<< Предыдущая

стр. 7
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? 1 ?r ?
mn
? r? ? r ?r ?
= P ??1 +
= P ??1 + ? ?
Pn = P?1 + ? = P ??1 + ? ?
?? m r ? ?
?? m ? ?
? m? ?? a ? ?
?? ?? ? ?
? ? ? ?
где:
m
a=
r
При непрерывном начислении процентов m > ? и, следовательно,
a > ? . В этом случае:
a
? 1?
lim?1 + ? = e
? a?
m>?
Тогда
n?r
?? 1 ? a ?
P ??1 + ? ? = Pe nr
?? a ? ?
? ?
3. 1. 3. Эквивалентный и эффективный проценты
В практике финансового рынка процент, начисляемый по активу,
задают как простой процент в расчете на год. Однако если в рамках
года по активу предусмотрено начисление сложного процента, то
общий результат, который получит инвестор, будет выше деклари-
руемого. Чтобы его определить необходимо рассчитать эффективный
или реальный процент.
Эффективный (реальный) процент — это процент, который полу-
чается по итогам года при начислении сложного процента в рамках
года.
Эффективный процент можно определить из следующего соотно-
шения:
m
? r?
1 + rэф = ?1 + ? (10)
? m?
где: rэф — эффективный процент,

41
r — простой процент в расчете на год, который задан по условиям
финансового инструмента.
Тогда:
m
? r?
rэф = ?1 + ? ? 1 11
? m?

Пример.
По банковскому счету установлены 20. 4% годовых, но процент
начисляется ежемесячно. Определить эффективный процент.
Он равен:
12
? 0,204 ?
rэф = ?1 + ? ? 1 = 0,2242 или 22,42%
12 ?
?
Если известен эффективный процент, то по формуле (12), которая
вытекает из формулы (11), можно определить эквивалентный ему
простой процент в расчете на год:
( )
r = m 1 + rэф ? 1 • m (12)

Пример.
rэф = 30%, т = 4 раза в год. Определить эквивалентный простой
процент.
Он равен:
( )
r = 4 1 + 0,3 ? 1 • 4 = 0,2712 или 27,12 %



3. 1. 4. Эквивалентность непрерывно начисляемого процента
и процента, начисляемого т раз в год
В финансовых расчетах может возникнуть необходимость найти
эквивалентность между непрерывно начисляемым процентом и про-
центом, начисляемым т раз в год. Например, в формулах определе-
ния курсовой стоимости опциона используется непрерывно начис-
ляемый процент. В то же время на финансовом рынке инвесторы
оперируют главным образом ставками, предполагающими начисле-
ние процента раз в год, полгода, квартал и месяц.

42
Эквивалентность между двумя видами процентов можно найти,
приравняв суммы, получаемые с учетом непрерывно начисляемого
процента и начисления процента т раз в год, а именно:
mn
? r?
= P ?1 + ?
rn n
Pe (13)
? m?
(где: rп — непрерывно начисляемый процент)
или
m
? r?
e rn = ?1 + ? (14)
? m?
Отсюда
m
? r?
ln e = ln?1 + ?
rn
(15)
? m?
или
? r?
rn = m ln?1 + ? (16)
? m?

Пример.
r = 10% годовых, начисляется четыре раза в год. Определить экви-
валентный непрерывно начисляемый процент.
Он равен:
? 0,1 ?
rn = 4 • ln?1 + ? = 0,09877 или 9,877%
? 4?
Из формулы (14) процент r можно получить следующим образом:
? rn ?
r = m? e m ? 1? (17)
? ?
? ?
Пример.
rn = 10%. Определить эквивалентный ему процент в расчете на год,
если он начисляется четыре раза в год.
Он равен:
? 0,1 ?
r = 4? e ? 1? = 0,101126 или 10,126%
?4 ?

