<< Предыдущая

стр. 38
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+ 1, то инвестор может сформировать любой портфель, который бы
располагался на кривой ADB. Однако рациональный инвестор оста-
новит свой выбор только на верхней части данной кривой, а именно,
отрезке DB, поскольку на нем расположены портфели, которые при-

252
носят более высокий уровень ожидаемой доходности при том же
риске по сравнению с портфелями на участке DA. Сравним для на-
глядности портфели P1 и P2. Оба портфеля имеют риск равный ?1, но
ожидаемая доходность портфеля P2 больше ожидаемой доходности
портфеля P1.
Если один портфель (актив) имеет более высокий уровень доход-
ности при том же уровне риска или более низкий риск при той же до-
ходности, чем остальные портфели (активы), то его называют доми-
нирующим. Так, на рис. 44 портфель P2 будет доминирующим по
отношению к портфелю P1, поскольку оба они имеют одинаковый
риск (?1), но доходность портфеля P2 (r2) больше доходности портфе-
ля P1 (r1). Аналогично портфель P2 будет доминирующим по отноше-
нию к портфелю Р3, поскольку они оба имеют одинаковую доход-
ность (r1), но риск портфеля P2 (?2) меньше риска портфеля Р3 (?3). В
то же время, если сравнить портфели P1 и P4, то мы не можем сказать,
что какой-нибудь из них является доминирующим по отношению к
другому, поскольку они имеют разные значения как ожидаемой до-
ходности, так и риска. Портфель P4 имеет как более высокую ожи-
даемую доходность, так и более высокий риск по сравнению с порт-
фелем P1.




Рациональный инвестор всегда сделает выбор в пользу домини-
рующего портфеля, поскольку это наилучший выбор с точки зрения
доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов
других портфелей.

253
Если инвестор формирует портфель из двух активов, А и В, как
показано на рис. 44, то в точке D он может получить для сочетания
данных активов портфель с наименьшим уровнем риска. Чтобы его
сформировать, необходимо найти удельные веса в портфеле активов
А и В. Это можно сделать, продифференцировав уравнение (164) по
?А и приравняв ее к нулю при условии, что
? A = 1?? B
(? P )' = (? A ? A + ? B ? B + 2? A? B CorrA, B )'
2 2 2 2 2


Отсюда
? B ? Cov A, B
2

?A = (165)
? A + ? B ? 2Cov A, B
2 2


и
? A ? Cov A, B
2

?B = (166)
? A + ? B ? 2Cov A, B
2 2




13. 4. 4. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
некоррелируемыми доходностями
Доходности двух активов не имеют корреляции, если графически
их нельзя представить с той или иной степенью приближения в виде




254
восходящей или нисходящей прямой линии. Такой случай изображен
на рис. 45. В этой ситуации коэффициент корреляции равен нулю и
формула (158) принимает вид:
? P = ? A ? A +? B ? B
2 2 2 2 2
(167)

Пример.
?А = ?в = 0, 2; ?A = ?в = 0, 5. Риск портфеля равен:
? P = (0,5) 2 (0,2) 2 + (0,5) 2 (0,2) 2 = 0,02
2


? P = 0,02 = 0,141 или 14,1%
Как видно из формулы (167) и приведенного примера, объедине-
ние в портфель активов с некоррелируемыми доходностями позволя-
ет воспользоваться преимуществами диверсификации для снижения
риска.
При отсутствии корреляции доходностей двух активов можно
найти портфель с минимальным уровнем риска, если продифферен-
цировать уравнение (167) по ?A и приравнять его к нулю при условии,
что ?в = 1 - ?A
(? P )' = (? A ? A + ? B ? B )
2 2 2 2 2

Откуда
?
2

?B = 2 B 2 (168)
? A +? B
и
? ?
2 2

?B = 1? 2 B 2 = 2 A 2 (169)
? A +? B ? A +? B
Для того, чтобы лучше представить идею и эффект диверсифика-
ции портфеля при различной корреляции доходностей входящих в
него активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из
двух активов. Общие выводы, которые можно сделать по результа-
там вышесказанного, состоят в следующем:
1) Если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, то до-
стигается только усреднение, а не уменьшение риска;
2) Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше,
чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля дости-
гается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности:

255
3) Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск
портфеля;
4) Если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, то
можно сформировать портфель без риска;
5) При формировании портфеля необходимо стремиться объеди-
нить в него активы с наименьшей корреляцией.

