<< Предыдущая

стр. 8
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

46
Пример 2.
Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма 100000 руб.
увеличилась до 205000 руб. при начислении 20% годовых.
Период времени равен:
? 205000 ?
n=? ? 1? / 0,2 = 5,25 года
100000 ?
?
Допустим, что год равен 365 дням, тогда 0, 25 года эквивалентно t
= 0, 25 • 365 = 91 дню. Таким образом, инвестор получит 205000 руб.
через 5 лет и 92 дня.
Из формул (2) и (3) период t будет равен соответственно:
360
t = (Pt / P ? 1)• (28)
r
и
365
t = (Pt / P ? 1) • (29)
r
На основе формулы (7) период времени инвестирования равен:
ln (Pn / P )
n= (30)
ln (1 + r )


3. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ СТОИМОСТИ
ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ
Допустим, что инвестор в конце каждого года в течение опреде-
ленного периода времени получает платежи, которые не являются
одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа
на время до окончания данного периода, то по его завершении он по-
лучит некоторую сумму денег, которую называют будущей стои-
мостью потока платежей.
Будущую стоимость потока платежей можно определить по фор-
муле:
n
F = ? Ct (1 + r )
n ?t
(31)
t =1
где: F — будущая стоимость потока платежей;
Сt — сумма платежа в году t;

47
r — процент, под который инвестируется сумма Сt;
п — количество лет, в течение которых производятся выплаты;
n

? — знак суммы;
t =1
Как видно из формулы (31), начисление процентов на первый пла-
теж осуществляется в течение (n-1) года, так как сама выплата проис-
ходит только в конце первого года.

Пример.
Инвестиционный горизонт вкладчика равен 4 годам. Он получил
в конце первого года 1 млн. руб., второго — 2 млн. руб., третьего —
2, 5 млн. руб., четвертого — 2, 7 млн. руб. и инвестировал сумму каж-
дого платежа под 15% годовых до окончания данного четырехлетне-
го периода. Определить будущую стоимость потока платежей.
Она составит:
1000000(1 + 0,15) + 2000000(1 + 0,15) + 2500000(1 + 0,15)
4 ?1 4? 2 4 ?3


+ 2700000(1 + 0,15)
4? 4
= 9740875


3. 5. АННУИТЕТ
Аннуитет — это поток одинаковых по сумме платежей, которые
осуществляются с равной периодичностью. (В качестве синонима так-
же используется термин рента). Если платежи осуществляются в кон-
це каждого периода, такой аннуитет называется отложенным. Если
платежи осуществляются в начале каждого периода, то это немедлен-
ный аннуитет.

3. 5. 1. Будущая стоимость аннуитета

3. 5. 1. 1. Будущая стоимость аннуитета при начислении сложного
процента один раз в год
Определить будущую стоимость аннуитета можно с помощью
формулы (31). Однако ее можно привести к более удобному виду, так
как величина каждого платежа является одинаковой. Умножим обе
части уравнения (31) на (1 + r) и вычтем полученный результат из
уравнения (31). Получим:

48
[ ]
?n n ?t +1 ?
n
F ? (1 + r )F = C ?? (1 + r ) ? ? (1 + r ) ? = ?C (1 + r ) ? 1
n ?t n

? t =1 ?
t =1

или
[ ]
Fr = C (1 + r ) ? 1
n

или
[ ]
C
(1 + r )n ? 1
F= (32)
r
Инвестор в течение четырех лет в конце каждого года получает
сумму 1000000 руб. и размещает каждый платеж под 15% до оконча-
ния четырехлетнего периода. Определить будущую стоимость аннуи-
тета.
Она равна:

[ ]
1000000
(1 + 0,15)4 ? 1 = 4993375 руб.
F=
0,15
Преобразуем формулу (32), чтобы получить значение С:
Fr
С= (33)
(1 + r )n ? 1
Данную формулу можно использовать, чтобы определить размер
ежегодных отчислений для формирования к определенному моменту
времени фонда денежных средств требуемого размера, например,
пенсионного фонда или фонда по выкупу предприятием своих обли-
гаций.

