<< Предыдущая

стр. 7
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

[15,24]
3 1
6 2
3
18 [0,18]


Рис. 18.

46
Поясним получение индекса u5 = 34. Это индекс определяется
выражением
u5 = max (u4k45 – s; v3k35-s) = 36 – 2 = 34.
Оптимальная схема (0,1,2,3,5) включает операцию (2,3) повышенного риска с
затратами r23 = 2 на снижение риска до приемлемого. Так как r23 = s,то
полученное решение является оптимальным на множестве всех схем.




47
8. Спекулятивные обменные схемы

Спекулятивными обменными схемами называются схемы, в которых
оператор выступает чистым посредником и организатором всей цепочки
обменов и, в отличие от продуктовой обменной схемы, сам не имеет ресурса,
участвующего в обмене. В принципе, спекулятивная обменная схема может
превратиться в продуктовую, если в качестве оператора выступит один из
агентов схемы, владеющий ресурсом. Это и определяет повышенный риск
спекулятивных обменных схем. Действительно, как только информация о
схеме станет известна участникам (или хотя бы одному участнику),
посредник (фирма-оператор) может выпасть из цепочки, и его место займет
участник, реально участвующий в обмене. Такой риск превращения
спекулятивной обменной схемы в продуктовую особенно велик в случае,
если спекулятивная схема используется регулярно. Наибольшие шансы
занять место оператора, безусловно, имеет участник, получающий ресурс от
оператора. Этого участника будем называть псевдо-оператором. Если в
задаче определения продуктовой обменной схемы требуется найти контур
обмена, включающий оператора, то в задаче определения спекулятивной
обменной схемы требуется найти контур обмена, не включающий оператора,
а затем определить место разрыва этого контура, куда и включается
посредник (фирма-оператор).
Рассмотрим сначала вторую задачу. Пусть определен контур
(1,2, … ,n,1), соответствующий замкнутому продуктовому циклу обмена с
усилением контура K(µ) > 1. Подключение посредника-оператора к этому
контуру означает разрыв контура в некоторой дуге (i, i+1) (если i = n, то n+1
= 1 по определению) и включение посредника в этот разрыв. Если
обозначить оператора номером 0, то спекулятивную схему обмена можно
представить в виде пути (0,i+1, … ,n,1, … ,i,0?). Обменный коэффициент k0,i+1
= ki,i+1, а обменный коэффициент ki,0? = 1. Пусть допустимый поток по пути µ

48
равен x0,i+1 = x(µ). Тогда оператор отдает участнику (i+1) ресурс в количестве
x(µ), получая этот ресурс от псевдо-оператора i в количестве K(µ)x(µ). Доход
оператора составит
Д0 = ci x(µ)[K(µ) – 1], (8.1)
где ci – доход оператора на единицу i-го ресурса. Поскольку x(µ) зависит от
места разрыва, то возникает задача определения места разрыва, для которого
доход оператора максимален.
Обозначим Qij – усиление пути из вершины i в вершину j (Qi,i = K(µ) по
определению). Если место включения оператора в обменную схему
определяется дугой, исходящей из вершины i, то максимальный поток,
соответствующий количеству ресурса элемента, получаемого
i-го
следующим по контуру элементом через посредника-оператора, будет
определяться выражением
aj
x i = min . (8.2)
Qi, j
j



Доход оператора от организации спекулятивной обменной схемы µ составит,
согласно (8.1)

Д(µ) = cixi(K(µ) – 1).
Таким образом, оптимальное место включения оператора в схему
определяется псевдо-оператором для которого максимальна.
i, ci x i
Определить такой элемент проще всего путем перебора всех вершин контура
µ.
Пример 9. Рассмотрим контур µ = (1,2,3,4,5,1) из пяти вершин, данные об
усилениях дуг kij, ограничениях на ресурс ai и удельных доходах ci которого
приведены в таблице 2. В таблице указано усиление дуги, заходящей в
соответствующую вершину. Определим усиление путей Qij:
Q12 = k12 = 1; Q13 = k12?k23 = 3; Q14 = k12?k23?k34 = 6;
Q15 = k12?k23?k34?k45 = 3; Q11 = K(µ) = 12.

49
Таблица 2.

