
= ?
rв (25)
(1 + rn ?1 )n ?1

где rв — форвардная ставка для периода п-(п-1);
rп — ставка спот для периода n;
rп-1 — ставка спот для периода п-1.
Выведем формулу определения форвардной ставки для непре-
рывно начисляемого процента. Рассмотрим технику на примере
данных предыдущей задачи.
Непрерывно начисляемый процент для первого года равен:
ln (1 + 0,1) = 0,0953 или 9,53%
Непрерывно начисляемый процент для второго года равен:
ln (1 + 0,1) = 0,10436 или 10,436%
1000 1000
=
e0,1044?2 e0,0953 ? e rв
e0,1044?2

e= = 1,12
0.0953
e
ln e rв = ln 1,12 ; rв = 11,35%
Для проверки переведем полученный результат в простой про-
цент

e 0,1135 ? 1 = 0,12 или 12%
Запишем решение в общей форме
e rn ?n

e=
e rn ?1 ?(n ?1)
e rn ?n
rв = ln
e rn ?1 ?(n ?1)
40
rв = rп ? n ? rп-1 (n ? 1) (26)
Формула (26) позволяет определить форвардную ставку, если n
равно целым числам. Модифицируем ее для периода времени t,
который равен некоторому отрезку в рамках года, при этом: t2 > t1,
r2 — ставка спот для периода t2,
r1 — ставка спот для периода t1.
t
r2 2
e 365
rв t 2-t1 = ln
t
r1 1
e 365
t2 t
? r1 1
rв t 2-t1 = r2
365 365
Поскольку полученный результат составляет форвардную став-
ку для периода t2 - t1, то в расчете на год она равна
1
(r2 t 2 ? r1t1 ) 365
rв t 2-t1 =
t 2 ? t1
365
r t ?r t
rв t 2-t1 = 2 2 1 1 (27)
t 2 ? t1
Пример. Непрерывно начисляемая ставка спот на 270 дней со-
ставляет 9%, для 210 дней 8,75%. Определить форвардную ставку
для двух месяцев на период времени через семь месяцев.
0,09 ? 270 ? 0,0875 ? 210
rв = = 0,09875 или 9,875%
60
Между доходностью купонной облигации, дисконтной облига-
ции и форвардной ставкой существуют соотношения, которые
наглядно представлены на рис. 5 и 6.




Рис. 5 Рис. 6 41
§ 5. ТЕОРИИ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ
ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Существуют три наиболее признанных теории, которые объяс-
няют форму кривой временной структуры процентных ставок, а
именно, теория чистых ожиданий, теория премии за ликвидность
(теория предпочтения ликвидности) и теория сегментации рынка.
а) Теория чистых ожиданий
Теория чистых ожиданий и теория предпочтения ликвидности
в качестве своего главного элемента рассматривают форвардные
ставки. В соответствии с теорией чистых ожиданий сегодняшняя
форвардная ставка в среднем равна ожидаемой будущей ставке
спот для того же периода, то есть для периода, для которого рассчи-
тана форвардная ставка. Теория полагает, что на рынке присутст-
вует большое число инвесторов, которые стремятся получить
наибольший уровень доходности и не имеют предпочтений отно-
сительно выбора облигаций с каким-то определенным временем
до погашения в рамках некоторого инвестиционного горизонта.
Поэтому рост доходности облигации с каким-либо сроком до по-
гашения по сравнению с другими облигациями привлечет к ним
внимание инвесторов. В результате активной покупки данных об-
лигаций цена их возрастет и, следовательно, понизится доход-
ность. Поскольку вкладчики одновременно будут продавать другие
облигации, чтобы купить более доходные, то цена их упадет, а
доходность возрастет. В результате таких действий через некоторое
время на рынке установится равновесие, и инвестор будет безраз-
личен, какую облигацию купить, поскольку любая стратегия в
такой ситуации принесет ему одинаковую доходность. Если вновь
произойдет отклонение в доходности бумаг от состояния равнове-
сия, то вновь начнется активная торговля и через некоторое время
равновесие восстановится. Таким образом, в соответствии с тео-
рией чистых ожиданий на рынке устанавливается положение рав-
новесия относительно дохода, который может получить инвестор,
преследуя ту или иную стратегию. Чтобы такая ситуация действи-
тельно имела место, форвардная ставка должна быть равна ожида-
емой будущей ставке спот. Проиллюстрируем сказанное на
примере. Допустим, инвестиционный горизонт вкладчика состав-
ляет 4 года. Ставка спот для четырехлетней облигации равна 10%.
Купив данную облигацию, вкладчик обеспечит себе доходность из
расчета 10% годовых. Одновременно он имеет другие альтернати-
вы: а) последовательно купить в течение четырех лет четыре годич-
42
ных облигации; б) две двухгодичные облигации; в) одну трехгодич-
ную и одну одногодичную облигации. Все перечисленные страте-
гии должны принести инвестору одинаковую доходность, в
противном случае он предпочтет более доходную менее доходной.
Допустим, инвестор решил купить последовательно две двухгодич-
ные облигации. Ставка спот такой облигации равна 9%. Чтобы он
оказался безразличным между выбором отмеченной стратегии или
четырехгодичной бумаги, должно выполняться равенство:
1,14 = 1.092 (1 + rв)2
где rв — форвардная ставка

1,14
rв = ? 1 = 0,1101 или 11,01 %
2
1,09
Доходность инвестора в расчете на год за весь четырехлетний
период составит

<< Предыдущая

стр. 6
(из 33 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>