<< Предыдущая

стр. 9
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1 ? 1 1,3
5



52
3. 5. 2. 2. Приведенная стоимость аннуитета при осуществлении
выплат т раз в год.

Для рассматриваемого случая приведенную стоимость аннуитета
находят дисконтированием будущей стоимости аннуитета на
(1 + r m)mn
Тогда
C? ?
1
P= 1?
? ? (40)
r ? (1 + r / m )mn ?


3. 5. 2. 3. Приведенная стоимость аннуитета при начислении
процента т раз в год

Будущая стоимость такого аннуитета рассчитывается по формуле
(37). Приведенная стоимость определяется дисконтированием правой
части формулы (37) на (1 + r m ) . Тогда:
mn


? ?
1
(1 + r / m )m ? 1?
P = C ?1 ? (41)
? (1 + r / m )
mn
?


3. 5. 3. Вечная рента
Вечная рента предполагает, что платежи будут осуществляться
всегда. Будущую стоимость такого аннуитета определить невозмож-
но, так как она не являет конечной величиной. Однако можно рас-
считать приведенную стоимость вечной ренты, воспользовавшись
формулой (38). Поскольку для такого аннуитета п —» «>, то она при-
нимает вид:
C
P= (42)
r
Примером вечного аннуитета может служить английская бессроч-
ная государственная облигация, которая называется консоль. Она вы-
пущена в 18 веке и по ней выплачивается доход каждые полгода.

53
3. 5. 4. Немедленный аннуитет




На рынке ценных бумаг главным образом используется понятие
отложенного аннуитета. Поэтому приведем формулы будущей и при-
веденной стоимости немедленного аннуитета только для случая на-
числения сложного процента один раз в год.
Будущую стоимость аннуитета можно определить, умножив фор-
мулу (32) на (1 + r), так как на каждый платеж проценты будут начис-
ляться на один год больше по сравнению с условием отложенного ан-
нуитета.

[ ]
C
(1 + r )n ? 1 (1 + r )
Fn = (43)
r
где: Fn — будущая стоимость немедленного аннуитета;
п — количество лет, в течение которых выплачивается аннуитет.
Приведенную стоимость немедленного аннуитета найдем дискон-
тированием правой части формулы (43) на (l + r)n.
Тогда

[ ]
(1 + r )n ? 1 • (1 + r )• 1 n
C
Pn =
(1 + r )
r
или

[ ]
C (1 + r ) ? 1
n
Pn = (44)
r (1 + r )
n ?1


где: Pп — приведена стоимость немедленного аннуитета.
Приведенную стоимость немедленной вечной ренты можно полу-
чить, умножив формулу (42) на (1 + r).
Тогда
C
(1 + r )
Pn = (45)
r

54
3. 6. ДОХОДНОСТЬ
На финансовом рынке инвестора интересует результативность его
операций.
Например, лицо А инвестировало 2 млн. руб. на три года и полу-
чило сумму в 6 млн. руб. Лицо В инвестировало 3 млн. руб. на пять
лет, и его результат составил 10 млн. руб. Какой из вариантов инве-
стирования оказался более предпочтительным. Ответить на данный
вопрос с помощью абсолютных величин довольно трудно, так как в
примере отличаются как суммы, так и сроки инвестирования. Резуль-
тативность инвестиций сравнивают с помощью такого показателя
как доходность. Доходность — это относительный показатель, ко-
торый говорит о том, какой процент приносит рубль инвестирован-
ных средств за определенный период. Например, доходность инве-
стиций составляет 10%. Это означает, что инвестированный рубль
приносит 10 коп. прибыли. Более высокий уровень доходности озна-
чает лучшие результаты для инвестора.
В самом общем виде показатель доходности можно определить
как отношение полученного результата к затратам, которые принес-
ли данный результат. Доходность выражают в процентах. Когда мы
рассматривали вопросы начисления процентов, то оперировали
определенными процентными ставками. Данные процентные ставки
есть не что иное как показатели доходности для операций инвесто-
ров. В финансовой практике принято, что показатель доходности или
процент на инвестиции обычно задают или определяют в расчета на
год, если специально не сказано о другом временном периоде. По-
этому, если говорится, что некоторая ценная бумага приносит 20%,
то это следует понимать, как 20% годовых. В то же время реально
бумага может обращаться на рынке в течение времени больше или
меньше года. Такая практика существует потому, что возникает не-
обходимость сравнивать доходность инвестиций, отличающихся по
срокам продолжительности. Рассмотрим некоторые разновидности
показателя доходности.
3. 6. 1. Доходность за период
Доходность за период — это доходность, которую инвестор полу-
чит за определенный период времени. Она определяется по формуле:

Pn
r= ?1 (46)
P
55
где: r — доходность за период;
Р — первоначально инвестированные средства;
рп — сумма, полученная через п лет.

