<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



53
max c i x i = c 4 x 4 = 8 3 .
i


Доход оператора Д0 = 8/3 (9–1) = 211/3.
Таким образом, оптимальной является спекулятивная обменная схема
µ0 = (0,1,2,3,4,5,0?),
в которой оператор отдает участнику 1 ресурс псевдо-оператора в
количестве 1,5, получая от псевдо-оператора этот ресурс в количестве9
единиц. Доход оператора составляет 4(9-1,5) = 30.
Методы учета и управления риском в спекулятивных обменных схемах
аналогичны методам, рассмотренным при анализе продуктовых схем.
Поэтому мы не будем их здесь рассматривать.




54
9. Теоретико-игровой анализ обменных схем

В этом параграфе мы рассмотрим проблемы, связанные с активным
поведением участников обменной схемы. В первую очередь, активность
участников проявляется в стремлении занизить величину обменного
коэффициента при заключении договора об участии в обменной схеме, то
есть в стремлении получить требуемый ресурс в обмен за меньшее
количество своего ресурса.
Нас будут интересовать механизмы взаимоотношений оператора с
потенциальными участниками обменной схемы, которые побуждают их к
сообщению достоверной (истинной) оценки обменного коэффициента или,
по крайней мере, уменьшают тенденцию завышения оценок. Рассмотрим
сначала, с одной стороны, самый простой случай взаимодействия оператора
с одним участником обменной схемы, а с другой – самый сложный,
поскольку это случай монопольного (единственного) агента, который может
диктовать свои условия. Вспомним, что обменные коэффициенты отражают
относительную ценность получаемого и отдаваемого ресурсов и представим
интересы оператора и агента в виде линейных целевых функций:
?0 = x2 – cx1, (9.1)
?1 = kx1– x2, (9.2)
где x1 – количество ресурса, отдаваемое оператором, x2 - количество ресурса,
отдаваемое агентом, с – ценность для оператора ресурса агента относительно
своего ресурса, k – ценность для агента своего ресурса относительно ресурса
оператора.
Примем, что оператору известна величина с, а относительно k он знает
только область возможных значений. Представим механизм
[a,b]
взаимодействия (переговоров) оператора с агентом следующим образом.
Агент сообщает оператору оценку s? [a,b] коэффициента k. Оператор
определяет количество ресурса x1(s), которое он отдает агенту и количество

55
ресурса x2(s), которое он получает от агента. Зависимости [x1(s), x2(s)]
назовем механизмом обмена. Механизм обмена выбирается оператором и
сообщается им агенту до начала переговоров. Основное требование к
механизму обмена состоит в том, что он должен обеспечивать агенту
неотрицательный доход (точнее маргинальную прибыль), в противном
случае агент откажется участвовать в обменной схеме. Примем далее, что
ресурс оператора ограничен величиной R, а ресурс агента неограничен.
Задача заключается в том, чтобы определить механизм обмена,
который гарантированно обеспечивает оператору максимальный
относительный доход. Будем предполагать, что а ? с. В противном случае,
при х = а, складывая ?0 и ?1, получаем
?0 + ?1 = (а – c)x1 < 0.
Учитывая, что должно быть ?0 ? 0, ?1 ? 0, получаем противоречие, то есть
обмен не состоится.
Чтобы определить относительный доход оператора заметим, что
максимальный доход оператора при обменном коэффициенте k равен
(k – c)R. Действительно, из условия kx1 – x2 ? 0 получаем, что kx1 ? x2.
Поэтому
x2 – сx1 ? (k – c)x1
и достигает максимума при x1 = R. Гарантированный относительный доход
определяется выражением
x 2 ? cx 1
Q = min . (9.3)
(k ? c )x1
k


