<< Предыдущая

стр. 32
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

чина премии опциона колл, а именно: премия опциона колл тем
больше, чем выше спотовая цена акции (S), больше период времени
до истечения контракта (T), больше ставка без риска (rf) и меньше це-
на исполнения (X). Премия опциона колл также зависит от величины
стандартного отклонения цены акции (?). Чем оно больше, тем
больше вероятность того, что курс акции превысит цену исполнения
и опцион принесет прибыль. Поэтому, чем больше ?, тем дороже оп-
цион.
11. 4. 1. 6. Нижняя граница премии американского и европейского
опционов пут
Нижняя граница премии европейского опциона пут на акции, по
которым не выплачивается дивиденд, равна:
X (1 + r f ) T ? S (139)
При нарушении данного условия откроется возможность для со-
вершения арбитражной операции. Нижняя грaница американского
опциона пут равна: X-S
1
Доказательство этого положения см., например, А. Н. Буренин «Рынки
производных финансовых инструментов». — М., Инфра-М, 1996.

209
Формула (139) показывает переменные, которые влияют на вели-
чину премии опциона пут. Она будет тем больше, чем больше цена
исполнения (X), меньше курс акции (S), меньше ставка без риска (rf).
В отношении переменной (T) можно в общем плане сказать, что чем
больше времени остается до истечения контракта, тем дороже должен
стоить опцион, так как, чем больше времени, тем больше вероят-
ности, что опцион принесет прибыль. Чем больше величина стан-
дартного отклонения цены акции, тем дороже будет стоить опцион.

11. 4. 2. Модели определения премии опционов
Одна из главных задач, которую решает инвестор, — это опреде-
ление цены опциона. В теории разработаны модели, позволяющие
справиться с данной проблемой. Однако они довольно сложны и их
подробное изложение не предусматривается в данной книге. Поэтому
мы ограничимся только общим описанием двух наиболее известных
моделей — модели Блека-Шолеса и модели, которую предложили
Дж. Кокс, С. Росс, и М. Рубинштейн1. В моделях используется принцип
построения портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования бе-
рется ставка без риска.

11. 4. 2. 1. Модель Блека-Шолеса

Модель первоначально разработана для оценки стоимости евро-
пейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются ди-
виденды. Ф. Блек и М. Шолес вывели следующую формулу
ce = SN (d1 ) ? Xe rT N (d 2 ) (140)
где: сe— премия европейского опциона колл;
S — цена спот акции в момент заключения контракта;
X — цена исполнения;
N(di) — функция нормального распределения;
ln(s / x) + (r + ? 2 / 2)T
d1 = (141)
?T
d 2 = d1 ? ? T
?— стандартное отклонение цены акции;
1
Более подробно о моделях оценки премии опционов см. А. Н. Буренин
«Рынки производных финансовых инструментов», Инфра-М, 1996.

210
r — ставка без риска.
Стоимость опциона зависит от степени вероятности того, что к
моменту его истечения он окажется выигрышным. Вероятность в
формуле (140) учитывается с помощью элементов N(d1) и N(d2). В мо-
дели в качестве вероятностного распределения цены акции принято
логнормальное распределение.
Модель Блека-Шолеса и ее модификации используется для оценки
стоимости европейских опционов, а также американских опционов
колл.

11. 4. 2. 2. Биномиальная модель Кокса, Росса и Рубинштейна
Данная модель используется для оценки премии американских оп-
ционов, прежде всего опционов пут. В модели весь период действия
опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени. Счи-
тается, что в течение каждого из них цена базисного актива может
пойти вверх или вниз с определенной вероятностью. Учитывая дан-
ные о стандартном отклонении курса базисного актива, получают
значения его цены для каждого интервала времени (строят дерево
распределения цены), также определяют вероятность повышения и
понижения курсовой стоимости актива на каждом отрезке временно-
го интервала. Имея значения цен актива к моменту истечения опцио-
на, определяют его возможные цены в данное время. После этого по-
следовательным дисконтированием цен опциона (с учетом
вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом
интервале времени) получают значение его цены в момент заключе-
ния контракта.

11. 5. ХЕДЖИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ОПЦИОНОВ
С помощью опционов инвестор может страховаться от роста или
падения цены интересующего его актива. Если вкладчик хеджирует
свою позицию от роста цены актива, ему следует купить опцион колл
или продать опцион пут. Во втором случае инвестор страхуется толь-
ко на величину премии, полученной от продажи опциона пут.