43
3. 1. 5. Комбинация простого и сложного процентов


В ряде случаев возникает ситуация, когда начисление процентов
включает и сложный, и простой проценты. Например, средства
вкладчика находятся на счете в банке 5 лет и 2 месяца. Проценты ка-
питализируются (т. е. присоединяются к основной сумме счета, на ко-
торую начисляется процент) в конце каждого года. В течение года
начисляется простой процент. Для такого случая сумму, которую по-
лучит инвестор, можно рассчитать по следующей формуле:
n? t?
Pn +t = P(1 + r ) ?1 + r ? (18)
? 360 ?
где: Pn+t — сумма, которую получит инвестор за п лет и t дней;
P — первоначально инвестированная сумма;
t — число дней, за которые начисляется простой процент;
r — процент, начисляемый в течение года.

Пример.
Вкладчик положил на счет в банк сумму 1000000 руб. Банк еже-
годно начисляет 20% годовых с учетом их капитализации. В течение
года начисляется простой процент. Определить, какую сумму полу-
чит вкладчик через 5 лет и шестьдесят дней.
Она составит:
5? 60 ?
1000000(1 + 0,2 ) ?1 + 0,2 ? = 25,1264 руб.
? 360 ?
В зависимости от того, когда вкладчик размещает средства на сче-
те, простой процент может начисляться также в начале периода инве-
стирования средств или и в начале и в конце. Суммы, которые полу-
чит вкладчик, можно рассчитать соответственно с помощью формул
(19) и (30) (капитализация процентов осуществляется ежегодно):
? t?
?(1 + r )
Pn +t = ?1 + r
n
(19)
? 360 ?
и
? t? n? t?
Pn +t1 +t2 = ?1 + r 1 ?(1 + r ) ?1 + r 2 ? (20)
? 360 ? ? 360 ?

44
3. 2. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ
В финансовых расчетах возникает необходимость сравнивать
между собой различные суммы денег в разные моменты времени. На-
пример, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб.
через пять лет. Дело в том, что сегодня инвестор может положить 100
тыс. руб. в банк и за пять лет они принесут ему некоторый процент.
Если через пять лет 100 тыс. руб. на счете вкладчика превратятся в 1
млн. руб., то можно сказать, что 100 тысяч руб. сегодня и 1 млн. руб.
через пять лет — это эквивалентные, т. е. равные во времени суммы.
Если вкладчик получит больше 1 млн. руб., тогда 100 тыс. руб. сегод-
ня «стоят» больше 1 млн. руб. через пять лет.
Чтобы сравнить суммы денег во времени, их необходимо привести
к единому временному знаменателю. В практике финансовых расче-
тов принято приводить суммы средств, которые получит инвестор, к
сегодняшнему дню, т. е. начальной точке отсчета. Данную задачу ре-
шают (при начислении сложного процента) с помощью формулы (21).
Она получается из формулы (7).
Pn
P= 21
(1 + r )n

Формула (21) называется формулой дисконтированной или приве-
денной стоимости. Pп — это будущая стоимость, P — дисконти-
рованная или приведенная стоимость (в литературе в качестве сино-
нимов используют также термины сегодняшняя, настоящая, текущая

1
стоимость). это коэффициент дисконтирования.
(1 + r )n




Пример.
Инвестор желал бы через пять лет получить на своем счете 5 млн.
руб. Банк начисляет 20% годовых. Определить, на какую сумму необ-
ходимо вкладчику сегодня открыть счет.
Она равна:
5000000
= 2009387,86 руб.
(1 + 0.2)5

При начислении сложного процента т раз в год формула (21)
принимает вид:

45
Pn
P= (22)
(1 + r m ) m•n

а для непрерывно начисляемого процента:
Pn
P= (23)
e nr
На основе формул (1), (2) и (3) получаем соответственно формулы
дисконтированной стоимости для простого процента:
Pn
P= (24)
1 + nr
Pt
P= (25)
t
1+ r
360
Pt
P= (26)
t
1+ r
365

3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА НАЧИСЛЕНИЯ
ПРОЦЕНТА
На практике возникают вопросы определения периода времени,
которое потребуется для увеличения суммы Р до значения Рn при
начислении процента r.
Для простого процента из формулы (1) получим:
?P ?
n = ? n ? 1? / r
?P ?
Пример 1.
Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма в 100000 руб.
увеличилась до 200000 руб. при начислении 20% годовых.
Период времени равен:
? 200000 ?
n=? ? 1? / 0,2 = 5 лет
100000 ?
?

<< Предыдущая

стр. 7
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>