Одна из центральных теорем теории активных систем гласит, что в
системе центр – активный элемент (центр это оператор, определяющий
механизм обмена, а активный элемент это агент, сообщающий оценку
обменного коэффициента) всегда существует оптимальный механизм
обмена, который является механизмом «честной игры» [2]. Механизмы
честной игры являются неманипулируемыми механизмами, то есть создают
56
заинтересованность у агентов в сообщении достоверной (истинной) оценки
обменного коэффициента k. Для того, чтобы определить механизм честной
игры, нужно задать в области возможных значений x = (x1, x2) некоторое
множество X. Это множество оператор сообщает агенту и гарантирует ему,
что обмен (x1, x2) будет обеспечивать максимум целевой функции агента на
множестве X. Понятно, что поскольку изменить множество X агент не
может, то для максимизации своего дохода ему достаточно сообщить
истинное значение обменного коэффициента k. Таким образом, задача
определения оптимального механизма обмена свелась к определению
оптимального множества X. Решим эту задачу, предполагая, что оценки s
обменного коэффициента k могут принимать целочисленные значения от a
i = 1, m ,
до Обозначим
b. a0 = a, ai = a + i,
am = b. Идею построения оптимального множества X поясняет рис. 21.
Заметим, что максимум целевой функции агента ?1 = aix1 – x2 - в т. xi,
поскольку угловой коэффициент отрезка прямой [xi-1, xi] равен ai (рис. 21).




x2

x3
y3

a3
X
x2
y2
a2
x1
y1
a1
y0
x0
a0
x1
z0 z1 z2 R

Рис. 21.
57
Эффективность обмена xi = (zi, yi) определяется выражением
y i ? cz i
µi = , (9.4)
(a i ? c )R
а гарантированная эффективность
µ = min µ i . (9.5)
0? i ? m


Задача свелась к определению точек «излома» zi, i = 1, m ? 1 . Нетрудно
показать, что максимум гарантированной эффективности достигается в
случае, если все µi будут равны между собой. Из этого факта получаем
последовательно:
a0z0 = a1z0 - ?1,
z0 = ?1,
a 0 z 0 ? cz 0 z 0 ?1
µ= ==.
(a 0 ? c )R R R
Далее по аналогии
a1z1 - ?1= a2z2 - ?2,
z1 = ?2 - ?1,
a1z1 ? ?1 ? cz1 z1 ?1
µ= =? .
(a1 ? c )R R (a1 ? c )R

В общем случае i ? m-1
Zi = ?i+1 - ?i,
?i (9.6)
z
µ= i ? .
(a i ? c )R
R
Для i = m имеем
a m R ? ? m ? cR ?m
µ= = 1? . (9.7)
(a m ? c )R (a m ? c )R
Из полученной системы уравнений определяем ?i как функцию µ.
1
Обозначим pi = 1 + . Последовательно получаем
ai ? c


58
?1 = µR,
(9.8)
?i = µR[1 + pi-1 + pi-1 pi-2 + ??? + pi-1 pi-2??? p1], i = 2, m ? 1 .
Из последнего уравнения (9.7) имеем
(1 ? µ )R .
?m =
pm ? 1
Окончательно определяем
1
µ= . (9.9)
1 + (p m ? 1)(1 + p m?1 + p m?1p m?2 + ? ? ? + p m?1p m?2 ? ? ? p1 )
Пример 11. Пусть m = 1, а0 = 4, а1 = 5, с = 3, R = 30. Имеем p1 = 3/2,
1 2
µ= =;
pm 3
?1 = Rµ = 20; z0 = ?1 = 20.
Итак, при сообщении оценки a0 = 4 агент получает 20 единиц ресурса от
оператора, отдавая взамен 80 единиц своего ресурса. Сообщая a1 = 5, агент
получает 30 единиц ресурса от оператора, отдавая взамен 150 – 20 = 130
единиц своего ресурса. Покажем, что манипулируя информацией, агент
ничего не выигрывает. Действительно, если истинный коэффициент обмена
равен a1 = 5, а агент занижает оценку и сообщает s = 4, то он получает 20
единиц ресурса в обмен на 80 единиц своего ресурса. Его доход составит
Д1 = 5?20 – 80 = 20,
то есть ровно столько же, сколько он получает, сообщая истинную оценку.
Заметим, что применяя простой механизм обмена, ориентированный на
минимальное значение обменного коэффициента k = a0 = 4, оператор
гарантированно получает доход 4?30 - 3?30 = 30 единиц, независимо от
истинного значения обменного коэффициента. В полученном оптимальном
механизме обмена оператор получает меньший доход – 20 единиц, если
коэффициент обмена равен a0 = 4 и больший доход – 60 единиц, если a1 = 5.
Средний доход для оптимального механизма больше.