Пример.
Вкладчик планирует получить через месяц необходимые средства
и купить акции компании А, которые сейчас стоят 100 руб. Однако
он опасается, что курс их может вырасти, и поэтому решает при-
обрести опцион колл с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Если через

211
месяц курс акций окажется ниже 100 руб., то он купит их на спотовом
рынке, если же цена превысит 105 руб., то исполнит опцион и купит
бумаги за 105 руб.
С помощью покупки опциона пут или продажи опциона колл ин-
вестор может застраховаться от падения цены актива. В последнем
случае хеджирование осуществляется только на величину премии оп-
циона колл.
Пример.
Инвестор располагает акциями компании А, курс которых равен
100 руб. Однако он опасается, что цена их может упасть, и приобре-
тает опцион пут с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Если в после-
дующем цена акций упадет ниже 100 руб, то вкладчик исполнит оп-
цион. Таким образом, купив опцион пут, он застраховался от
падения цены акций ниже 95 руб.
С помощью покупки опциона пут на индекс акций инвестор мо-
жет хеджировать стоимость широко диверсифицированного портфеля.
Для хеджирования своей позиции с помощью опционных кон-
трактов, вкладчик должен определить требуемое число контрактов.
Оно рассчитывается по следующей формуле:
Число Число единиц хеджируемого актива
опционных = (142)
Число единиц в опционном контракте
контрактов
В зависимости от изменения цены базисного актива изменяется и
цена опциона. Поэтому инвестор может играть на разнице цен кон-
трактов. Если он полагает, что премия опциона уменьшится, то про-
даст опцион, чтобы выкупить его позже по более низкой цене. В слу-
чае неверного прогноза инвестор понесет убытки, так как ему
придется или закрыть опционную позицию по более высокой цене,
или исполнить свои обязательства по контракту. Поэтому в ряде слу-
чаев возникает необходимость хеджировать опционную позицию.
Это можно сделать с помощью так называемого дельта-хеджиро-
вания. Показатель дельта представляет собой отношение изменения
цены опциона к изменению цены базисного актива. Дельта показывает,
в какой мере изменится цена опциона при изменении цены актива.
Например, дельта опциона равна 0, 4. Это означает, что при неболь-
шом изменении курса актива цена опциона меняется на 40% от этого
изменения. Дельта может складываться и вычитаться. Например, ин-
вестор купил 500 опционов, тогда дельта его позиции равна
500 • 0,4 = 200

212
Дельту можно рассматривать как коэффициент хеджирования.
Значение дельты говорит о числе единиц актива, которые инвестор
должен купить или продать на каждую позицию по опционному кон-
тракту. Зная величину дельты, инвестор может сформировать порт-
фель из опционов и базисных активов. Этот портфель будет нейтра-
лен к риску в течение следующего короткого периода времени,
поскольку изменение цены опциона будет уравновешиваться анало-
гичным, но противоположным по знаку, изменением цены актива. На
каждый выписанный опцион колл вкладчик должен купить количе-
ство единиц базисного актива, равное значению дельты опциона. На
каждый купленный опцион колл ему следует продать данное количе-
ство единиц актива. Покупая опцион пут, инвестор должен купить
соответствующее число единиц актива, а продавая опцион пут, —
продать данное количество единиц актива.

Пример.
Инвестор продал 500 опционов на 500 акций. Дельта опциона
равна 0, 4. Чтобы хеджировать опционную позицию, ему следует ку-
пить:
0,4 • 500 акций = 200 акций
Предположим, что через некоторое время цена акции упала на I
руб. Тогда по акциям вкладчик теряет 200 руб. Однако в этом случае
цена опциона также упала на 0, 4 руб., и в совокупности стоимость
опционной позиции уменьшилась на:
0,4 руб.• 500 опционов = 200 руб.
Таким образом, проигрыш вкладчика по акциям компенсируется вы-
игрышем по опционам, так как в случае закрытия опционной пози-
ции он выкупит контракты на 200 руб. дешевле по сравнению с це-
ной, по которой он их продал.
Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 руб. В этом случае
вкладчик выигрывает по акциям 200 руб., но теряет по опционам та-
кую же сумму. Теперь, чтобы закрыть опционную позицию, инвесто-
ру придется выкупать контракты на 200 руб. дороже, чем он их про-
давал.




