<< Предыдущая

стр. 37
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

через год доходность актива будет лежать в пределах одного стан-
дартного отклонения от средней доходности, т. е. в диапазоне 20, 6% ±
2, 41%; с вероятностью 95, 5% этот диапазон составит два стандартных
отклонения, т. е. 20, 6% ± 2 х 2, 41%; и с вероятностью 99, 7% диапазон
составит три стандартных отклонения, то есть 20, 6% ± 3 х 2, 41%.
Поскольку доходность актива — случайная величина, которая за-
висит от различных факторов, то остается 0, 3% вероятности, что она
выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т. е. может как упасть
до нуля, так и вырасти до очень большой величины.




График нормального распределения представлен на рис. 34. Чем
больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его

244
риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доход-
ность, которая равна 50%. Однако стандартное отклонение первого
актива составляет 5%, а второго — 10%. Это говорит о том, что вто-
рой актив рискованнее первого, так как существует 68, 3% вероят-
ности, что через год доходность первого актива может составить от
45% до 55%, а второго — от 40% до 60% и т. д.


13. 3. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК ПОРТФЕЛЯ
Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стан-
дартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в
отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является
обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений
(дисперсий) доходностей активов. Дело в том, что различные активы
могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В
результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различ-
ных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к
снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком
направлении изменяются доходности входящих в него активов при
изменении конъюнктуры рынка и в какой степени.
Для определения степени взаимосвязи и направления изменения
доходностей двух активов используют такие показатели как кова-
риация и коэффициент корреляции.
Показатель ковариации определяется по формуле
? (r ? r A )(rB i ? r B )
Cov A, B =
Ai
(155)
n ?1
где: COVAA, B — ковариация доходности активов А и В;
r A — средняя доходность актива А за n периодов;
r B — средняя доходность актива В за n периодов;
rA — доходность актива А в i-м периоде;
rB — доходность актива В в i-м периоде;
п — число периодов, за которые регистрировалась доходность ак-
тивов А и В.
Положительное значение ковариации говорит о том, что доход-
ности активов изменяются в одном направлении, отрицательное — в
обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь
между доходностями активов отсутствует.

245
В табл. 7 приведены данные о доходности бумаг А и В за четыре
года. Определим ковариацию доходности данных бумаг.
Таблица 7. Доходность бумаг А и В (в десятичных значениях)
Год Доходность А Доходность В
1 0,1 0,12
2 0,16 0,18
3 0,14 0,14
4 0,17 0,15
1 шаг. Определяем средние значения доходностей бумаг за указан-
ный период.
0,1 + 0,16 + 0,14 + 0,17
rA = = 0,1425
4
0,12 + 0,18 + 0,14 + 0,15
rВ = = 0,1475
4
2 шаг. Определяем отклонения доходности бумаг от их средних
значений.
Бумага А Бумага В
0,1 - 0,1425 = -0,0425 0,12 -0,1475 = -0,0275
0,16-0,1425 = 0,0175 0,18-0,1475 = 0,0325
0,14-0,1425 = -0,0025 0,14 -0,1475 = -0,0075
0,17-0,1425 = 0,0275 0,15-0,1475 = 0,0025
3 шаг. Определяем произведения отклонений доходности бумаг
для каждого периода и суммируем полученные значения.
Бумага В
Бумага А
-0,0425 •-0,0275 = 0,0011686
0,175 •0,0325 = 0,0005688
-0,0025 •-0,0075 = 0,0000186
0,0275 •0,0025= 0,0018248
сумма =0,0018248
4 шаг. Определяем значение ковариации, разделив полученную
сумму на число временных периодов. (Так как в нашем примере не-
большое количество наблюдений, то в знаменателе вместо п — 1 бе-
рем значение п).

246
0,0018248
Cov A, B = = 0,0004562
4
Другим показателем степени взаимосвязи изменения доходностей
двух активов служит коэффициент корреляции. Он рассчитывается по
формуле
Cov A, B
CorrA, B = (156)
? A? B
где: Соrr А, В — коэффициент корреляции доходности активов А и В;
Сov A, B — ковариация доходности активов А и В;
?A — стандартное отклонение доходности актива А;
?B — стандартное отклонение доходности актива В.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. По-
ложительное значение коэффициента говорит о том, что доходности
активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнк-
туры, отрицательное — в противоположном. При нулевом значении
коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.


13. 4. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ
АКТИВОВ
Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по
формуле
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B Cov A, B
2 2 2 2 2
(157)
где: ?р2 — риск(дисперсия) портфеля;
?A — уд. вес актива А в портфеле;
?B — уд. вес актива В в портфеле;
СovA, B — ковариация доходности активов А и В.