13. 5. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ
НЕСКОЛЬКИХ АКТИВОВ
Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и
сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны
и для портфеля, объединяющего большее количество активов.
Рассмотрим, каким образом определяется риск портфеля, состоя-
щего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле
n n
? P = ??? i? j Covi , j
2
(170)
i =1 j =1
где: ?р2 — риск портфеля;
?i — уд. вес i-гo актива в портфеле;
?j — УД- вес j-гo актива в портфеле;
Covi, j — ковариация доходности i-го и j-гo активов.
Для того, чтобы проиллюстрировать использование данной фор-
мулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех активов.

Пример.
Портфель состоит из трех бумаг — А, В и С; ?A = 035; ?в = 0, 45;
?с= 0, 2; ?A2 = 0, 025; ?в2 = 0, 048; ?с2 = 0, 065; COVA, B = 0, 031; COVA, C =
0, 034; COVB, A = 0, 031; COVB, C = 0, 055; COVC, A = 0, 034; COVC, B= 0, 055.
Для наглядности сведем данные о дисперсии и ковариации бумаг в
табл. 7.
Таблица 7. Ковариационная матрица
А В С
А 0,025 0,031 0,034
В 0,031 0,048 0,055
С 0,034 0,055 0,065
Ковариационная матрица характеризуется тем, что ее диагональ-
ные члены являются дисперсиями случайных величин. В нашем слу-

256
чае это позиции АА, ВВ, СС. Остальные члены представляют собой
ковариации доходностей активов.
n n

??
В формуле (170) стоит знак двойной суммы Он означает,
i =1 j =1
что, раскрывая формулу, мы должны вначале взять значение i = 1 и
умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную
операцию, но уже для i = 2 и т. д. В итоге мы получим п слагаемых.
Расчеты по нашему примеру представлены в табл. 8.
Таблица 8. Определение дисперсии и стандартного отклонения.
Активы Произведения
АА 0,35?0,35?0,025 = 0,00306
АВ 0,35?0,45?0,031 =0,00488
АС 0,35?0,2?0,034 = 0,00238
ВА 0,45?0,35?0,031 =0,00488
ВВ 0,45?0,45?0,048 = 0,00972
ВС 0,45?0,2?0,055 = 0,00495
СА 0,2?0,35?0,034 = 0,00238
СВ 0,2?0,45?0,055 = 0,00495
СС 0,2?0,2?0,065 = 0,00260
?р2 = 0,0398
?Р = 0,1995
Как уже отмечалось выше, для портфеля, состоящего из двух ак-
тивов с корреляцией доходности +1, риск представляет собой средне-
взвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого слу-
чая не наблюдается уменьшение риска, а происходит только его
усреднение. Данный принцип сохраняется и для портфеля, насчиты-
вающего много активов с корреляцией доходности +1. Если портфель
состоит из активов с корреляцией равной нулю, то риск портфеля
рассчитывается по формуле
n
? P = ?? i ? i
2 2 2
(171)
i =1
и
n

??
?P = ?i
2 2
(172)
i
i =1


257
9 Буренин А. Н.
13. 6. ЭФФЕКТИВНЫЙ НАБОР ПОРТФЕЛЕЙ


Если объединить в портфель некоторое число активов, корреля-
ция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависи-
мости от их удельных весов, можно построить множество портфелей
с различными параметрами риска и доходности, которые расположе-
ны в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 46.




Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой
риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям,
представленным на рис. 46, вкладчик предпочтет только те, которые
расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирую-
щими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той
же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффек-
тивным набором. Эффективный набор портфелей — это набор, со-
стоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке
ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковцем
в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать
соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при
которых минимизируется значение стандартного отклонения для
каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:
n n

??? ? Cov
min ? P =
2
(173)
i, j
i j
i =1 j =1
при условии, что

258
n n

?? r ??
= E (r ) и =1
ii i
i =1 i =1
Другими словами, с помощью компьютерной программы необхо-
димо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля опреде-
лить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам
Марковца. Неудобство его состоит в том, что при определения эф-
фективной границы для портфеля, включающего много активов, не-
обходимо произвести большое количество вычислений. Если порт-
фель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых
n2 ? n
доходностей и стандартных отклонений и ковариаций.
2
В результате для определения эффективной границы следует рас-

<< Предыдущая

стр. 38
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>