213
11. 6. ВАРРАНТЫ
11. 6. 1. Общая характеристика варранта
Варрант — это опцион на приобретение определенного числа акций
(варрант акции) или облигации (варрант облигации) по цене исполне-
ния в любой момент времени до истечения срока действия варранта.
Варранты обычна выпускаются в качестве добавления к какому-либо
долговому инструменту, например, облигации, чтобы сделать его бо-
лее привлекательным для инвестора. Иногда варранты могут отде-
ляться от таких активов и тогда они обращаются самостоятельно.
Варранты отличаются от рассмотренных выше опционов тем, что
выпускаются на гораздо более длительный период времени, а неко-
торые из них могут быть бессрочными. Если исполняется варрант ак-
ций, то увеличивается общее число обращающихся акций данной
компании, что приводит к снижению прибыли на акцию и цены ак-
ции. При исполнении варранта облигаций компания увеличивает
размеры своей задолженности вследствие выпуска дополнительного
числа облигаций. Поскольку сам эмитент определяет условия выпус-
ка своих бумаг, то условия варранта могут предусматривать обмен
варранта как на облигацию, вместе с которой он был эмитирован,
или на иную облигацию. В качестве разновидностей данных бумаг в
мировой практике эмитируются варранты, по которым предусматри-
вается начисление процентов; варранты, дающие право приобрести
облигацию в иной валюте чем облигация, с которой они были выпу-
щены. Кроме того варрант может быть эмитирован самостоятельно
без привязки к облигации. Варрант акций может быть привлекатель-
ным в связи с тем, что в случае существенного роста курса акций, он
дает возможность приобрести ее по более низкой цене.
11. 6. 2. Цена варранта
Поскольку варрант представляет собой американский опцион, то
его цену можно определить с помощью методики определения цены
американских опционов. В то же время оценка варранта акций тре-
бует определенной модификации данного подхода, поскольку, как
мы отметили выше, при исполнении варранта происходит падение
курсовой стоимости акций. Цену варранта акций можно определить
следующим образом:
ca
PB = Q (143)
1+ k
214
где: Рв — цена варранта;
са — цена американского опциона колл с датой истечения и ценой
исполнения, соответствующих условиям варранта;
k — коэффициент, который говорит о том, насколько увеличится
количество акций, если варрант будет исполнен;
Q — число единиц актива, которые дает право приобрести вар-
рант.
Цена варранта, как и любого другого опциона, будет включать
два компонента — внутреннюю и временную стоимость. Если цена
исполнения варранта равна или выше текущей стоимости базисного
актива, то внутренняя стоимость равна нулю, и цена варранта пол-
ностью состоит из временной стоимости. По мере приближения даты
истечения варранта его временная стоимость будет падать. Внутрен-
няя стоимость варранта определяется следующим образам:
Pвн = ( S ? X )Q (144)
где: Рвн — внутренняя стоимость;
S — цена спот базисного актива;
X— цена исполнения.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Существуют два типа опционов: американский и европейский.
Американский опцион может быть исполнен в любой день в течение
срока действия контракта, европейский — только в день его истече-
ния. Различают два вида опционов: колл и пут. Опцион колл предо-
ставляет возможность держателю опциона купить базисный актив
или отказаться от его покупки. Опцион пут дает держателю право
продать актив или отказаться от его продажи. Инвестор приобретает
опцион колл, если рассчитывает на повышение курса базисного акти-
ва, и опцион пут — когда ожидает его понижения.
Европейский опцион колл исполняется, если к моменту истечения
контракта курс спот базисного актива выше цены исполнения, евро-
пейский опцион пут — если курс спот актива ниже цены исполнения.
Покупая опцион, инвестор уплачивает продавцу опциона премию.
Она состоит из двух частей: внутренней и временной стоимости.
Организация торговли опционными контрактами в своей основе
аналогична торговле фьючерсными контрактами. При открытии по-
зиции продавец контракта обязан внести гарантийный взнос.
К моменту истечения срока контракта стоимость американского и
европейского опционов колл и пут в зависимости от цены спот ба-

215
зисного актива должна равняться нулю или внутренней стоимости.
Верхняя граница премии американского и европейского опционов
колл для актива, по которому не выплачивается доход, не должна
превышать цену спот базисного актива. Верхняя граница премии
американского опциона пут для актива, по которому не выплачи-
вается доход, не должна быть больше цены исполнения, а для евро-
пейского опциона пут — больше приведенной стоимости цены ис-

<< Предыдущая

стр. 32
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>