59
Пример 12. Пусть m = 2, а0 = 4, а1 = 5, а2 = 6, с = 3, R = 30. Имеем p1 =
3
/2, p2 = 4/3,
1 6
µ= =;
1 + 13 (1 + 3 2 ) 11
z0 = ?1 = µR = 6?30/11 ? 16,4;
6?5 15 ? 30
? 30 = ? 41 ,
?2 = µR(1 + p1) =
11 ? 2 11
z1 = ?2 - ?1 =24,6.
В данном случае при минимальной оценке a0 = 4 оператор предлагает к
обмену 16,4 единиц ресурса, при средней оценке a1 = 5 – предлагает 24,6
единиц ресурса, а при максимальной – 30 единиц. Гарантированная
относительная эффективность по сравнению с предыдущим примером
(6/11 2
уменьшилась что естественно, поскольку увеличилась
< /3),
неопределенность информации у оператора. Однако, средний доход
составляет около 52 единиц, что существенно выше гарантированного
дохода, равного 30 единицам.
Перейдем к исследованию случая нескольких участников обменной
схемы. Отметим сразу, что задача поиска оптимального механизма обмена в
случае многих участников в настоящее время не решена. Неизвестно даже,
существует ли оптимальный механизм честной игры. Если искать
оптимальный механизм на множестве механизмов честной игры, то эту
задачу можно свести к задаче линейного программирования большой
размерности. Так, даже в случае двух участников, каждый из которых может
иметь два значения обменного коэффициента, мы получаем задачу
линейного программирования с двадцатью переменными. К тому же трудно
объяснить содержательно оператору (ЛПР), что полученное оптимальное
решение действительно является лучшим способом действия и убедить его
действовать таким образом. Поэтому задача поиска простых и понятных



60
механизмов обмена, обеспечивающих достаточную эффективность обменной
схемы, требует дальнейших исследований.
В заключение рассмотрим кратко механизм выбора обменных схем,
когда их несколько. По-прежнему считаем, что количество ресурсов у всех
участников, кроме оператора, не ограничено.
Итак, пусть имеются m агентов, каждому из которых нужен ресурс
оператора. Таким образом, мы имеем m возможных обменных схем, каждая
из которых включает оператора и одного из участников. Обозначим ki –
обменный коэффициент i-го агента, ci – доход оператора от единицы ресурса
i-го агента. Тогда прибыль оператора на единицу стоимости ресурса,
отдаваемого i-му агенту, составит (ciki – 1) = pi. Пусть p1 ? p2 ? ??? ? pm.
Первое, что приходит в голову в данном случае, это организовать конкурс
между агентами на участие в обменной схеме. Естественно, что побеждает
агент, предложивший обменный коэффициент si, такой что величина (cisi – 1)
максимальна. Из теории конкурсных механизмов известно, что в данном
случае побеждает первый агент, сообщая оценку s1, такую что p1 = (c1s1 – 1)
близка (немного больше) к p2 = (c2k2 – 1) [2]. Очевидно, что если p1 >> p2, то
эффективность такого механизма будет невелика.
Рассмотрим более гибкий механизм обмена, в котором ресурс
оператора распределяется прямопропорциональна величинам ?i = (cisi–1)?,
где ? >> 1, то есть
?i
xi = R. (9.10)
m

<< Предыдущая

стр. 8
(из 10 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>