<< Предыдущая

стр. 19
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

С — купон облигации,
N — номинал облигации,
п — число лет до погашения облигации.
Сумма в квадратных скобках в правой части уравнения (87) пред-
ставляет собой средневзвешенное время до погашения купонов и но-
минала облигации, где весами выступают приведенные стоимости
платежей.

116
Например, если облигация погашается через три года, то выраже-
ние в квадратных скобках уравнения (87) примет вид:
1? C 2?C 3? C 3? N
+ + +
1 + r (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )3
где: 1, 2 и 3 — годы, когда выплачивается купоны и номинал по обли-
C
гации. Первый год входит в уравнение с уд. весом (приведнная
1+ r
C
стоимость первого купона), 1-ой — с уд. весом и 3-й —
(1 + r )2
C
(1 + r )3
С помощью уравнения (87) можно приблизительно определить
изменение цены облигации при малом изменении доходности до по-
гашения.
Разделим обе части уравнения (87) на Р
1 ? n t ?C n? N ? 1
dP 1
??
? =? + ?? (88)
1 + r ? t =1 (1 + r )t (1 + r )t ? P
dr P
Уравнение (88) говорит о приблизительном процентном измене-
нии цены облигации.
? n t ?C n? N ? 1
Величину ?? + ? в правой части уравнения (88)
(1 + r )t (1 + r )n ? P
? t =1 ?
называют дюрацией (duration — протяженностью) Макоули. Обозна-
чим ее через D. Дюрация представляет собой эластичность цены обли-
гации по процентной ставке и поэтому служит мерой риска изменения
цены облигации при изменении процентной ставки.
Наглядно можно показать следующим образом. Продифференци-
руем уравнение (63) по (1 + r).
1 ? n t ?C n? N ?
dP
(1 + r ) ?? (1 + r )t (1 + r )t ?
=? + (89)
d (1 + r ) ? t =1 ?
1+ r
Умножим обе части уравнения (89) на
P

117
1 ? n t ?C n? N ?
(1 + r )
dP
?
? =? +
(1 + r ) ? t =1 (1 + r ) t (1 + r ) t ?
d (1 + r ) ? ?
P
или
1 ? n t ?C n? N ?
dP / P
= ? ?? +
P ? t =1 (1 + r ) t (1 + r ) t ?
d (1 + r ) /(1 + r ) ?
или
dP / P
= ?D (90)
d (1 + r ) /(1 + r )
Левая часть уравнения (90) — это эластичность цены облигации
относительно доходности до погашения (или более точно, относи-
тельно (1 + r)).
Как видно из уравнения (90), чем меньше величина дюрации, тем в
меньшей степени цена облигации будет реагировать на изменение
процентной ставки и наоборот. Перед дюрацией стоит знак минус.
Это говорит о том, что доходность до погашения и цена облигации
изменяются в противоположном направлении.
Пример 1.
Номинал облигации 1 млн. руб., купон 20% и выплачивается один
раз в год, до погашения остается 3 года, доходность до погашения
20%. Цена облигации равна 1 млн. Определить дюрацию облигации.
Она равна:
?1 ? 200000 2 ? 200000 3 ? 1200000 ? 1
D=? + + = 2,53 года
(1 + r ) 3 ? 1000000
1+ r (1 + r ) 2
? ?
Допустим, что доходность до погашения выросла на 1%, тогда це-
на облигации снизилась до
1200000
200000 200000
+ + = 979260,66
1 + 0,21 (1 + 0,21) (1 + 0,21)
2

Найдем процентное изменение цены облигации в результате изме-
нения доходности до погашения:
979260,66 ? 1000000
= ?0,0207 или 2,07%
1000000
Как видно из примера, дюрация облигации равна 2, 53 года, и при
небольшом изменении процентной ставки процентное изменение це-

118
ны облигации составило 2, 07%. Таким образом, дюрация облигации
приблизительно говорит о том, на сколько процентов изменится цена
облигации при изменении ее доходности на небольшой процент. По-
казатель дюрации можно использовать не только в отношении обли-
гаций, но и других активов, которые предполагают известные суммы
выплат. Дюрация облигации с нулевым купоном равна периоду вре-
мени, который остается до ее погашения.
Дюрация определяется в купонных периодах. Если купоны выпла-
чиваются 1 раз в год, то величина дюрации равна количеству лет. Ес-
ли купоны выплачиваются т раз в год, то дюрацию в годах можно
определить по следующей формуле:




где: т - число периодов, за которые выплачиваются купоны в течение
года.

Пример 2.
Дюрация облигации в купонных периодах равна 7, 4 года. Купоны
выплачиваются два раза в год. Определить дюрацию в годах.
Она равна:
7,4 года :2=3,7 года
Запишем формулу (88), обозначив дюрацию через D.
dP 1 1
?= D (92)
dr P 1 + r
1
Величину D называют модификацированной дюрацией. Обо-
1+ r
значим ее через Dm. Тогда формула (92) примет вид:
dP 1
? = ? Dm (93)
dr P
Модифицированная дюрация говорит о том, на сколько процентов
изменится цена облигации при изменении доходности до погашения
на небольшой процент. Эта зависимость станет более наглядной, если
уравнение (93) представить следующим образом:
dP
= ? Dm ? dr (94)
dr
119
Продолжим пример I и рассчитаем модифицированную дюрацию для
облигации, если дюрация Макоули, как мы определили, равна 2, 53
года.
2,53
Dm = = 2,108 лет
1 + 0,2
Модифицированная дюрация измеряется в купонных периодах.
Если купоны выплачиваются один раз в год, то значение модифици-
рованной дюрации означает количество лет. Если купоны выплачи-
ваются m раз в год, то модифицированную дюрацию в годах можно
определить по следующей формуле:




где: m-число периодов, за которые выплачиваются купоны.
Продолжая пример 1, определим, на какую величину в процентах
изменится цена облигации при повышении доходности до погашения
на 1%. Она равна:
? 2,108 • 0,01 = ?0,02108 или 2,108%
Как мы рассчитали выше, действительное падение составило 2, 07%.
Преобразуем уравнение (93) следующим образом:
dP
= ? Dm P (96)
dr
Выражение в правой части уравнения (96) называют дюрацией в де-
нежном выражении. Если мы умножим обе части уравнения (96) на
dr, то получим уравнение:
dP = ? Dm Pdr (97)
Уравнение (97) позволяет определить изменение цены облигации при
изменении доходности до погашения на небольшую величину.
В предыдущем примере Dm = 2, 108 и Р = 1000000 руб. Тогда при
росте доходности до погашения облигации на 0, 01% ее цена изменит-
ся согласно уравнению (95) на:
? 2,108 ? 1000000 • 0,0001 = 210,8 руб.
Действительное изменение цены в этом случае составляет 210, 62 руб.
Таким образом при малых изменениях доходности до погашения
формула (95) дает хорошее приближение величины изменения цены
облигации.

120
Графически дюрация представлена на рис. 1. Она представляет со-
бой угол наклона касательной к графику цены облигации. Как сле-
дует из рис. 1, для больших изменений доходности до погашения об-
лигации дюрация дает значительную погрешность. Поскольку дюра-
ция представлена касательной к кривой цены, то при падении доход-
ности до погашения она занижает действительное изменение цены
облигации, а при росте доходности до погашения — завышает. Так,
при падении доходности с r до r1 цена облигации вырастет на вели-
чину (P11 - Р), дюрация же даст оценку увеличения только на величи-
ну (P1 - Р). При росте доходности до погашения с r до r2 цена облига-
ции понизится только на величину (Р - Р2). Дюрация даст более
значительную оценку изменения цены на величину (Р - Р21).




Дюрация, в том числе модифицированная, имеет следующие ха-
рактеристики:
1) Она меньше времени до погашения облигации или равна ей в
случае облигации с нулевым купоном. Модифицированная дюрация
бескупонной облигации также меньше времени до ее погашения.
2) Как правило, чем меньше купон облигации, тем больше дюра-
ция, так как больший уд. вес выплат по облигации приходится на
момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дю-
рация.
3) При прочих равных условиях, чем больше время до погашения
облигации, тем больше дюрация.

121
4) Чем больше дюрация, тем выше риск изменения цены облига-
ции.
5) При повышении доходности до погашения дюрация уменьшает-
ся, при понижении доходности до погашения дюрация возрастает.

Иммунизация облигации
Для купонной облигации существует риск реинвестирования ку-
понов. Он заключается в том, что при падении процентных ставок
купоны реинвестируются под более низкий процент, при повышении
ставок — под более высокий. Изменение процентных ставок также
оказывает влияние и на цену облигации, но в противоположном на-
правлении. Таким образом, при повышении ставок инвестор будет
проигрывать в цене облигации, но выигрывать от реинвестирования
купонов. Напротив, при падении доходности он выигрывает от роста
цены облигации, но проигрывает в реинвестировании купонов. По-
скольку изменение цены облигации и доходов от реинвестирования
купонов имеют противоположную направленность, можно найти
точку во времени (в течение срока обращения облигации), где эти два
процесса уравновешивают друг друга и доходность операции для ин-
вестора остается неизменной. Такая точка во времени и представлена
дюрацией облигации. Например, инвестор купил облигацию с доход-
ностью до погашения 20%, дюрацией 3 года, до погашения которой
остается 5 лет. Через некоторое время доходность до погашения дан-
ной облигации выросла. Если он продаст облигацию через 3 года, то
реализованная доходность его операции составит 20%. Таким обра-
зом, инвестор может обезопасить себя от изменения процентных ста-
вок на рынке, или иммунизировать облигацию для периода времени в
3 года. Если он продаст облигацию раньше или позже трех лет, то
реализованная доходность, как правило, будет отличаться от 20%. В
этом случае инвестор подвергается риску изменения процентной
ставки.
Величина дюрации дает хорошее приближение изменения цены
облигации только для малых значений изменения доходности до по-
гашения. Поэтому, если в нашем примере доходность до погашения
облигации сильно изменится, то она уже не будет иммунизированна
на период 3 года, и инвестор не обеспечит себе реализованную доход-
ность в 20% на этот момент времени. Если процент вырастет, то дю-
рация уменьшится и соответственно временная точка иммунизации
облигации составит меньше трех лет, и наоборот. Принцип иммуни-
зации можно использовать при управлении портфелем облигаций.

122
5. 1. 6. Изгиб
Дюрация дает приемлемую оценку изменения цены облигации при
небольшом изменении доходности до погашения, так как график це-
ны облигации имеет вогнутую форму (см. рис. I). Для более точной
оценки изменения цены облигации следует учесть такой показатель
как изгиб (convexity), обозначим его через conv.
Изменение цены облигации можно разложить на составляющие
части с помощью ряда Тейлора. Для решения нашей задачи возьмем

<< Предыдущая

стр. 19
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>