№ вершины 1 2 3 4 5

4 1 3 2 0,5
ki-1,i

12 10 20 16 6
ai

2 2 1,5 1 3
ci


Остальные Qij определяются аналогично. Значения Qij приведены в таблице
3.
Таблица 3.
j 1 2 3 4 5
i
12 1 3 6 3
1

12 12 3 6 3
2

4 4 12 2 1
3

2 2 6 12 0,5
4

4 4 12 24 12
5


Согласно выражению (8.2) вычисляем:
x1 = min (12/12; 10/1; 20/3; 16/6; 6/3) = 1;
x2 = min (12/12; 10/12; 20/3; 16/6; 6/3) = 5/6;
x3 = min (12/4; 10/4; 20/12; 16/2; 6/1) = 12/3;
x4 = min (12/2; 10/2; 20/6; 16/12; 6/0,5) = 11/3;
x5 = min (12/4; 10/4; 20/12; 16/24; 6/12) = ?.
Определим
max c i x i = max (2 ? 1; 2 ? 5 6 ; 3 2 ? 5 3 ;1 ? 4 3 ; 3 ? 1 2 ) = 2,5 .
i


Следовательно, оптимальное место включения оператора это операция
(3, 4). Оператор обещает элементу 4 обеспечить его ресурсом, имеющимся у

50
псевдо-оператора 3 в количестве x3 = 5/3. В результате цепочки обмена (0, 4,
5, 1, 2, 3, 0) оператор получает от псевдо-оператора 3 ресурс в количестве 5/3
?12 = 20. Отдавая 5/3 единиц элементу 4, оператор имеет доход (20 - 5/3) ?3/2 =
27,5.
Рассмотрим теперь первую задачу, то есть задачу выбора оптимального
контура обмена. Ее решение сводится к перебору возможных псевдо-
операторов, для каждого из которых решается задача определения обменной
схемы по критерию прибыли. Рассмотрим метод решения на примере.
Пример 10. Рассмотрим сеть ВО, приведенную на рис. 19.


2
1 7
1 2
5
1,5 3
2 3 6
1,5
5
4
10
1 8
-
Рис. 19.

Выберем в качестве псевдо-оператора участника 1 и решим для него
задачу определения обменной схемы, оптимальной по критерию прибыли.
Эквивалентная сеть без контуров для случая псевдо-оператора 1 приведена
на рис. 20.


[1] [2] [3]
4
2 2 3 1,5
1 8
[1] 1
7 [3]
6 [6]
5
1 1
2
1,5
10
5 5
-
Рис. 20.



51
Путь с максимальным усилением µ1 = (1,2,3,4,5,1), K1 = 6, поток по
нему
x1 = min (5/6; 7/1; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6.
В данном случае, в отличие от продуктовой схемы, следует учитывать
ограничения на количество ресурса, которое может отдать псевдо-оператор,
поскольку он отдает ресурс K1x1 реальному оператору.
Прибыль псевдо-оператора псевдо-прибыль, поскольку
(точнее
реально псевдо-оператор оставляет себе ресурс, полученный от участника 5,
но его это устраивает, поскольку условия обмена выполнены)
П = x1(K1 – 1) = 5/6?5 = 41/6.


Удаляя насыщенную вершину 4, получаем всего один путь µ2 = (1,2, 5,1) с
усилением K2 = 3, потоком x2 = 5/3 и прибылью 5/3?2 = 31/3.
Таким образом, оптимальный путь это путь µ1. Определим для этого
пути оптимальное место включения оператора. Величины коэффициентов Qij
приведены в таблице 4.


Таблица 4.
j 1 2 3 4 5
i
6 1 2 3 3
1

6 6 2 3 3
2

3 3 6 1,5 1,5
3

2 2 4 6 1
4

2 2 4 6 6
5


Имеем:
x1 = min (5/6; 7/1; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6;

52
x2 = min (5/6; 7/6; 6/2; 8/3; 10/3) = 5/6;
x3 = min (5/3; 7/3; 6/6; 8/1,5; 10/1,5) = 1;
x4 = min (5/2; 7/2; 6/4; 8/6; 10/1) = 11/2;
x5 = min (5/2; 7/2; 6/4; 8/6; 10/6) = 1?.
Примем с1 = 1, с2 = 1,5, с3 = 2, с4 = 3, с5 = 4. В этом случае max c i x i = c5 x 5 = 6 .
i

Оптимальным для оператора является выбор в качестве псевдо-оператора
участника Его доход при этом составит
5.
Д0 = 6(6–1) = 30. Поскольку мы определили еще один контур µ2 = (1,2, 5,1),
то имеет смысл найти оптимальное место включения оператора и для этого
контура. Величины Qij для него приведены в таблице 5.
Таблица 5.
j 1 2 5
i
3 1 1,5
1

3 3 1,5
2

2 2 3
5


Имеем:
x1 = min (5/3; 7/1; 10/2) = 5/3;
x2 = min (5/3; 7/3; 10/1,5) = 5/3;
x5 = min (5/2; 7/2; 10/3) = 5/2.
Доход оператора Д0 = с5х5 (3–1) = 20.
Очевидно, что выбор в качестве псевдо-оператора участника 5 и
обменной схемы (5,1,2,3,4,5) обеспечивает оператору больший доход, чем
при обменной схеме (5,1,2,5). Осталось проверить последний контур µ3 =
(2,3,4). Сразу определим оптимальное место включения оператора. Не
повторяя вычислений, приведем значения xi:
x2 = 7/9; x3 = 2/3; x4 = 8/9;

<< Предыдущая

стр. 7
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>