Пример.
Определить риск портфеля, состоящего из бумаг А и В, если ?A =
0, 3; ?B = 0, 7; ?A2 = 0, 0007188; ?B2 = 0, 0004688; COVA, B = 0, 0004562.
Риск портфеля равен:
?Р2 = 0,3•0,0007188+0,7•0,0004688+2•0,3•0,7•0,0004562 = 0,000468
?P = 0,021633 или 2,163%

247
Cov A, B
Выше мы записали, что CorrA, B = . Поэтому формулу (157)
? A? B
можно переписать, воспользовавшись коэффициентом корреляции, а
именно:
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B
2 2 2 2 2
(158)

13. 4. 1. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности +1
При корреляции +1 переменные находятся в прямой функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой прямую
линию, как показано на рис. 35, т. е. для каждого события (изменения
в конъюнктуре рынка) доходности двух активов будут иметь одну
общую точку на восходящей прямой. Для такого случая формула
(158) превращается в формулу квадрата суммы, так как СORRА, В = 1




248
? P = ? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B = (? A? A + ? B? B ) 2 (159)
2 2 2 2 2


или
? P = ? A? A + ? B? B (160)
Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1,
то риск портфеля — это средневзвешенный риск входящих в него ак-
тивов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет
воспользоваться возможностями диверсификации для снижения рис-
ка, поскольку при изменении конъюнктуры их доходности будут из-
меняться в прямой зависимости в одном и том же направлении, как
показано на рис. 36. В этом случае диверсификация не приводит к со-
кращению риска, а только усредняет его. Изменяя удельный вес акти-
вов А и В в портфеле, инвестор может сформировать любой порт-
фель, который бы располагался на прямой АВ (см. рис. 37).

13. 4. 2. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности -1
При корреляции -1 переменные находятся в обратной функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой нисходя-
щую прямую линию, как показано на рис. 38. Для такого случая
формула (158) превращается в формулу квадрата разности:
? P = ? A ? A + ? B ? B ? 2? A? B CorrA, B = (? A? A ? ? B? B ) 2 (161)
2 2 2 2 2


или
? P = ? A? A ? ? B? B (162)




249
Объединение в портфель активов с корреляцией -1 позволяет
уменьшить его риск по сравнению с риском каждого отдельного ак-
тива, поскольку, как показано на рис. 39, при изменении конъюнкту-
ры разнонаправленные движения доходности активов А и В будут га-
сить друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется
неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого ак-
тива и его удельного веса в портфеле. Сочетая в портфеле активы А и
В в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки
зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который
будет лежать на прямых АС и СВ, как показано на рис. 40. В точке С
портфель инвестора не будет иметь риска. Чтобы сформировать та-
кой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса ак-
тивов А и В. Для этого приравняем уравнение (162) к нулю и опреде-
лим ?A и ?в.
? P = ? A? A + ? B? B = 0
Поскольку
? A = 1?? B
то
(1 ? ? B )? A ? ? B? B = 0
Отсюда
?A
?B = (163)
? A +? B

250
?A ?B
? A = 1? = (164)
? A +? B ? A +? B

Пример.
?A = 0,0268; ?в = 0,0350. Тогда:
0,0268
?B = = 0,4337
0,0268 + 0,0350
? A = 1 ? 0,04337 = 0,5663
Это означает, что если вкладчик планирует инвестировать 100
млн. руб. в активы А и В, то для формирования портфеля без риска
ему необходимо приобрести актив А на сумму
100 млн.? 0,5663 = 56,63 млн. руб.
и актив В на
100 млн.? 0,4337 = 43,37 млн. руб.
13. 4. 3. Доминирующий портфель
Корреляция между доходностями двух финансовых инструментов
в портфеле может изменяться от -1 до +1. На рис. 41 все возможные




комбинации портфелей, состоящих из двух активов с корреляцией -1,
располагаются на прямых АС и СВ. Все комбинации портфелей для

251
корреляции +1 — на прямой АВ. Комбинации портфелей для других
значений корреляции доходности располагаются внутри треугольни-
ка ABC. Таким образом, пространство треугольника ABC представ-
ляет собой все возможные сочетания риска и доходности портфелей,
состоящих из двух активов, в пределах корреляции их доходности от
-1до+1.
В то же время на практике подавляющая часть активов имеет кор-
реляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют поло-
жительную корреляцию. Если построить график для портфелей, со-
стоящих из активов А и В при меньшей корреляции, чем +1, то он
примет выпуклый вид, как показано на рис. 42 сплошной линией.
Чем меньше корреляция между доходностью активов, тем более
выпуклой будет график. На рис. 43 линия 1 представляет меньшую
корреляцию доходности активов А и В по сравнению с линией 2. Как
видно из рис. 43, чем меньше корреляция доходности активов, тем
более они привлекательны для формирования портфеля, поскольку
инвестор может получить тот же уровень ожидаемой доходности при
меньшем риске. Так, портфель P1 на рис. 43 предлагает то же значе-
ние ожидаемой доходности r1, что и P2, однако его риск меньше и ра-
вен ?1, а второго портфеля — ?2.




Как показано на рис. 44, если активы имеют корреляцию меньше

<< Предыдущая

стр. 37
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>