Пример.
Предприятие должно погасить через пять лет облигации на сумму
10 млрд. руб. Определить размер ежегодных отчислений для форми-
рования выкупного фонда, если данные средства до момента погаше-
ния облигаций инвестируются под 15% годовых.
Сумма ежегодных отчислений составит:
1000000000 • 0,15
C= = 148,3 млрд. руб.
1,155 ? 1

49
3. 5. 1. 2. Будущая стоимость аннуитета при осуществлении
выплат т раз в год


Если условия аннуитета предусматривают осуществление плате-
жей т раз в год, то формула (31) примет вид:
C mn
F = ? (1 + r / m )
mn ?t
(34)
m t =1
где: С — величина выплаты за год.
? r?
Умножим обе части уравнения (34) на ?1 + ? и вычтем результат
? m?
из уравнения (34). После преобразования получим:
[ ]
C
(1 + r / m )mn ? 1
F= (35)
r



3. 5. 1. 3. Будущая стоимость аннуитета при начислении
процента т раз в год


Рассматриваемый случай отличается от предыдущего тем, что
сложный процент начисляется в течение года т раз, а платежи по ан-
нуитету осуществляются только в конце каждого года. Это означает,
что проценты по первому платежу начисляются с начала второго го-
да и осуществляется т раз в год; по второму платежу — с начала тре-
тьего года и также осуществляется т раз в год и т. д.
В этом случае будущая стоимость аннуитета равна:
n
F = C ? (1 + r / m )
m ( n ?t )
(36)
t =1
Умножим обе части уравнения (35) на (1 + r/m)m и вычтем ре-
зультат из уравнения (36). После преобразования получим:
(1 + r / m )mn ? 1
F =C (37)
(1 + r / m)m ? 1
50
3. 5. 2. Приведенная стоимость аннуитета

3. 5. 2. 1. Приведенная стоимость аннуитета при начислении
процента один раз в год
Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую
стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его уч-
1
реждения, т. е. на величину
(1 + r )n
Приведенная стоимость аннуитета равна:
[ ]
(1 + r )n ? 1 • 1 n
C
P=
(1 + r )
r
или
C? 1?
P= 1?
? ? (38)
r ? (1 + r )n ?
где Р — приведенная стоимость аннуитета.
Пример.
С= 1000000 руб., r = 15%, п = 5 лет. Определить приведенную стои-
мость аннуитета.
Она равна:
1000000 ? ?
1
P= 1? ? = 3352155,1 руб.
?
0,15 ? (1 + 0,15)5 ?
Чтобы лучше понять экономический смысл такой величины как
приведенная стоимость аннуитета, можно представить следующую
ситуацию. Проиллюстрируем ее на приведенном выше примере. До-
пустим, некоторое лицо должно выплачивать в течение последующих
пяти лет в конце каждого года сумму в 1000000 руб. Данную задачу
можно решить, разместив на счете в банке под 15% годовых сумму в
3352155, 1 руб. (т. е. приведенную стоимость аннуитета). Тогда в конце
первого года на счете аккумулируется сумма в размере:
3352155,1•1,15 = 3854978,4 руб.
Из нее 1 млн. руб. используется в качестве первого платежа по ан-
нуитету.

51
На второй год сумма на счете составит:
2854978,4•1,15 = 3283225,12 руб.
1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета.
На третий год на счете аккумулируется сумма:
2283225,12•1,15 = 2625708,89 руб.
1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета.
На четвертый год сумма на счете составит:
1625708,89•1,15 = 1869565,22 руб.
1 млн. руб. из нее уплачивается по аннуитету.
В конце года сумма на счете вырастет до:
869565,22•1,15 = 1000000 руб.
Данный миллион рублей составит последний платеж по аннуите-
ту.
Таким Образом, пятилетнюю ренту можно заменить одной выпла-
той в размере 3352155, 1 в начале пятилетнего периода, поскольку эта
величина при ставке процента 15% эквивалентна стоимости всех вы-
плат по аннуитету.
Формулу приведенной стоимости аннуитета также можно исполь-
зовать в случае, когда заемщик берет кредит на условиях его погаше-
ния в будущем равными платежами ежегодно. Для этого найдем из
формулы (38) величину С:
P•r
C= (39)
1
1?
(1 + r )n
где: Р — сумма кредита;
r — процент по кредиту;
С — платеж по кредиту;
п — число лет, на которые берется кредит.

Пример.
Заемщик берет кредит на пять лет в размере 1 млрд. руб. под 30%
годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждо-
го года. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.
Она составит:
100000000 • 0,3
= 410581548,4 руб.

<< Предыдущая

стр. 8
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>