Пример.
Вкладчик инвестировал 2000000 руб. и получил через 5 лет
5000000 руб. Определить доходность его операции.
Она равна:
5000000
r= ? 1 = 1,5 или 150%
2000000
Таким образом, капитал инвестора за пять лет вырос на 150%.

3. 6. 2. Доходность в расчете на год
На финансовом рынке возникает необходимость сравнивать до-
ходности различных финансовых инструментов. Поэтому наиболее
часто встречающийся показатель доходности — это доходность в
расчета на год. Он определяется как средняя геометрическая, а имен-
но:
Pn
r=n ?1 (47)
P
где: r — доходность в расчете на год;
п — число лет.

Пример.
Р = 2000000 руб., Pп = 5000000 руб., п = 5 лет. Определить доход-
ность в расчете на год.
Она равна:
5000000
r =5 ? 1 = 0,2011 или 20,11%
2000000
Таким образом, средняя доходность инвестора в расчете на год
составила 20, 11%.
Если сложный процент начисляется т раз в год, то доходность за
год определяется на формуле:
Pn
r = m mn ?1 (48)
P

56
Величина, которая получается в круглых скобках правой части
уравнения (48), — это доходность за один период начисления слож-
ного периода. Поэтому, чтобы получить доходность в расчете на год,
умножают на количество периодов.

Пример.
Р = 2000000 руб., Рn = 5000000 руб., п = 5 лет, процент начисляется
ежеквартально. Определить доходность в расчете на год.
Она равна:

5000000
r = 4•5 ? 1 = 0,1875 или 18,7%
2000000
Если процент начисляется непрерывно, то доходность в расчете на
год можно определить по формуле:
ln (Pn / P )
rn = (49)
n
где: rn — доходность, представленная как непрерывно начисляемый
процент.
До настоящего момента мы определяли показатель доходности по
операциям, которые занимали период времени больше года. Поэтому
расчеты строились на формулах с использованием сложного процен-
та. Когда финансовая операция занимает меньше года, как правило, в
расчетах оперируют простым процентом. Если быть более точным,
то более строгим критерием здесь выступает возможность на практи-
ке инвестировать средства с учетом сложного процента.
Например, если на рынке выпускаются ценные бумаги с погаше-
нием через полгода и год, то доходность по годичным ценным бума-
гам следует определять с учетом сложного процента. Такое правило
возникает потому, что вкладчик может получить сложный процент в
рамках года, инвестировав свои средства вначале в шестимесячную
бумагу, и после ее погашения реинвестировать полученные средства в
следующую шестимесячную бумагу.
Для краткосрочных операций доходность определяется на основе
формул (50) и (51).
?P ? 360
r = ? t ? 1? (50)
?P ? t
57
и
?P ? 365
r = ? t ? 1? (51)
?P ? t
Пример.
Р= 2000000 руб., Pt = 2020000 руб., t = 90 дней, финансовый год
равен 360 дням. Определить доходность операции инвестора.
Она равна:
? 2020000 ? 360
r =? ? 1? = 0,4 или 4%
? 2000000 ? 90
Таким образом, в расчете на год доходность операции составила
4%. Для краткосрочных ценных бумаг также можно рассчитать эф-
фективную доходность, т. е. эффективный процент. Для этого можно
воспользоваться следующей формулой (для примера возьмем финан-
совый год равным 360 дням).
360
? t? t
rэф = ?1 + r ?1
? (52)
? 360 ?
или
360
rэф = (1+ rt ) (53)
t

где: rэф — эффективная доходность в расчете на год;
t — период финансовой операции (время с момента покупки до
продажи или погашения ценной бумаги);
r — простой процент в расчете на год;
rt — доходность за период t.
Продолжая вышеприведенный пример, рассмотрим эффективную
доходность операции. Она равна:
360
? 90 ? 90
rэф = ?1 + 0,04 ? 1 = 0,0406 или 4,06%
?
? 360 ?
a
a

Поскольку x = x , то формулу (53) можно представить еще
b
b

<< Предыдущая

стр. 9
(из 51 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>